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数学-扬州中学2012-2013届高二上学期开学考试 数学


2012-2013 学年高二数学第一学期开学考试试题 一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1.已知集合 A ? { x | 0 ? x ? 3}, B ? { x | x ? 4} ,则 A ? B ?
2

(2012.9)

_______. ______________.

/>2. 经过点(-2,3) ,且斜率为 2 的直线方程的一般式为

3. 正项等比数列 { a n } 中,若 a 5 ? a 6 ? 81 , 则 log 3 a1 ? log 3 a10 ? ______. 4.已知直线 a , b 和平面 ? ,若 a ? ? , b ? ? ,则 a 与 b 的位置关系是 5.在 ? ABC 中,
sin A a ? co s B b



,则 ? B =



6. tan17?+tan28?+tan17?tan28?=_ 7.正方体 A B C D
? A1 B1 C 1 D1

中,与对角线 A C 1 异面的棱有

条.

8. 在公差 d 不为 0 的等差数列 ? a n ? 中,已知 a1 ? 1 ,且 a 2 , a 3 , a 6 恰好构成等比数列,则
d 的值为

y
C (1,

22 5

)

9. 已知平面区域如图所示, z ? mx ? y ( m ? 0 ) 在平面区域 内取得最大值的最优解有无数多个,则 m ? .

A(5,3)

10. 一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上,且过同一个顶点的 三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积是 ;

B(1,1)

O

x

11. 在平面直角坐标系 xO y 中, 已知射线 O A : x ? y ? 0( x ? 0), O B : x ? 2 y ? 0( x ? 0) , 过点 P ( 2, 0 ) 作直线分别交射线 O A 、 O B 于点 E 、 F ,若 EP ? PF ,则直线 E F 的斜率 为 .
n
??? ? ??? ?

12. 在数列 { a n } 的通项公式为 a 和为____________

?

1 n n ? 1 ? ( n ? 1) n
1 n

,则数列 { a n } 的前 99 项

13. 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ?
k 的取值集合是___________

, 若 a n , a n ? 2 , a n ? k ( k ? N , k ? 2 ) 成等差数列,则
*

14. 设 a , b 为正实数,

1 a

?

1 b

? 2 2

, (a ? b) 2

? 4 ( ab )

3

,则 log

a

b ?



1

二、解答题: (前三题,每题 14 分,后三题,每题 16 分,共 90 分) 15.已知直线 l 1 : ( a ? 3 ) x ? 4 y ? 5 ? 3 a 与 l 2 : 2 x ? ( a ? 5 ) y ? 8 ,则当实数 a 为何值时, 直线 l 1 与 l 2 :(1)平行?(2)垂直? 16.如图,在直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E 分 别是 AA1 和 B1C 的中点 (1) 求证:DE∥平面 ABC; (2) 求三棱锥 E-BCD 的体积。
? ? ? ? ? 17. 已知 a ? ? sin ? ,1 ? , b ? ? cos ? , 2 ? , ? ? ? 0 , ? . 4 ? ?
E B1 A1

C1 D

? ? 17 ? ? ? , 求 sin ? 2 ? ? ? 的 (? ) 若 a ∥ b ,求 tan ? 的值; (?? ) 若 a ? b ? 8 4 ? ?

B

A

值 18. 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且
sin B cos C
b ?a ?c
2 2 2

C

?

cos( A ? C ) sin A cos A

.

ac

(1)求角 A; (2)若

?

2 ,求角 C 的取值范围。

?x ? y ? 1 ? 0 ? 19. 已知 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 . ? y ? ?1 ?

(1)求 z ? x ? 2 y 的最大值和最小值; (2)求 ? ? x ? y ? 4 x ? 8 y ? 20 的最小值
2 2

20. 已知点 B n ( n , y n ), ? ( n ? N ? ) 是某直线 l 上的点,以 B n 为圆心作圆.所作的圆与 x 轴交于 A n 和 An ? 1 两点,记 A n 、 An ? 1 的横坐标分别为 x n 、 x n ? 1 .其中 x1 ? a (0 ? a ? 1) (1)证明 x n ? 2 ? x n 是常数,并求数列 { x n } 的通项公式; (2) l 的方程为 y ? 若
1 4 x? 1 12 , 试问在 ? A n B n A n ? 1 ( n ? N ? ) 中是否存在直角三角形, 若

存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.
2

参考答案
1.

? ? ? , ? 2 ? ? ? 0, ? ? ?
7 20

2. 2 x ? y ? 7 ? 0

3.4

4. a

// b
13

5.

?
4

6.1

7.6

8.-2

9.

10. 14π

11.-2

12.

9 10

? 5, 6, 8,1 2 ? . 14.-1
8 2 0

15.









5 ?? a ? 3? ? a ? ? ? ? ? ? ? 8 ? a ? ? ? ?3 ? a ? ? ?


5


3 0

a ? ? 7 …………………………………………………… 7 分


a ? ? 13 3







2 a?

?

( ? a

?

3



)

4

………………………………………… 14 分

16.⑴取 BC 中点 G,连接 AG,EG, 因为 E 是 B 1 C 的中点,所以 EG∥ B B 1 , 且 EG
? 1 2 B B1 .

由直棱柱知, A A1 ∥ B B1 ,而 D 是 A A1 的中点, ? 所以 E G ∥ A D ,…………………………4 分 ? 所以四边形 E G A D 是平行四边形, 所以 E D ∥
AG

,又 D E

?

