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定义域,抽象函数习题


定义域

抽象函数

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www.jyeoo.com 一.选择题(共 30 小题) 1. (2011?江西)若 ,则 f(x)的定义域为( )

A.

B.

C.

D. (0,+∞)

2. (2011?广东)函数 f(

x)= A. (﹣∞,﹣1)

+lg(1+x)的定义域是(

) D. (﹣∞,+∞) )

B. (1,+∞)
2

C. (﹣1,1)∪(1,+∞)

3. (2009?陕西)设不等式 x ﹣x≤0 的解集为 M,函数 f(x)=ln(1﹣|x|)的定义域为 N,则 M∩N 为( A.[0,1) B. (0,1) C.[0,1] D. (﹣1,0]

4.使代数式 A.|x|≥1

有意义的 x 的取值范围为( B.﹣1<x<1 C.|x|>1

) D.x≠±1 ) D. (﹣∞,2]

5.设 a∈(0,1) ,则函数 y= A. (1,2] B. (1,+∞)

的定义域是( C.[2,+∞)

6.函数 y=

的定义域为(



A.[﹣3,4]

B. (1,4]

C. (1, )∪( ,4]

D. (﹣3, )∪( ,4]

7.函数

的定义域为(

) C.[1,2) D.[1,+∞)

A.[1,2)∪(2,+∞)

B. (1,+∞)

8.函数 A. (﹣1,+∞) 9.函数 A. C.

的定义域为( B.[﹣1,+∞) 的定义域是( )

) C.[﹣1,0)∪(0,+∞) D. (﹣1,0)∪(0,+∞)

B. D.

10.若函数 f(x)的定义域为[0,2],则 f(2 ﹣2)的定义域为( ) A.[0,1] B.[log23,2] C.[1,log23] D.[1,2]

x

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www.jyeoo.com 11. (2011?江西)若 ,则 f(x)的定义域为( )

A.

B.

C.

D.

12. (2010?湖北)函数

的定义域为(



A. ,1) (

B. ,∞) (

C. (1,+∞)

D. ,1)∪(1,+∞) (

13. (2010?广东)函数 f(x)=lg(x+1)的定义域为( ) A. (﹣∞,+∞) B. (﹣∞,﹣1] C. (﹣1,+∞) 的定义域为( B. ) C.

D.[﹣1,+∞)

14.函数 y= A. (﹣ D.

15. (2005?湖南)函数 f(x)= A. (﹣∞,0] B.[0,+∞)

的定义域是( C. (﹣∞,0) ) D.x=1

) D. (﹣∞,+∞)

16.函数 A.? B.R

的定义域为( C.[﹣1,1]

17.函数 f(x)= A. (﹣∞,2log23]

的定义域是( B. (3,+∞)

) C. (3,2log23] D. (2log23,+∞)

18.已知

,则 f(x)的定义域是(



A.[﹣2,2] 19.函数 A. ,1]? (

B.[0,2]

C.[0,1)∪(1,2] )

D.

的定义域为(

B. (﹣∞,1]?

C. (﹣∞, )

D. ,1) (

20. 若两个函数的对应关系相同, 值域相同, 但定义域不同, 则称这两个函数为同族函数. 那么与函数 y=x , x∈{﹣ 3,3}为同族函数的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2

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www.jyeoo.com x 21.已知函数 f(x)的定义域是(0,1) ,那么 f(2 )的定义域是( ) A. (0,1) B. (,1) C. (﹣∞,0) D. (0,+∞) ,则 f( B.[﹣3,3) )+f(2x﹣1)的定义域为( C.[﹣1, ]∪[ ,2] ) D.[﹣1, ]∪( ,2)

22.设 f(x)= A.[﹣3,3]

23. (2011?广东)设 f(x) ,g(x) ,h(x)是 R 上的任意实值函数,如下定义两个函数(f°g) (x)和( (f?g) (x) 对任意 x∈R, (f°g) (x)=f(g(x); )(f?g) (x)=f(x)g(x) ,则下列等式恒成立的是( ) A.(f°g)?h) ( (x)=( (f?h)°(g?h)(x) ) B.(f?g)°h) ( (x)=( (f°h)?(g°h)(x) ) C.(f°g)°h) ( (x)=( (f°h)°(g°h)(x) ) D.(f?g)?h) ( (x)=( (f?h)?(g?h)(x) ) 24.函数 y=f(x)与 y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义域中任意 x,有 f(x)+f(﹣x)=0,g (x)g(﹣x)=1,且 x≠0,g(x)≠1,则 F(x)= A.是奇函数但不是偶函数 函数也不是偶函数 +f(x) ( ) D.既不是奇

