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高中数学必修1同步练习(第一册)湘教版


第 1 章 集合与函数(湘教版)
1.1 集合的概念及其运算
例 1 已知全集 S ? 1,2, a 2 ? 2a ? 3 , A ? ? 1, a?, CS A ? ?3? ,则实数 a ? 【知识点定位】 . 2

?

?

变式 1-1 ( 2011 辽宁理 2)已知 M , N 为集合 I

的非空真子集,且 M , N 不相等,若

N ? CI M ? ? ,则 M ? N ? (
A. ? B. I

)D C. M

2 变式 1-2 已知集合 A ? x ax ? 2 x ? 1 ? 0 .

?

?

D. N

(1)若 A ? ? ,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值. 【解析】 (1)? A ? ? ? 方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 无实数解. 当 a ? 0 时,方程有一实数解,
2

不合题意;当 a ? 0 时, ? ? 0 ? a ? 1 .综上, a ? 1 . (2)问题等价于方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 只有一解.当 a ? 0 时,方程有一实数解 x ? ?
2

1 2

? a ? 0 符合题意;当 a ? 0 时, ? ? 0 ? a ? 1.综上, a ? 0 或 a ? 1 .
例 2 已知集合 A ? ? x y ? A. A ? B

? ? ? ?

x ?1 ? ? ?, B ? ?x x ? a?,则下列关系不可能成立的是( x?2 ? ?
C. A ? CR B D. A

)C

B. B ? A

B

变式 2-1 某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个 小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理 小组的有 6 人,同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有 人. 8
2 2 变式 2-2 设集合 A ? x x ? 4 x ? 0 , B ? x x ? ax ? a ? 0 , 若 A ? B ? A ,求实数 a 的

?

?

?

?

取值范围. 【答案】 0 ? a ? 4

例 3 记关于 x 的不等式

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ? 1 ? 1 的解集为 Q . x ?1

(1)若 a ? 3 ,求 P ; (2)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

? ?) 【答案】 (1) P ? x ?1 ? x ? 3 ; (2) (2,
变式 3 已知集合 A ? x ? R x ? 2 ? 3 ,集合 B ? x x ? R x ? ?m ? 2 ?x ? 2m ? 0 ,且
2

?

?

?

?

?

?

A ? B ? ?? 1, n ?,则 m ? n ?
用欢声迎接高考

.
-1-

?2
用笑语面对人生

1,2?, N ? a ,则“ a ? 1 ”是“ N ? M ”的( A ) 【知识点定位】 例 4(2011 湖南理 2)设集合 M ? ?
2

? ?

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式 4-1(08 重庆理 2)设 m、n 是整数,则“ m、n 均为偶数”是“ m ? n 是偶数”的 ( )A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式 4-2(2012 天津文 5)设 x ? R , 则“ x ?

1 2 ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的( 2

)A

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.极不充分也不必要条件 例 5(2011 全国文 5)下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要条件是( A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a ? b
2 2

)A

D. a ? b
3

3

变式 5(2011 浙江 7)若 a , b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ a ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 或 b ? ”的( A ) b a

例 6 已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x ? 2 x ? 1 ? a ? 0, 若 ?p 是 q 的充分不必要条件,求实
2 2

数 a 的取值范围

.

【解析】 ?p : 4 ? x ? 6 ? x ? 10或x ? ?2

q : x ? 1 ? a或x ? 1 ? a

? 1? a ? 2 ? ?p ? q ? ? 1? a ?10 ? 0 ? a ? 3 ? 1? a ?1? a
变式 6-1 若非空集合 M A.充分非必要条件 C.充要条件 变式 6-2 集合 A ? ? x

N ,则“ a ? M 或 a ? N ”是“ a ? M ? N ”的(
B.必要非充分条件 D.既不充分又不必要条件

)B

? x ?1 ? ? 0?, B ? x x ? b ? a .若“ a ? 1 ”是“ A ? B ? ? ” ? x ?1 ?
)D B. 0 ? b ? 2 D. ? 1 ? b ? 2
2 2

?

?

的充分条件,则 b 的取值范围是( A. ? 2 ? b ? 0 C. ? 3 ? b ? ?1

变式 6-3 已知命题 p : ?x ? 3??x ? 1? ? 0, q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0?m ? 0?, 若命题 p 是命题

q 的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是
【提示】十字相乘法分解 q
用欢声迎接高考 -2-

.

0?m?2

用笑语面对人生

变式 6 设 f ? x ? 满足

1.2
例 1(2013 重庆) f ? x ? ?

函数的概念及其表示
.
x

5? x 的定义域 log 2 ? x ? 2 ?
2

?1? f ?x ? ? 2 f ? ? ? x ? x?

?2,3? ? ?3,5?





f ?x ? ?
. ?

