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高中物理竞赛培训《运动学》


高中物理竞赛培训——运动学部分

一、数形结合处理竖直上抛
对于某些较难求解的问题,按数形结合的思想分析处理, 物理过程将大大简化,计算快速便捷。竖直上抛的统一物理 公式是

1 2 x ? ? 0 t ? gt 2
位移实际上是时间的二次函数,其图像是抛物线。

例题一个以30m/s的初速度将小球上抛,每隔1秒抛出一球, 假设空气阻力,可以忽略不计,而且升降的球并不相碰,问(1) 最多能有几个球在空中?(2)设在t=0时将第1个球抛出,在哪 些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过?
分析:子弹同地出发,设第一颗子弹射出t后经后和另一颗子弹相遇,则另一颗子弹 在空中的时间为t-n(n=1,2…)
方法一:位移相等法 子弹同地出发,空中相遇时位移相等,由竖直上抛规律可得

1 2 1 ?0t ? gt ? ?0 (t ? n) ? g (t ? n)2 2 2
考虑到 t ?

t ? 3?

2?0 ? 6s g

n 2

则n=1,2,3,4,5时所对应t的为3.5s,4s,4.5s,5,5.5s分别为第 2,3,4,5,6颗子弹和第1颗子弹相遇的时刻

方法二:速率对称法 竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时,速度总是大 小相等,方向相反

?(?0 ? gt ) ? ?0 ? g (t ? n)

t ? 3?

n 2

方法三:利用图象法 作出子弹的运动的s-t图

拓展:杂技演员表演抛四球游戏时,每隔相等的时间就抛出一球, 若空中总有三球,手中总有一球,假设各球上升的最大高度都是 1.25m,求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时,其它 三球的高度
分析:每个球上升的最大高度都是1.25m,故各球在空中运动的时间都是1s

要使空中总有三球,手中总有一球,故当抛第四球时,要求第一 球恰好回到手中,位移抛物线如图所示,

各球在手中停留的时间都是1/3s

学生练习:一杂技演员,用一只手表演抛球、接球。每隔0.4s 抛出一球,接到球后便立即把球抛出。已知除正在抛、接球的 时刻外,空中共有四球,球上升的最大高度。
分析:手中无球时,空中球的个数即为表演用的球的个数,因此 本次表演共有4个球,由于不计球在手中停留的时间,因此可画出 当第一个球恰好回到手中时,各球在空中的分布情况。 如图,第3个球位于最高点,2、4两球等高,由于上半 段平均速度小,下半段平均速度大,故2、4两球位于 半高度的上方。
每个球空中的循球周期

T ? 4?t ? 4 ? 0.4 ? 1.6s
上升的时间为 上升的高度为

1 2 h ? gt ? 3.2m 2

t ? T / 2 ? 0.8s

每隔△t时间抛出一球,共有n个球,试求每个球到达的最大高 度h
每个球从手中抛出后都是经过T=n△t的时间落回手中, 经时间t=T/2= n△t/2上升到最高点,故最大高度

1 2 1 2 2 h ? gt ? gn ?t 2 8

几何上的相似性不一定带来等价的物理原理上的相似性

例题:摄制电影时,为了拍摄下落物体的特写镜头,做了一个线度为1/49实 物的的模型。放电影时,走片速度为每秒24张,为了使动画逼真,拍摄时走 片速度应为多大?模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍?
设实物在时间t内下落的高度为h,而模型用时间t0下落了对应的高度h0,,则 由自由落体公式应有

1 2 ? ? h ? 2 gt ? ? ? h ? 1 gt 2 ? 0 2 0 ?

h0 1 ? 利用的辅助条件 h 49

1 t0 ? t 7

可见放电影时应将模型运动时间“放大”7倍,才能使人们看电影时欣赏到逼真 的画面。为此,在拍摄电影时,拍摄的走片速度应为放映时走片速度的7倍。

24张 / 秒 ? 7 ? 168张 / 秒
又设实物在某段时间△t内以速度υ通过位移△s,而模型与之对应的量则分别是时间 △t0 、速度υ0 、位移△s0 ,由于有

1 1 ?t0 ? ?t ?s0 ? ?s 7 49

?0 ?s0 / ?t0 1 ? ? ? ?s / ?t 7

二、最速路径问题 何谓最速路径问题? 著名的“伽利略最速路径问题”: 1 伽利略的答案:圆弧曲线 (错误)

A

伯努利兄弟的答案:滚轮曲线的一部分 (正确)
B

最速路径问题
?寻找一条运动时间最短的路径 ?从两条路经中找出运动时间较短的一条 问题1、如图所示,地面上有一固定的球面, 球面的斜上方P处有一小球。现要确定一条从P到 球面的光滑倾斜直轨道,使小球从静止开始沿轨
P

× ? ? ?