B.是偶函数但不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

25.函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞) ,且对于定义域内的任意 x,y 都有 f(x?y)=f(x)+f(y) ,且 f(2)=1, 则 A. 的值为( B. ) C.2 D.﹣2

26.定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,若 f(k?3 ) x x +f(3 ﹣9 ﹣2)<0 对任意 x∈R 恒成立,则实数 k 的取值范围为( ) A. (﹣1,﹣1+2 ) B. (﹣∞,﹣1+2 ) C. (﹣∞,﹣1) D.[﹣1+2 ,+∞) 27.已知函数 y=f(x) ,对于任意两个不相等的实数 x1、x2,都有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2)成立,且 f(0)≠0, 则 f(﹣2009)?f(﹣2008)…f(2008)?f(2009)的值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 28. 已知 f (x+y) (x) (y) =f ﹣f 对于任意实数 x 都成立, 在区间[0, +∞) 单调递增, 则满足 的 x 取值范围是( A. ) B. C. D.

x

29.函数 f(x)的定义域为 R+,若 f(x+y)=f(x)+f(y) ,f(8)=3,则 f(2)=( A. B. C. D.



30.定义在 R 的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ,x,y∈R,且 f(1)=2,有下面的四个式子: ①f(1)+2f(1)+…+nf(1) ;②f[ 相等的有( A.①③ ) B.①② ];③n(n+1) ;④n(n+1)f(1) ,则其中与 f(1)+f(2)+…+f(n)

C.①②③

D.①②③④
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www.jyeoo.com 答案与评分标准 一.选择题(共 30 小题) 1. (2011?江西)若 ,则 f(x)的定义域为( )

A.

B.

C.

D. (0,+∞)

考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 分析:求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量 x 的取值范围,由此可以构造一个关于 x 的不等式,解不 等式即可求出函数的解析式. 解答:解:要使函数 的解析式有意义

自变量 x 须满足:

即 0<2x+1<1 解得 故选 A 点评:本题考查的知识点是函数的定义域及其求法,其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于 x 的不等式,是 解答本题的关键. 2. (2011?广东)函数 f(x)= ) D. (﹣∞,+∞)

+lg(1+x)的定义域是(

A. (﹣∞,﹣1) B. (1,+∞) 考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。

C. (﹣1,1)∪(1,+∞)

分析:根据题意,结合分式与对数函数的定义域,可得

,解可得答案.

解答:解:根据题意,使 f(x)=

+lg(1+x)有意义,

应满足

,解可得(﹣1,1)∪(1,+∞) ;

故选 C. 点评:本题考查函数的定义域,首先牢记常见的基本函数的定义域,如果涉及多个基本函数,取它们的交集即可. 3. (2009?陕西)设不等式 x ﹣x≤0 的解集为 M,函数 f(x)=ln(1﹣|x|)的定义域为 N,则 M∩N 为( A.[0,1) B. (0,1) C.[0,1] D. (﹣1,0] 考点:函数的定义域及其求法;元素与集合关系的判断。 专题:计算题。 分析:先求出不等式的解集和函数的定义域,然后再求两个集合的交集. 2 解答:解:不等式 x ﹣x≤0 转化为 x(x﹣1)≤0 解得其解集是{0≤x≤1},
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2



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www.jyeoo.com 而函数 f(x)=ln(1﹣|x|)有意义则需:1﹣|x|>0 解得:﹣1<x<1 所以其定义域为{﹣1<x<1}, 所以 M∩N=[0,1) , 故选 A 点评:本题主要考查一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法及集合的运算.