变 式 1 若 x, y ? R, A ? {x | y ? ln(2 x ? x )}, B ? { y | y ? e , x ? 0} , A ? B ? I ,则

CI ? A ? B ? ? (
A. {x | 0 ? x ? 2}

)D 科网 B. {x | x ? 1或x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 1或x ? 2}

x 2 ? 3 3x

【知识点定位】
1.具体函数求定义域

C. {x | 0 ? x ? 1或x ? 2}

? 1 ?x ? 例 2 ( 2013 江 西 9 月 ) 已 知 f ? x ? 的 定 义 域 是 ?0,1? , 则 f ?? ? ? ? 的定义域为 ?? 3 ? ? ? ?
______________.

?0,?? ?
.

变式 2 若函数 f 2 x 的定义域为 ?? 1,1? ,则 f ?log 2 x ? 的定义域为 例 3(2012 南京模拟)若函数 f ? x ? ? 围是 . ?0, ? 4
2

? ?

? 2,4?
2.抽象函数求定义域

x?4 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范 mx ? 4mx ? 3

? 3? ? ?

2 2 变式 3 设 f ?x ? ? lg a ? 1 x ? ?a ? 1?x ? 1 , 若 f ? x ? 的定义域是 ?? ?,?? ? ,求实数 a 的

??

?

?

取值范围

.

5 ? ?? ?,?1? ? ? ? ,?? ? ?3 ?
2



4

已 知 f ? x ? 为 二 次 函 数 , 且 f ?x ? 1? ? f ?x ? 1? ? 2 x ? 4 x ? 4 , 求 .

3.定义域有关的范围

f ?x ? ?

x2 ? 2x ?1
. 2x ? 3 或 ? 2 x ? 3 . x ? 1? x ? 1?
2

变式 4 已知一次函数满足 f ? f ?x ?? ? 4 x ? 3 ,求 f ? x ? ? 例5若 f

?

x ? 1 ? x ? 2 x ,求 f ? x ? 的解析式为
2

?

变式 5 已知 f ?x ? 1? ? x ? 2 x ? 2 ,求 f ? x ? 的解析式为 例 6 若 3 f ?x ? ? f ?? x ? ? 2 ? x ,求 f ? x ? ? . ?

. x ?1
2

x 1 ? 2 2

4.函数解析式的求法 ①待定系数法

用欢声迎接高考

-3-

用笑语面对人生

②凑配法

变 式 13 若 函 数

y ? f ( x) 的 值 域 是
③换元法

1 [ ,3] , 则 函 数 2
F ( x) ? f ( x) ? 1 f ( x)

④方程组法

的值域是( B ) A B . . .

1 例 7 求函数 f ?x ? ? x 2 ? x ? ?? 1 ? x ? 1? 的值域为 2
变式 7 求函数 y ? 5 ? 4 x ? x 2 的值域为 例 8 求函数 f ? x ? ? x ? . ?0,3? . ?1,?? ?

. ?? 3 , 3 ? ? 4 2? ? ?

C

1 [ ,3] 2 10 [2, ] 3 5 10 [ , ] 2 3

D. [3, 例

10 ] 3
函 数

x ? 1 的值域

14

y ? 16 ? 4 x 的 值
变式 8 函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x 的值域为 . ?? ?,2? 域 是 .

?0,4?
例 9 函数 f ( x) ?

x 的最大值为 x ?1

.

1 2
. ?? 3,0?

变 式 14 求 函 数

3x 变式 9 函数 y ? 2 其中( x ? 0 )的值域 x ? x ?1
例 10 函数 y ?
1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 的值域是 1 ? 2x 2

y ? log 1 3 ? 2 x ? x 2
2

?

?

的 域

值 .

. ?y ? R, y ? ?1?

?? 2,?? ?

例 11 已知函数 f ? x ? ?

2 x ? 6 ? x ,则 f ? x ? 的最大值为 M ,最小值为 m ,则

5.函数值域求法 ①二次函数型

m ? M

.

2 ? 2
x ? 3 的最大值为 M, 最小值为 m,则

?

例 12 已知函数 f ? x ? ? 1 ? x ?

m 的值为 ( C ) M
②含一个根号型

1 A. 4

1 B. 2

2 C. 2

3 D. 2
. ?? 2,2?
-4用笑语面对人生

?

例 13 函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 的值域是
用欢声迎接高考

③不同次分式型

例2 (2013 江苏模拟) 已知二次函数 f ( x) 的最小值为 1,且

?

④同次分式型

. f ( 0)? f ( 2) ? 3 (1)求 f ( x) 的 解 析式;

?

⑤函数增减型

(2)若 f ( x) 在区间

?
⑥平方型

[3a, a ? 1] 上 不 .单 .
调 ,求实数 a 的取值 . 范围; ( 3 )在区 间 [?1,1] 上,y ? f ( x) 的图象 恒 在 的 x?2

?