道滑行到球面所历的时间最短。
分析: 先凭直觉猜一猜结果?
最速路径:例题1

先讨论 预备问题、 如图,地面附近有一空心球,过顶点
P有很多光滑直轨道抵达球内表面。试证明小球沿任意 轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。 φ 证明: g// g P

任取一条轨道PQ, PQ和水平面夹角为φ.
PQ的长为 l ? 2R sin ? 下滑的加速度 g // ? g sin ? 所以
tP ?Q ? 2l 4 R sin ? R ? ?2 g // g sin ? g

Q

φ

由于 t P ? Q 与φ无关,故对应任意轨道的时间均相同。

最速路径:例题1

解原题: 以P为顶点作一球面,使其与所给球面相切于Q, 则线段PQ即为所求的轨道。 (1)作图确定线段PQ:

A R P

关键是确定球心O’
过P点作竖直线AB, 且使AP等于R,

Q1 Q R O

O’

连接A、O,作AO的中垂线与直线AP相
交,交点O’即为所求的球心。 连接O’与O所得交点即为Q. (2)证明线段PQ为所求: 略。

Q2 B

题后总结
?最后的作图方法较困难

?本题还可以用分析法解答
最速路径:例题1

PK a?g PN
1 2 PM ? at 2

2 PM 2 PM ? PN t ? ? ?? a g PK
2

PM ? PN ? PT 2 ? cons tan t

接下来如何思考呢?

?OPO' ? ?
PC H ? R cos ? ? ? L OP

( R ? r )2 ? L2 ? r 2 ? 2 Lr cos ?
L2 ? R 2 L2 ? R 2 r? ? 2 R ? 2 L cos ? 2H

tmin

r ?2 ? g

2( L2 ? R 2 ) Hg

相关变换:竖直平面内建立直角坐标系xoy,x轴水平,过抛物 线x2 =2py的焦点弦是一刚性的光滑轨道,一小物块从轨道上端 A无初速释放,问滑到轨道底端B所用时间最小为多少?此时AB 与水平面的夹角满足什么条件?
焦点F(0、p/2)

AB的直线方程

p y ? ? tg?x 2

x ? 2 py
2

x ? 2 ptg? ? p ? 0
2 2

?x A ? x B

? 2 ptg?

x A xB ? ? p 2

( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB x A ? xB 2p ?? ? ? cos? cos? cos2 ?
?? 1 g sin ?t 2 2

渡河中的流速线性变化问题
例题:河流宽度为L,流速与离岸的距离成正比,岸边流速为零, 河中心流速为v0,一小船以恒定的相对速度vr垂直于流速方向, 从一岸驶向另一岸,试求小船的运动轨迹。 2? 0 2? 0 u? y K如何定? k? L L 2? ? 1 ? 2? 0 ? ?0 2 ?x ? u ? 0 y x ? axt 2 ? ?r ? ?a x ? L x? y ? 2 L ? ? L? r ?? y ? ? r ?a y ? 0 ? y ? ?rt ? ? ? L ? ? y1 ? 2 ?0? r 2 ? 1 2 ? 抛物线?? t ? x ? x1 ? ? 0t ? ? x ? x1 ? ? 0 x t ? a x t ? 2 ? ? 2L ? ? x1 ? 0 L ? y ? y1 ? ? 0 y t ? y ? y1 ? ? r t ? ? 4? r ? ?

u ? ky

消去t,得到什么?