4.使代数式

有意义的 x 的取值范围为(



A.|x|≥1 B.﹣1<x<1 C.|x|>1 D.x≠±1 考点:函数的定义域及其求法。 分析:由题目中提供的代数式的结构根据指数的要求,由于指数为负数,故要求其底数不为 0,即可解得 x 的范围. 解答:解:∵|x|﹣1 为底数,并且其指数为负数,∴|x|﹣1≠0 ∴x≠±1 故选 D. 点评:本题考查了幂函数的定义域及其求法,注意指数对底数的要求,是个基础题. 5.设 a∈(0,1) ,则函数 y= 的定义域是( )

A. (1,2] B. (1,+∞) C.[2,+∞) D. (﹣∞,2] 考点:函数的定义域及其求法;对数函数的单调性与特殊点。 专题:计算题。 分析:求函数的定义域,只要解析式有意义,即只要 loga(x﹣1)≥0 即可,再利用对数函数的性质求解. 解答:解:loga(x﹣1)≥0,因为 a∈(0,1) ,所以 0<x﹣1≤1,x∈(1,2] 故选 A 点评:本题考查求函数的定义域问题,属基本题型、基本运算的考查.

6.函数 y=

的定义域为(



A.[﹣3,4]

B. (1,4]

C. (1, )∪( ,4]

D. (﹣3, )∪( ,4]

考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。

分析:根据条件可得

解不等式可得结果.

解答:解:由已知可得

解不等式可得

故选 C 点评:求函数的定义域,实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式(或不等式組)然后求出它们 0 的解集,其准则是:①分式中,分母不为 0②偶次方根中,被开方数为非负数③对于 y=x ,要求 x≠0④对数式,真 数大于 0,底数大于 0 且不等 1⑤由实际问题确定的函数,定义域要受实际问题的约束⑥抽象函数的定义域要看清 内外层之间的关系.

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www.jyeoo.com 7.函数 的定义域为( ) D.[1,+∞)

A.[1,2)∪(2,+∞) B. (1,+∞) C.[1,2) 考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 分析:利用分式分母不为零,偶次方根非负,得到不等式组,求解即可. 解答:解:由题意 解得 x∈[1,2)∪(2,+∝)

故选 A 点评:本题是基础题,考查函数定义域的求法,注意分母不为零,偶次方根非负,是解题的关键.

8.函数

的定义域为(

) C.[﹣1,0)∪(0,+∞) D. (﹣1,0)∪(0,+∞)

A. (﹣1,+∞) B.[﹣1,+∞) 考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 分析:由题意可得 解答:解:由题意可得

,解不等式可求得函数的定义域

∴x≥﹣1,x≠0 ∴函数的定义域为[﹣1,0)∪(0,+∞) 故选:C 点评:本题考查了求函数的定义域的最基本的类型①分式型:分母不为 0②偶次根式型:被开方数大于(等于)0, 求函数定义域的关键是根据条件建立不等式,其实质是解不等式(组) . 9.函数 A. C. 的定义域是( ) B. D.

考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题;综合题。 分析:直接求无理式的范围,解三角不等式即可. 解答:解:由 2cosx+1≥0 得 ,∴ ,k∈Z.

故选 D. 点评:本题考查函数的定义域,三角不等式(利用三角函数的性质)的解法,是基础题. 10.若函数 f(x)的定义域为[0,2],则 f(2 ﹣2)的定义域为( ) A.[0,1] B.[log23,2] C.[1,log23] D.[1,2] 考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 x x x 分析:由 f(2 ﹣2)是用 2 ﹣2 代换的 f(x)中的 x,再由函数 f(x)的定义域,则有 0≤2 ﹣2≤2 求解. 解答:解:∵函数 f(x)的定义域为[0,2], x ∴0≤2 ﹣2≤2
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x

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www.jyeoo.com ∴1≤x≤2 故选 D 点评:本题主要考查抽象函数定义域的求法,这类问题实际上是利用定义域的定义求解,要注意两点,一点是定义 域是自变量的取值范围,第二点是代换后要符合代换前的要求.

11. (2011?江西)若

,则 f(x)的定义域为(



A.

B.

C.

D.

考点:函数的定义域及其求法;对数函数的定义域。 专题:计算题。 分析:根据分式函数的分母不能为 0,再由对数函数的真数要大于零使得对数函数有意义,可得比等式组,最后两 个不等式的解集取交集可得答案. 解答:解:根据题意有: 解得:﹣ <x≠0, 所以其定义域为: 故选 C. 点评:本题主要考查给出解析式的函数的定义域的求法,常见的有分母不能为零,负数不能开偶次方根,零次幂及 真数要大于零等.