平面 A B C ,

AG ? 平 面 ABC

所以 D E ∥平面 A B C . ………………………7 分 ⑵因为 A D ∥ B B1 ,所以 A D ∥ 平面 B C E , 所以 V E ? B C D
? V D ? BCE ? V A ? BCE ? V E ? ABC

,………………………………………10 分

由⑴知, D E ∥平面 A B C , 所以 V E ? A B C
? V D ? ABC ? 1 3 AD ? 1 2 BC ? AG ? 1 6 ? 3 ? 6 ? 4 ? 12

.…………………14 分

17. 解:(Ⅰ)因为 a ∥ b ,所以 2 sin ? ? cos ? . 则 tan ? ?
1

?

?



……………………………6 分
17 8 1 4

(Ⅱ)因为 a ? b ?

2 17

, 所以 sin ? co s ? ? 2 ?

8

即 sin 2 ? ? 因为 ? ? ? 0 ,
? ?

…………………………8 分

? ?

? ? ? ? ,所以 2 ? ? ? 0 , ? , 2 ? 4 ? ?
3

则 co s 2 ? ?

15 4



? ? 2 2 ? 所 以 sin ? 2 ? ? ? ? sin 2 ? ? co s 2 ? 4 ? 2 2 ?

?

2 2

?

1 4

?

2 2
2

?
2

15 4

?
2

2 ? 8

30

……………………14
co s( A ? C ) sin A co s A 2 co s B sin 2 A

18. 【解】 ⑴ ∵ : 2分 又∵
b ?a ?c
2 2 2

b ?a ?c ac

? ? 2 co s B ,

? ?

,

, ………………………………

?

co s( A ? C ) sin A co s A

,∴

? 2 co s B ?

? 2 co s B sin 2 A

, 而 ? ABC

为斜三角形,

ac

∵ co sB

? 0 ,∴ sin2A =1 .

……………………………………………………………… 5 分
?
4
? 3π ? sin ? ?C? ? 4 ? co s C sin ? 3π 4 co s C co s C ? co s 3π 4 sin C ?

∵ A ? (0, ? ) ,∴ 2 A

?

?
2

,A ?

. …………………………………………………… 8 分

⑵∵ B

?C ?

3π 4

,∴

sin B co s C

?

2 2

?

2 2

tan C ?

2

…13 分

即 tan C

? 1 ,∵ 0 ? C ?

3? 4

,∴

π 4

?C ?

π 2

.…………………………………16 分

?x ? y ? 1 ? 0 ? 19. 不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的可行域如图所示: ? y ? ?1 ?

(1)目标函数 z ? x ? 2 y 变为 y ? 它表示斜率为 当直线 y ?
1 2 1 2

1 2

x?

z 2



,截距为 ?

z 2

的直线,
z 2

x 平行移动到点 A 时,截距 ?

最小,

此时 A ( 2 , ? 1) , z max ? 4 ; 当直线 y ?
1 2
2 2

x 平行移动到点 B 时,截距 ?

z 2

最大,此时 B ( 0 ,1) , z min ? ? 2 ;
2 2

(2) ? ? x ? y ? 4 x ? 8 y ? 20 变为 ? ? ( x ? 2 ) ? ( y ? 4 ) , ? 表示点 P ( x , y ) 与 点 ( 2 , 4 ) 两点间距离的平方,由图可知, ? min ? | QB | ? 13
2

20.解: (1)因 ? A n B n A n ? 1 构成以 B n ( n , y n ) 这顶点的等腰三角形,

4

?

x n ? x n ?1 2

? n , 即 x n ? x n ? 1 ? 2 n ( n ? N ? ) (1)

从而 x n ? 1

? x n ? 2 ? 2( n ? 1)

(2)

由(2)—(1)得, x n ? 2 ? x n ? 2 , 为常数 . 显然 x 1 , x 3 , x 5 , ? x 2 n ?1 , ? 及 x 2 , x 4 , x 6 , ? x 2 n , ? 分别成等差数列.
? x 2 n ?1 ? x 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? a ? 1, x 2 n ? 1 ? x 1 ? ( n ? 1 ) ? 2 ? ( 2 ? a ) ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? a ( n ? N ? )

? n ? a ? 1, ? xn ? ? ?n ? a,

n 为奇数 n 为偶数

(2)当 n 为奇数时, A n ( n ? a ? 1, 0 ), A n ? 1 ( n ? 1 ? a , 0 ) ,?| A n A n ? 1 |? 2 (1 ? a ) 当 n 为偶数时, An ( n ? a , 0 ), An ? 1 ( n ?
a , 0 ) ,?| A n A n ? 1 |? 2 a



作 B n C n ? x 轴于 C n ,由于点 B n ( n , y n ) 在直线 l 上 ,
? yn ? 1 4 n? 1 12 , 即 | B n C n |? 1 4 n? 1 12
| A n A n ? 1 |? 2 | B n C n |,

.

要使 ? A n B n A n ? 1为直角三角形当且仅当
? 当 n 为奇数时 , 有 2 (1 ? a ) ? 2 ( 1 4 1 6 n? 1 12

)即12 a ? 11 ? 3 n , (※)

当 n ? 1时 , a ?

2 3

, 当 n ? 3时 , a ?

, 当 n ? 5 时,方程(※)无解. 7 12

当 n 为偶数时,有 12 a ? 3 n ? 1, 同时求得 a ? 综上所述,当 a ?
2 3 或a ? 1 6 或a ? 7 12



时,存在直角三角形.

5


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