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【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版):第九章 平面解析几何 9-6 Word版含解析


基础达标检测 一、选择题 1.若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹为( A.圆 C.双曲线 [答案] D [解析] 把直线 x=-1 向左平移一个单位,两个距离就相等了, 它就是抛物线的定义. 2.已知抛物线 y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线 的位置关系是( A.相离 C.相切 [答案] C [解析] 设抛物线焦点弦为

AB,中点为 M,准线为 l,A1,B1 分别 为 A,B 在直线上的射影,则 |AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|. 1 1 1 于是 M 到 l 的距离 d=2(|AA1|+|BB1|)=2(|AF|+|BF|)=2|AB|=半径, 故相切. 3.抛物线 y2=4x 上点 P(a,2)到焦点 F 的距离为( A.1 C.4 [答案] B B.2 D.8 ) ) B.相交 D.不确定 ) B.椭圆 D.抛物线

[解析] 因为 P(a,2)在抛物线 y2=4x 上,求得 P(1,2),又抛物线 y2 =4x 的焦点为 F(1,0),则|PF|= 0+4=2. 本题也可转化为 P 到准线的距离求解. 4.(文)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面 积为( ) B.24 D.48

A.18 C.36 [答案] C

[解析] 本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等.
?p ? p 设抛物线为 y2=2px,则焦点 F?2,0?,准线 x=-2,由|AB|=2p ? ?

1 =12, 知 p=6, 所以 F 到准线距离为 6, 所以三角形面积为 S=2×12×6 =36. (理)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4, 则抛物线方程为( A.y2=± 4x C.y2=4x [答案] B [解析] 本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系.
?a ? 由已知得抛物线焦点为 F?4,0?, ? ?

)

B.y2=± 8x D.y2=8x

a? a? ? ? ∴AF 所在直线方程为 y=2?x-4?.∴A?0,-2?,
? ? ? ?

1 ?? a?? |a| a2 ∴S△OAF=2×??-2??· = =4, ?? ?? 4 16 ∴a2=64,∴a=± 8,∴抛物线的方程为 y2=± 8 x.

5.(2013· 江西高考)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F, 射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|:|MN| =( ) A.2: 5 C.1: 5 [答案] C [解析] 本题考查了抛物线定义等.如图: B.1:2 D.1:3

过 M 作准线的垂线 MH,设∠FAO=∠MNH=α, |OF| 1 5 |MH| |MF| 1 则 tanα=|OA|=2,sinα= 5 =|MN| =|MN|= . 5 6.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,并且 满足 OA⊥OB,则 y1y2 等于( A.-4p2 C.-2p2 [答案] A → → [解析] ∵OA⊥OB,∴OA· OB=0.① ∴x1x2+y1y2=0. ) B.-3p2 D.-p2

2 ? ?y1=2px1, ∵A、B 都在抛物线上,∴? 2 ? ?y2=2px2.

y1 ? ?x1=2p, ∴? 2 y2 ? ?x2=2p.

2

2 y2 1 y2 2 代入①得2p· + y 1y2=0,解得 y1y2=-4p . 2p

二、填空题 7.(文)(2013· 北京高考)若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0),则 p =________,准线方程为________. [答案] 2 x=-1

p [解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由2=1 知 p=2, p 则准线方程为 x=-2=-1. (理)设抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 y 轴上,且抛物线上的点 P(k,-2)到点 F 的距离为 4,则 k 的值为________. [答案] 4 或-4 p [解析] 由题意可设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),则2+2=4, p=4,k2=-2×4(-2),∴k=4 或-4. 8.下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2m,水面宽 4m,水位下降 1m 后,水面宽________m.

[答案] 2 6

[解析] 本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力. 设抛物线方程为 x2=-2py,代入 P(2,-2)得 2p=2, ∴x2=-2y,当 y=-3 时,x2=6,∴x=± 6, 则此时水面宽为 2 6m. 9.(2013· 河南洛阳、安阳统考)点 P 在抛物线 x2=4y 的图像上,F 为其焦点,点 A( - 1,3) ,若使 |PF| + |PA| 最小,则相应 P 的坐标为 ________. 1 [答案] (-1,4) [解析] 由抛物线定义可知 PF 的长等于点 P 到抛物线准线的距 1 离,所以过点 A 作抛物线准线的垂线,与抛物线的交点(-1,4)即为所 求点 P 的坐标,此时|PF|+|PA|最小. 三、解答题 10.设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交 于 A、B 两点. (1)设 l 的斜率为 1,求|AB|的大小; → → (2)求证:OA· OB是一个定值. [解析] (1)∵F(1,0),∴直线 l 的方程为 y=x-1,
?y=x-1, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 得 x2-6x+1=0, ? ?y =4x

∴x1+x2=6,x1x2=1. ∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = 2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· 36-4=8. (2)证明:设直线 l 的方程为 x=ky+1,

? ?x=ky+1, 由? 2 得 y2-4ky-4=0. ?y =4x ?