12. (2010?湖北)函数

的定义域为(



A. ,1) (

B. ,∞) (

C. (1,+∞)

D. ,1)∪(1,+∞) (

考点:函数的定义域及其求法;对数函数的单调性与特殊点。 专题:计算题。 分析:由 log0.5
(4x﹣3)

>0 且 4x﹣3>0 可解得
(4x﹣3)



解答:解:由题意知 log0.5 由此可解得 ,

>0 且 4x﹣3>0,

故选 A. 点评:本题考查函数的定义域,解题时要注意公式的灵活运用. 13. (2010?广东)函数 f(x)=lg(x+1)的定义域为( ) A. (﹣∞,+∞) B. (﹣∞,﹣1] C. (﹣1,+∞) D.[﹣1,+∞) 考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 分析:根据对数函数的性质可知,真数大于 0,建立关系式,解之即可. 解答:解:f(x)=lg(x+1) x+1>0 解得,x>﹣1 ∴函数 f(x)=lg(x+1)的定义域为(﹣1,+∞) 故选 C
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www.jyeoo.com 点评:本题主要考查了对数函数的定义域,对数函数定义域的求解一般确保真数恒大于 0,属于基础题. 的定义域为( B. ) C.

14.函数 y= A. (﹣ D.

考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 分析:两个被开方数都需大于等于 0;列出不等式组,求出定义域. 解答:解:要使函数有意义,需 解得 , ,

故选 B. 点评:本题考查求函数的定义域时,当函数解析式有开偶次方根的部分,需使被开方数大于等于 0.注意:定义域 的形式是集合或区间.

15. (2005?湖南)函数 f(x)=

的定义域是(



A. (﹣∞,0] B.[0,+∞) C. (﹣∞,0) D. (﹣∞,+∞) 考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 x 0 分析:由题意得 1﹣2008 ≥0, ,移项后把“1”变为 2008 ,求出不等式的解集即是所求的定义域. 解答:解:要使函数 f(x)=
x 0

有意义,只需要 1﹣2008 ≥0,

x

即 2008 ≤1=2008 ,解得 x≤0, 则函数 f(x)的定义域是(﹣∞,0]. 故选 A. 点评: 本题根据偶次根号下被开方数大于等于零列出不等式, 再把常数化为底数相同的指数幂形式, 求出 x 的解集, 即是函数的定义域. 的定义域为( )

16.函数

A.? B.R C.[﹣1,1] D.x=1 考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 分析:令两个被开方数同时大于等于 0,求出 x 的范围,写成区间形式即为定义域. 解答:解:要使函数有意义,需满足:

解得﹣1≤x≤1. 所以函数的定义域为【﹣1,1】 故选 C 点评:求具体函数的定义域时,要保证各部分由意义即可.特别需注意:开偶次方根,被开方数大于等于 0、分母 非 0、对数函数的真数大于 0 底数大于 0 不为 1 等.

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www.jyeoo.com 17.函数 f(x)= 的定义域是( ) D. (2log23,+∞)

A. (﹣∞,2log23] B. (3,+∞) C. (3,2log23] 考点:函数的定义域及其求法;对数函数的定义域。 分析:令根号下非负,解不等式 解答:解:由题意
x

≥0 即可 ≥0,解得 2 ﹣8≥1,即 x≥2log23

故定义域为(2log23,+∞) 故答案为:D. 点评:本题考查求函数的定义域,解题的关键是由函数解析式的形式得出使自变量有意义的限制条件,不等式,方 程等,然后解出其范围.