另一岸时,y=L

质点动态多边形的会聚问题

例题、A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为l 的正三角形顶点出发,以相对地的相 同的速率v运动,运动中始终保持着A朝着B、B朝着C、C朝着A,试问经多少时间三人相 聚?每个演员跑了多少路程? 解: 三位演员的运动是匀速直线运动还是匀速曲线运动? 三位演员作相同的匀速率曲线运动。 在运动过程中三位演员的位置有什么关系? 三位演员任何时候的位置均构成正三角形。但 诸三角形的边长越来越短。 最后三位演员在何处相遇? 三位演员最终在三角形ABC的中心相遇。此时三
B A
C

角形边长缩短为零。
研究三角形的边长的变化情况,设法找出 三角形边长由l 缩短为零所用的时间!!

将从开始到相遇的时间t分为n份小量时间Δt: 设每经过Δt 的时间后三角形的边长依次缩短为:
?A1 B1C1 : l1, ?A2 B2C 2 : l 2, ……,
?An BnC n : l n .

A
A1

C2 A2
C1

C

B2
B1
?

当l n ? 0时,三演员相遇。

如图,依据小量近似有

l1 ? A1B1 ? l ? AA1 ? BB1 cos 60 ? l ? v?t ? v?t cos 60?
1 3 ? l ? v?t ? v?t? l ? v?t 2 2 3 3 3 3 l2 ? l1 ? v?t? l ? v?t ? v?t ? l ? 2 ? v?t 2 2 2 2 3 ln ? l ? n ? v?t 2 令n ? ? , 则有l n ? 0, n?t ? t .
由此得 t ?

B

故有 0 ? l ? 3 vt . 2

2l . 3v

另解: 设经过某一小量时间Δt后,三角形的边长 由x变为x′. 如图,由余弦定理:
x? 2 ? (v?t )2 ? ( x ? v?t )2 ? 2(v?t )( x ? v?t ) cos 60?
? x ? 3 xv?t ? 3v ( ?t )
2 2 2

x ? v?t
v?t

x?

x

略去二阶小量得:
x? 2 ? x 2 ? 3 xv?t

由此式来研究在Δt时间内三角形边长的缩短 量(x - x′)!进而找出缩短的速率!

3v?t 3v?t 1 2 ? ? x(1 ? x ) ? x(1 ? ) x 2x 3 x ? x? ? v?t 即得到 2 3 显然三角形的边长是以 v的速度缩短的。 2 三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间: ? t

由此式有

l 3 v 2

?

2l . 3v

思考题1:此类问题亦可进一步推而广之,假设有个 人同时从边长为的正边形顶点出发,以相同速率运动, 运动中始终保持1朝着2,2朝着3,……(n-1)朝着n,n 朝着1,试问经过多少时间相遇?

t?

2? ? (1 ? cos ) n

?

思考题2:假如演员的速率不变,加速度的大小如何变化?

3? 2 a? 2?

光反射定律的类比应用
某些质点的运动类似光的反射现象,若应用光的反射定 律可使复杂的问题得到简单的求解。

例题、 如图,光滑水平面上两根刚性细杆OM、ON成15°夹角交于O点,小球在 OM的内侧与O相距l=20cm的P点处,以与MO成30°角方向的初速朝ON杆运动,初速度 大小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到P处?若能,则须经多少时间回到P处? 解:小球作的是匀速折线运动。 可将小球的运动类比为光线在平 面镜M、N之间的反射。 而光线经镜面反射后的行进等效
P’ N P’’

于光线沿原入射方向的行进。 因此光线在两平面镜之间的不断
反射可等效为光线沿PP′直线传播。
150
300

M P

由于 ?POP ? ? 4 ? 15? ? 60?,所以?PP ?O ? 900,
因此光线能够沿原路返回到P点。

O

l

所以小球从P点出发到又回到P点,总的路程即为PP″=2PP′.
2 PP ? 2l cos 300 所经历的时间为 t ? ? 2 3( s ) ? v0 v0

P’’

P’ N

题后总结
?这种解法的实质就是将折线运动等效 变为直线运动从而使问题得以简化。
O

150

300

M
P

l

?本题还有另一种常规解法:
1、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰 2、确定在什么位置正碰 3、算出所有折线段的总长 4、计算时间 但这种解法需解三角形!!试一试, 看能否用此法解答。

拓展:如图的示,MN为竖直墙,平面镜OB绕O的垂直于 纸面的水平轴以恒定的角速度ω转动,在墙上的A点发 出一水平光线投射到OB上,并被反射到墙上D点。设 ∠AOC=θ,AO=d,求D的速度。
D的速度方向总是向上,大小则等于OD长度的变化率

OD ? OD
'

'

d ? tg 2? ? VD cos 2?