∴y1+y2=4k,y1y2=-4, → → OA=(x1,y1),OB=(x2,y2). → → ∵OA· OB=x1x2+y1y2 =(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k2+4k2+1-4=-3. → ∴OA· OB 是一个定值. 能力强化训练 一、选择题 1.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点, PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=( A.4 3 C.8 3 [答案] B [解析] 如图,kAF=- 3,∴∠AFO=60° , B.8 D.16 )

∵|BF|=4,∴|AB|=4 3,即 P 点的纵坐标为 4 3, ∴(4 3)2=8x,∴x=6,∴|PA|=8=|PF|,故选 B. 2.(文)已知点 M 是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,F 为抛物线的 焦点,若以|MF|为直径作圆,则这个圆与 y 轴的关系是( A.相交 C.相离 [答案] B B.相切 D.以上三种情形都有可能 )

[解析] 如图,由 MF 的中点 A 作准线 l 的垂线 AE,交直线 l 于点 E,交 y 轴于点 B;由点 M 作准线 l 的垂线 MD,垂足为 D,交 y 轴于 点 C,

则 MD=MF,ON=OF, ∴AB= OF+CM ON+CM DM MF = = 2 = 2 ,∴这个圆与 y 轴相切. 2 2

(理)(2014· 台州模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,F 关于 原点的对称点为 P,过 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 M、N 两点,有下 列四个命题: ①△PMN 必为直角三角形;②△PMN 不一定为直角三角形;③直 线 PM 必与抛物线相切;④直线 PM 不一定与抛物线相切.其中正确 的命题是( A.①③ C.②③ [答案] A [解析] 因为|PF|= |MF|= |NF|,故∠ FPM=∠FMP,∠ FPN=∠ ) B.①④ D.②④

FNP,从而可知∠MPN=90° ,故①正确,②错误;令直线 PM 的方程 p 为 y=x+2, 代入抛物线方程可得 y2-2py+p2=0, Δ=0, 所以直线 PM 与抛物线相切,故③正确,④错误. 二、填空题 3.(文)已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,|AF|=2,则|BF|=______. [答案] 2 [解析] 本题考查抛物线的定义 设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2), 抛物线 y2=4x,焦点为(1,0),准线为 x=-1. |AF|=x1-(-1)=2,所以 x1=1. 则 AF 与 x 轴垂直,|BF|=|AF|=2.

(理)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点.若 |AF|=3,则|BF|=________. 3 [答案] 2 [解析] 本题考查抛物线定义、直线与抛物线关系. 解法 1:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3 及抛物线定义可知 x1 +1=3,x1=2, ∴A(2,2 2),则直线斜率为 k= 2 2-0 =2 2, 2-1

所以 AB 方程为 y=2 2(x-1),
?y2=4x ? 由? 联立消去 y 得,2x2-5x+2=0, ?y=2 2?x-1? ?

1 解之得 x1=2,x2=2, 1 3 所以|BF|=x2+1=2+1=2. 1 解法 2:利用抛物线的性质.由抛物线过焦点的弦的性质知|AF|+ 1 2 1 1 = ,即 + |BF| p 3 |BF|=1. 3 解得|BF|=2. 4.设 P 是抛物线 y=x2 上的点,若 P 点到直线 2x-y-4=0 的距 离最小,则 P 点的坐标为________. [答案] (1,1)
2 [解析] 解法 1:设 P 点坐标为(x0,x0 ),由点到直线的距离公式得

|2x0-x2 5 0-4| d= = 5 |x2 0-2x0+4| 5

5 3 5 = 5 |(x0-1)2+3|≥ 5 . 3 5 由上式可知当 x0=1 时,dmin= 5 .

∴点 P 的坐标为(1,1). 解法 2: 如图, 平移 2x-y-4=0 这条直线至过点 P 与抛物线相切, 则 P 点到直线的距离最短. 设 P(x0,y0),∵y′=2x. ∴过 P 点的切线斜率 k=y′|x=x0=2x0=2. ∴x0=1,y0=x2 0=1,故 P 点坐标为(1,1).

三、解答题 5. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, A 是抛物物上横坐标为 4, 且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直 于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程; (2)若过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标. p [解析] (1)抛物线 y2=2px 的准线为 x=-2, p 于是 4+2=5, ∴p=2.∴抛物线方程为 y2=4x.

(2)∵点 A 的坐标是(4,4),由题意得 B(0,4),M(0,2). 4 又∵F(1,0),∴kFA=3, 3 ∵MN⊥FA,∴kMN=-4. 4 又 FA 的方程为 y=3(x-1), 3 8 4 故 MN 的方程为 y-2=-4x,解方程组得 x=5,y=5, 8 4 ∴N 的坐标为(5,5). 6. 如图所示, 抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐标原点, 点 P(1,2), A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. [分析] (1)设出抛物线方程,利用待定系数法求解. (2)可考虑“点差法”表示直线 AB 的斜率. [解析] (1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0). ∵点 P(1,2)在抛物线上, ∴22=2p×1,解得 p=2.

故所求抛物线的方程是 y2=4x, 准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB, y1-2 y2-1 则 kPA= (x1≠1),kPB= (x ≠1), x1-1 x2-1 2 ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补, ∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得
2 y1 =4x1① 2 y2 =4x2②

y1-2 y2-2 ∴1 =-1 , 2 2 4y1-1 4y2-1 ∴y1+2=-(y2+2). ∴y1+y2=-4. 由①-②得直线 AB 的斜率 y2-y1 4 kAB= = =-1(x1≠x2). x2-x1 y1+y2 [点评] (1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法. 利用题中已知 条件确定抛物线的焦点到准线的距离 p 的值. (2) 对于和抛物线有两个交点的直线问题, “ 点差法 ” 是常用方 法.如若 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y2=2px 上两点,则直线 AB 的 斜率 kAB 与 y1+y2 可得如下等式: 由 y2 1=2px1①
2 y2 =2px2② 2 ②-①得 y2 2-y1=2p(x2-x1),



y2-y1 2p 2p = (x1≠x2),∴kAB= . x2-x1 y2+y1 y2+y1


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