18.已知

,则 f(x)的定义域是(



A.[﹣2,2] B.[0,2] C.[0,1)∪(1,2] D. 考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 分析:利用换元法求函数 f(x)的解析式,而函数 f(x)的定义域即为求解函数解析式中“新元”的取值范围. 解答:解:设 t= ∴ ∴ ,x∈[0,2]且 x≠1

故选 C 点评:本题以函数的定义域为载体,但重点是利用换元法求函数解析式,而换元法的关键设确定“新元”的取值范围, 进而确定函数的定义域. 19.函数 A. ,1]? ( 的定义域为( )

B. (﹣∞,1]?

C. (﹣∞, )

D. ,1) (

考点:函数的定义域及其求法;对数函数的单调性与特殊点。 专题:计算题。 分析:根据题意,要开偶次方,被开方数不小于 0,就是 即可. 解答:解:要使函数有意义,必须 ≥0 ≥0,同时对数的真数 4x﹣3>0,然后求解

即:

所以 0<4x﹣3≤1

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www.jyeoo.com 解得 x∈( ,1]? 故选 A. 点评:本题考查函数的定义域及其求法,对数函数的单调性与特殊点,考查计算能力,是基础题. 20. 若两个函数的对应关系相同, 值域相同, 但定义域不同, 则称这两个函数为同族函数. 那么与函数 y=x , x∈{﹣ 3,3}为同族函数的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 考点:函数的定义域及其求法。 专题:新定义。 分析:利用同族函数的定义可知,只要其对应关系,值域相同,定义域不同即可,易得答案. 解答:解:∵函数 y=x2,x∈{﹣3,3}且两个函数的对应关系相同,值域相同,但定义域不同,则称这两个函数为 同族函数 ∴与函数 y=x2,x∈{﹣3,3}为同族函数的定义域有:x∈{﹣3},x∈{3}两个 故选 B. 点评:本题考查了函数的定义域,及函数的三要素,是个新定义题. 21.已知函数 f(x)的定义域是(0,1) ,那么 f(2 )的定义域是( ) A. (0,1) B. (,1) C. (﹣∞,0) D. (0,+∞) 考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题;整体思想。 x x 分析:根据函数 f(x)的定义域是(0,1) ,而 2 相当于 f(x)中的 x,因此得到 0<2 <1,利用指数函数的单调 性即可求得结果. 解答:解:∵函数 f(x)的定义域是(0,1) , x ∴0<2 <1, 解得 x<0, 故选 C. 点评:此题主要考查了函数的定义域和指数函数的单调性,体现了整体代换的思想,是一道基础题. ,则 f( B.[﹣3,3) )+f(2x﹣1)的定义域为( C.[﹣1, ]∪[ ,2] ) D.[﹣1, ]∪( ,2)
x 2

22.设 f(x)= A.[﹣3,3]

考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 分析:由函数 f(x)的定义域为[﹣3,3) ,知在函数 f( 由此能求出函数 f( 解答:解:由于 )+f(2x﹣1)的定义域. ,得: )+f(2x﹣1)中,﹣3≤ <3,﹣3≤2x﹣1<3,