VD

V D ' 2?

D'
θ

? ? 2?
'

抛体运动中的边界和最值问题
例题:迫击炮和目标位于同一水平面上,它们之间有高为h的小山。 迫击炮到山顶的水平距离为a目标到山的距离为b。试求为击毁目标 炮弹必需具有的最小初速度以及发射角(空气阻力不计)
如何找到切入点呢? 思维的障碍在哪里? 小山?

? x ? ? 0 cos?t ? ? 1 y ? ? 0 sin ?t ? gt 2 ? 2 ?

消去t

gx 2 y ? xtg? ? 2 (1 ? tg 2? ) 2? 0

要击中目标,满足什么条件?

x ? a ? b, y ? 0

说明什么?

g ( a ? b) 2 0 ? (a ? b)tg? ? (1 ? tg 2? ) 2 2? 0

x y ? x(1 ? )tg? a?b

x y ? x(1 ? )tg? a?b
当α为从0到π/2范围内的不同值时,得到所 有的一切轨道。 接下去的转折点在哪呢?

当α为π/4时,标出的轨道为 y ? x(1 ?

x ) a?b

在满足什么条件下这条轨道从山的上方通过?为此,求当轨道上x=a这点的高度 h1

x a?b a ab y ? x(1 ? ) h h1 ? a(1 ? )? a ? b ab a?b a?b ab gab ? a ?b 2? h? ? 0 min ? g (a ? b) ? 0 min ? ?1 ? (h ab ) ? a?b 2h ? ?

ab h? a?b

a h ? a(1 ? )tg? a?b

a?b tg? 1 ? h ab

例题:从离地面上同一高度h,相距L的两处同时各抛出一个石块: 一个以初速度V1竖直向上抛;另一石块以速度V2水平抛出。求这两 个石块在运动过程中它们之间的最短距离?(两个石块初速度位于 同一竖直平面内)

d ? ? sin ? ? ? ?

?1 ? ??
2 1 2 2

V1 L d V2 α -V1

t?

? cos?

?相

? ??

?2
2 ?12 ? ? 2

??

?2 ? ??
2 1 2 2

?

2h g

2、化曲为圆
将曲线运动分割成的无限小曲线段处理为 一小段圆弧,将质点在该小段圆弧上的运动视 为一段圆弧运动。就可利用处理圆运动的方法 来研究一般的曲线运动。 (三)曲率圆及曲率半径 1、曲率圆:平面光滑曲线某处的无限小圆 弧段所属的圆称为曲线该处的曲率圆。 2、曲率半径:上述曲率圆的半径即为曲线 该处曲率半径。 曲线某处的曲率半径ρ能反映该 处的弯 弯曲程度:

x
?

p1

?1

p

o

y

ρ大处弯曲程度小,ρ小处弯曲程度大。对一条
给定的曲线,其上各处的ρ也是确定的。

(四)从曲率圆的角度看平面光滑曲线运动的速度和加速度 ? ?v ( 方向与v 相同或者相反)——表示速度大小的变化快慢 a切 ? ? ? ? ?t a ? a切 ? a心 v2 a心 ? ? ? 2? ——表示速度方向的变化快慢

?

? a切 处处为零的运动为匀速率曲线运动。

x
?

a心

如果知道质点轨道曲线各处的ρ, 又知道质点在轨道各处的v,则质 点在各处的a心可求出。 o

p1

a
?1

p
a切

v

y

曲率半径的物理求法(一) ?让质点的运动轨迹为给定的曲线 ?确定质点在运动轨迹上各处的v和a心 ?由向心加速度公式求ρ ?在选择质点的运动时,尽量考虑如何方便得到曲线各处的v 和a心 例题、试求椭圆
x2 y2 ? ? 1 的顶点处的曲率半径. A2 B 2
x ? A cos? t
y ? B sin? t

1

解:
椭圆的参数方程为

y B

所以可以选择质点沿椭圆轨道的运动为: 在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动. 其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程。 这样的运动在椭圆的顶点处的v和a心是易求得的。