函数 f(x)的定义域为[﹣3,3) , ∴在函数 f( 令﹣3≤ )+f(2x﹣1)中, <3①,

﹣3≤2x﹣1<3②,

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www.jyeoo.com 由①得 x 或x ,

由②得﹣1≤x<2; 解得﹣1≤x ,或 <x<2,

故选 D. 点评:本题考查函数的定义域及其解法,是基础题.解题时要认真审题,注意整体思想的灵活运用. 23. (2011?广东)设 f(x) ,g(x) ,h(x)是 R 上的任意实值函数,如下定义两个函数(f°g) (x)和( (f?g) (x) 对任意 x∈R, (f°g) (x)=f(g(x); )(f?g) (x)=f(x)g(x) ,则下列等式恒成立的是( ) A.(f°g)?h) ( (x)=( (f?h)°(g?h)(x) ) B.(f?g)°h) ( (x)=( (f°h)?(g°h)(x) ) C.(f°g)°h) ( (x)=( (f°h)°(g°h)(x) ) D.(f?g)?h) ( (x)=( (f?h)?(g?h)(x) ) 考点:抽象函数及其应用。 专题:新定义。 分析:根据定义两个函数(f°g) (x)和( (f?g) (x)对任意 x∈R, (f°g) (x)=f(g(x); )(f?g) (x)=f(x)g(x) , 然后逐个验证即可找到答案. 解答:解:A、∵(f°g) (x)=f(g(x), )(f?g) (x)=f(x)g(x) , ∴( (f°g)?h) (x)=(f°g) (x)h(x)=f(g(x) )h(x) ; 而( (f?h)°(g?h)(x)=(f?h)(g?h) )=f(g(x)h(x) ) ( (x) )h(g(x)h(x); ) ∴( (f°g)?h) (x)≠( (f?h)°(g?h)(x) ) B、∵( (f?g)°h) (x)=(f?g) (h(x) )=f(h(x) )g(h(x) ) ( (f°h)?(g°h)(x)=(f°h)?(x) ) (g°h) (x)=f(h(x) )g(h(x) ) ∴( (f?g)°h) (x)=( (f°h)?(g°h)(x) ) C、(f°g)°h) ( (x)=( (f°g) (h(x) )=f(h(g(x)) ), ( (f°h)°(g°h)(x)=f(h(g(h(x)) ) )) ∴( (f°g)°h) (x)≠( (f°h)°(g°h)(x) ) ; D、(f?g)?h) ( (x)=f(x)g(x)h(x) , ( (f?h)?(g?h)(x)=f(x)h(x)g(x)h(x) ) , ∴( (f?g)?h) (x)≠( (f?h)?(g?h)(x) ) . 故选 B. 点评:此题是个基础题.考查学生分析解决问题的能力,和知识方法的迁移能力. 24.函数 y=f(x)与 y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义域中任意 x,有 f(x)+f(﹣x)=0,g (x)g(﹣x)=1,且 x≠0,g(x)≠1,则 F(x)= A.是奇函数但不是偶函数 函数也不是偶函数 考点:抽象函数及其应用。 专题:计算题。 +f(x) ( ) D.既不是奇

B.是偶函数但不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

分析:由已知中 f(x)+f(﹣x)=0,g(x)g(﹣x)=1,且 x≠0,g(x)≠1,则 F(x)= 出 F(﹣x)的解析式,然后根据函数奇偶性的定义即可得到答案. 解答:解:由条件 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(x)g(﹣x)=1,F(x)= F(﹣x)= +f(﹣x) +f(x)得:

+f(x) ,我们求

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www.jyeoo.com = =

=

=

=

=F(x) ,

故 F(x)=

+f(x)为偶函数,

故选 B. 点评: 本题考查的知识点是抽象函数及其应用,其中根据已知条件求出函数 F (﹣x)的解析式, 是解答本题的关键. 25.函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞) ,且对于定义域内的任意 x,y 都有 f(x?y)=f(x)+f(y) ,且 f(2)=1, 则 A. 的值为( B. ) C.2 D.﹣2

考点:抽象函数及其应用。 专题:计算题。 分析:利用赋值法,令 x=2,y=1 得 f(2)=f(2×1)=f(2)+f(1) ,可得 f(1)=0,同理可得 f( )=﹣1,最 后令 ,从而得到所求.

解答:解:令 x=2,y=1 得,f(2)=f(2×1)=f(2)+f(1) , ∴f(1)=0, 令 ∴ 令 得, , ∴ 故选 B. 点评:本题考查抽象函数的应用,利用赋值法求出 f(1)=0 和 f( )=﹣1,是解题的关键. 得, ,

26.定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,若 f(k?3 ) x x +f(3 ﹣9 ﹣2)<0 对任意 x∈R 恒成立,则实数 k 的取值范围为( ) A. (﹣1,﹣1+2 ) B. (﹣∞,﹣1+2 ) C. (﹣∞,﹣1) D.[﹣1+2 ,+∞) 考点:抽象函数及其应用。
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www.jyeoo.com 专题:计算题;转化思想。 分析:根据抽象函数满足的函数值的性质确定出 f(0)=0 是解决本题的关键,结合 f(0) ,f(3)的大小关系确定 出该函数的单调性,将函数值的关系转化为自变量关系进而求解出实数 k 的取值范围. 解答:解:令 x=y=0,得出 f(0)=2f(0)? f(0)=0. 又根据 f(3)=log23>0=f(0) ,f(x)是 R 上的单调函数进一步确定出 f(x)是 R 上的单调递增函数. 因此 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)=f(k?3 +3 ﹣9 ﹣2)<0=f(0)? +3 ﹣9 ﹣2<0? k?3 k<3 +
x x x x x x x x x x x x

﹣1,

根据基本不等式得到 3 +
x

﹣1≥

=
x

﹣1,当且仅当 3 =

,即 x=

时取等号,

因此 k<3 +

﹣1 对任意 x∈R 恒成立? k<3 +

﹣1 的最小值,即 k<﹣1+



故选 B. 点评:本题考查抽象函数的赋值思想求函数值,考查函数单调性的应用,即借助函数单调性根据函数值大小确定出 自变量大小,进而得出关于字母的不等式,利用分离变量的思想转化为函数的最值问题,通过基本不等式求解出函 数的最值,求出字母的取值范围.考查学生的转化与化归的思想. 27.已知函数 y=f(x) ,对于任意两个不相等的实数 x1、x2,都有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2)成立,且 f(0)≠0, 则 f(﹣2009)?f(﹣2008)…f(2008)?f(2009)的值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点:抽象函数及其应用。 专题:计算题。 分析:本题为抽象函数问题,可用赋值法求解,令 x2=0,则 f(x1)=f(x1)?f(0) ,所以 f(0)=0,令 x1=x,x2= ﹣x,则 f(0)=f(x)?f(﹣x)=0,则结果可求,本题为选择题,也可直接令 f(x)=ax 求解. 解答:解:x2=0,则 f(x1)=f(x1)?f(0) ,所以 f(0)=1. 令 x1=x,x2=﹣x,则 f(0)=f(x)?f(﹣x)=1, 所以 f(﹣2009)?f(﹣2008)…f(2008)?f(2009)=1 故选 B. 点评:本题考查抽象函数的求值问题,解决抽象函数常用方法为赋值法.

28. 已知 f (x+y) (x) (y) =f ﹣f 对于任意实数 x 都成立, 在区间[0, +∞) 单调递增, 则满足 的 x 取值范围是( A. ) B. C. D.

考点:抽象函数及其应用。 专题:计算题。 分析: 可令 x=y=0, 求得 (0) 再令 y=﹣x, f , 可判断 (x) f 的奇偶性, 结合其单调性, 即可求得 的 x 取值范围. 解答:解:令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=﹣x,f(﹣x)=f(x) ,∴f(x)为偶函数, ∴f(﹣x)=f(|x|) ,又 f(x)在区间[0,+∞)单调递增,∴|2x﹣1|< ,∴ ,

故选 A. 点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法及函数奇偶性与单调性的应用,属于中档题. 29.函数 f(x)的定义域为 R+,若 f(x+y)=f(x)+f(y) ,f(8)=3,则 f(2)=( )

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www.jyeoo.com A. B. C. D.

考点:抽象函数及其应用。 专题:计算题。 分析:函数 f(x)的定义域为 R+,若 f(x+y)=f(x)+f(y) ,f(8)=3,令 x=y=4,x=y=2,即可求得 f(2)的 值. 解答:解:∵f(x+y)=f(x)+f(y) ,f(8)=3, ∴令 x=y=4,则 f(8)=2f(4)=3, ∴f(4)= , 令 x=y=2,f(4)=2f(2)= , ∴f(2)= . 故选 B. 点评:考查抽象函数及其应用,求抽象函数的有关命题,常采用赋值法求解,属基础题. 30.定义在 R 的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ,x,y∈R,且 f(1)=2,有下面的四个式子: ①f(1)+2f(1)+…+nf(1) ;②f[ ];③n(n+1) ;④n(n+1)f(1) ,则其中与 f(1)+f(2)+…+f(n)

相等的有( ) A.①③ B.①② C.①②③ D.①②③④ 考点:抽象函数及其应用。 专题:计算题。 分析:由已知,定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x,y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R) ,且 f(1)=2,f(2) =2f(2) , f(n)=nf(1) ,f(1)+f(2)+…+f(n)=f(1)+2f(1)+…+nf(1)= 即可判定真假. 解答:解:由定义知 f(1)=2,f(2)=2f(2) ,f(n)=nf(1) , f(1)+f(2)+…+f(n)=f(1)+2f(1)+…+nf(1)= = f(1)=n(n+1) ; = f(1)=n(n+1)

故①②③正确,④不正确; 故选 C. 点评:在新定义函数的规则下,考查等差数列求和,隐蔽性相当强.请读者注意总结本题的经验.

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