0

A

x

于是有
v x ? ?? A sin ? t v y ? ? B cos? t ;
a x ? ?? A cos? t
2

y

a y ? ?? B sin ? t
2

B
a心 0 v A x

在图中顶点A处:
vx ? 0 vy ? ? B

v ??B

a x ? ?? 2 A
ay ? 0
所以

a心 ? a x ? ? 2 A

v 2 ? 2B2 B2 ?A ? ? ? a心 ? 2 A A

题后说明
?本题的解法属于物理运动学的求法。 ?曲率半径还有物理动力学的求法! 这将在以后研究。

同理可得

A2 ?B ? B

例题、求滚轮线的最高点的曲率半径和ρ1最低点的曲率半径ρ2。
解: 为方便计,设轮子做匀速的纯滚动, 设轮心O相对地面的速度为v0 . 轮边缘上的任意一点P相
P P

o v0

o

? ? a ? a? P o
P

? ? a ? a? o

对轮心O的速度为多大?
P在最高点处相对于地面的速度大小为 v1 ? 2v 0 P在最低点处相对于地面的速度大小为 v 2 ? 0 ? ? ? ? ? 设P点相对地面参照系的加 速度为 a , P点相对轮心参照系的加 速度为 a ?,则 a ? a0 ? a? ? ? ? ? 由于a0 ? 0, 故 a ? 0 ? a? ? a?

? a总是指向轮心但是否总是指
向滚轮线的曲率圆圆心?

在滚轮线的最高点处和最低点处,
? a正好又是指向该处的曲率圆圆心的, ? 所以在此两处的 a完全用作向心加速
P

o
P

度, 故
2 v0 a心 ? a ? a? ? R

v0

? ? a ? a? o

P

o
P

? ? a ? a? o

? ? a ? a?
2

v12 ?2v0 ? ? 2 ? 4R 故滚轮线最高处的曲 率半径为 ?1 ? a心 v0 R 2 v2 0 滚轮线最低处的曲率半径为 ? 2 ? ? 2 ?0 a心 v 0 R

题后总结
?曲率圆上某点处的向心加速度指的是相对于静止参照系且 指向曲率圆心的加速度; ?一般而言,在数学上总是可以认为拐点处的曲率半径为零.

曲率半径问题
例题:一条光滑的抛物线轨道,在直角坐标系中的方程为y2=2x, 式中x、y的单位为米。有一质点从起始位置(2,2)无初速地滑 下,问质点在何处离开抛物线轨道。
分析:设质点在M(x,y)处飞离抛物线,

3 ? 2 ? M ? 3 y g (4 ? y ) y ?2?0

mg cos? ? m

2 ?M

θ r mg

ar ?
ax

y
ar ?

1 2 2 2 ? ? 0 t x ? ? 0 t a x ? ? 0 ar ? ? 02 sin? 2 y 2 2 2 2 2 2 ? ? ? 0 ? (a x t ) ? ? 0 ? (? 0 ? ) ? ? 02 (1 ? y 2 ) ?0 2 2
?2
r

r

1? y r? ? ar sin ?

?

1? y2 tg? ? 2( 2 ? y )

tg? ? lim

?y 1 ? ?x ?0 ?x y

如图所示,在光滑水平面上有质量为M且均匀分布、半径 为R的圆环,质量为m的质点可在环内壁做无摩擦的滑动 (M>m)。开始时,圆环静止,环心在O点,质点位于(0, R)处,速度沿x方向,大小为υo
(1)试导出质点的运动方程; (2)试求质点运动轨迹转折处的曲率半径。
y

m

υ0

M

O

x

mR rc ? M ?m
质心的速度

mR MR rM ? rm ? M ?m M ?m
m ?c ? ?0 M ?m
M

y
m

rc
'

C
O

?0 ?c

x

m、M绕质心的角速度

??

?0
R

x ' ? rm sin ?t

y ? rm cos?t
m yc ? R M ?m

xc ? ? c t

1 x ? xc ? rm sin ?t ? (m? 0 t ? MR sin ?t ) M ?m
R y ? y c ? rm cos?t ? (m ? M cos?t ) M ?m

1 x ? xc ? rm sin ?t ? (m? 0 t ? MR sin ?t ) M ?m

R y ? y c ? rm cos?t ? (m ? M cos?t ) M ?m

求相关物体速度的一种有效方法---基点法
当刚体作平面运动时,其上任意两点的速度在这两点 连线上的投影相等。因此我们也就有杆或绳约束物系各点 速度的相关特征是:在同一时刻必有相同的沿杆、绳方向 的分速度;接触物系触点速度的是相关特征是:沿接触面 法向的分速度相同,沿接触面切向的分速度在无相对滑动 时相同。 依据物系相关速度特征,运用基点法,结合速度的合 成法则、相对运动法则,这类问题便会迎刃而解。

【物理模型】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向 右做加速度为a加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖 直杆,此杆只能沿竖直方向运动。当半圆柱体的速度 为υ时,杆与半圆柱体的接触点P与柱心的连线与竖直 方向的夹角为θ,求此时竖直杆运动的速度和加速度

? 杆地 ? ? 柱地 tg? ? ?tg?

? 杆柱

? 杆地

?柱

at
an

a 杆地
a 柱地

【物理模型】长均ι为的两杆用铰链P相连, 其中一根杆的自由端用铰链O固定,而另一 根自由端以大小和方向均恒定的速度υ0开 始运动,并且开始时刻υ0平行于此时两杆 夹角2α的角平分线,求开始运动后经非常 短的时间。连接两杆的铰链P的加速度大小 和方向。 ? cos? ? ? sin 2?
0 P

? a? ? an ? 4? sin ? cos? 4? sin 2 ?
?
2 0

2 0

? a? 4? sin 2 ? cos?
2 0

例题:图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结 构图。AB杆和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动,A、 D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连,可 绕连接处转动(类似铰链)。当AB杆绕A轴以恒定的角速度ω转到 图中所示的位置时,AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向 成45°角,已知AB杆的长度为ι,BC杆和CD杆的长度由图给定。求 此时C点加速度ac的大小和方向(用与CD杆之间的夹角表示)

? B ? ??
?

aB ? ? ?
2

2 ?C ? ? B cos ? ?? 4 2

aCn ?

?

2 C

CD

CD ? 2 2?

2 2 acn ? ?? 8

?CB
?CB
2 2 2 ? ? B ? ?C ? ?? 2

??? ?

?? ?? ? ? ? ?C ? ? B
2 ?CB

aCB ?

CB

CB ? 2?

aCB

2 2 ? ? ? 4

(aB ) BC ? aB cos
aCt ? aCB ? (aB ) BC
2 Cn 2 Ct

?
4

3 2 2 ? ?? 4

74 2 aC ? a ? a ? ?? 4
aCt 0 ? ? arctan ? arctan 6 ? 80.54 aCn

用图线清晰多次碰撞(或相遇)过程

例:甲、乙两人在长为L=84m的水池里沿直线来回游泳,甲的速率为υ1=1.4m/s, 乙的速率υ2=0.6m/s,他们同时从水池的两端出发,来回共游了t=25min时间, 如果不计转向的时间,那么在这段时间内他们共相遇了几次?若他们同时从同一 端出发,那么在上述时间内,他们共相遇了几次?

思考题
? 如图所示,两个质量相同的小球,在一光滑的水平直槽AB内运 动。滑槽两端有固定的壁。两处之间及小球与壁之间的碰撞是完 全弹性的。开始时,1、2两球分别位于将滑槽三等分的两个分 点处,两球运动方向相同,但速度大小不一定相同。 ? (1)如果两球之间的第二次碰撞是在滑槽中点迎面相碰,求两 球初速的比值 1 。 2 ? (2)如果两球之间的第5次碰撞是在滑槽中点迎面相碰,求两 球初速的比值 。能满足要求的解有几种? 1 2

? /?

? /?
1



2 1 7 ?1t ? ? ? ? ? ? 3 2 6
1 1 11 ? 2t ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 6

t
中点

1 ?1t ? n? ? ? 6
n为奇数时 n为偶数数时

1

2

s

5 ? 2 t ? k? ? ? 6 k为奇数时
k为偶数数时

1

2

1

2

n ? 4, k ? 0

n ? 4, k ? 2

n ? 4, k ? 4

1

2

n ? 2, k ? 4

1

2

n ? 0, k ? 4

1

2


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