⑦函数图像型

?

y?2

图象上方,试确定实 数 m 的取值范围.
【 解 析 】( 1 )

⑧指数对数型

?

f ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 3
; ( 2 )

3a ? 1 ? a ? 1, 则0 ? a ?

1 3

1.3

函数的性质
.

( 3 ) 由 已 知 , 即

2 例 1(2013 江苏 9 月)函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的单调增区间是

2 x2 ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 2m ? 1
, 化 简 得 .

【答案】

? ?1,1? 和?3, ?? ?
x2 ? 2x ? 3 的单调递减区间为
.

变式 1-1 函数 f ? x ? ?

? 1? ? ??,

x 2 ? 3x ? 1 ? m ? 0 (?1 ? x ? 1)


变 式 1-2 ( 2012 浙 江 模 拟 ) 已 知 y ? f ( x) 是 定 义 在 ?? 1,1? 上 减 函 数 , 且

f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,则 a 的取值范围是
用欢声迎接高考 -5-

.

? 2? ? 0, ? ? 3?
用笑语面对人生

g ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 ? m ,则只要 g ( x) min ? 0 ,而 g ( x) min ? g (1) ? ?1 ? m ,得 m ? ?1 .
变式 2 (2011 南开) 函数 f ?x ? ? x ? ?3a ? 1?x ? 2a 在 ?? ?,?4? 上为减函数, 求实数 a 的
2

2.单调区间的求法

取值范围是( A. a ? ?3

)C B. a ? ?5
2

C. a ? 3

D. a ? ?3

例 3 已知函数 f ?x ? ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 ?a ? 2, a ? ,则 f ? x ? 的值域 为 .
3.单调性的应用

?3,4? 【解析】? f ?x ? 为偶函数,所以其定义域关于原点对称, ?a ? 2 ? a ? 0 ? a ? 1 ,由
f ?? x ? ? f ?x ? ? b ? 0 ? f ?x ? ? x 2 ? 3?? 1 ? x ? 1? ,? f ? x ? 的值域为 ?3,4? .
变 式 3 已 知 函 数 f ?x ? ? ax ? bx ? 3a ? b 为 偶 函 数 , 其 定 义 域 为 ?a ? 1,2a ? , 则
2

a ?b ?
? a ? 1 ? ?2a ? a ?

.

1 【 解 析 】 ? f ? x ? 为 ?a ? 1,2a ? 上 的 偶 函 数 , 4.单调性的证明 3
①任取 ②作差 ③变形 ④定号

1 1 2 , 此 时 f ?x ? ? x ? bx ? 1 ? b , 由 偶 函 数 定 义 3 3 1 1 1 2 f ?? x ? ? f ?x ? ? ?? x ? ? bx ? 1 ? b ? x 2 ? bx ? 1 ? b ? ?b ? b ? b ? 0 ,故 a ? b ? . 3 3 3

【知识点定位】 一.函数单调性
1.单调函数定义 定义域内任取 x1 , x2 当 x1

? x2 时,
,则 ,则

(1)若 (2)若

f ? x ? 为增函数; f ? x ? 为减函数.

例 2(2012 重庆一中 期中)已知定义域为 的 函 数 R

f ( x) ?
函数.

b ? 2x 是奇 2x ? a

(1) 求 a , b 的值; (2) 判 断

f ( x)



?? ?,??? 上 的 单 调
性并证明.
【 答 案 】( 1 )

用欢声迎接高考

-6-

用笑语面对人生

(2) f ? x ? 是 R 上的减函数,证明略 a ? 1, b ? 1 ;

1.奇偶性的定义

变式 2-1 已知函数 f ? x ? ?

ax ? b 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数,且 1? x2

?1? 2 f? ?? . ?2? 5

①一般地,如果对于函 数

( 1 ) 求 a, b 的 值 ; ( 2 ) 用 定 义 证 明 f ? x ? 在 ?? 1,1? 上 是 增 函 数 ; (3)解不等式

f ? x ? 的定义域内任

f ?t ? 1? ? f ?t ? ? 0 .
【解析】 (3)原不等式化为

意 一 个 有 那么函数 函数. ②

x

, 都 ,

f ?t ? 1? ? ? f ?t ? ? f ?? t ?? f ?x ?



?? 1,1? 上 是 增 函 数 ,

1 ? ?1 ? t ? 1 ? ?t ? 1 ? 0 ? t ? . 2
变式 2-2(2012 重庆一中)已知函数 f ( x) ?

f ? x ? 就叫奇

ax ? b 是定义在(–1,1)上的奇函数,且 1 ? x2

1 2 f( ) ? . 2 5
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(–1,1)上的单调性并用定义证明; (3)解关于 x 的不等式 f ? x ? 1? ? f x
【解析】 (1 ) (2)函数

? ?? 0
2

f ( x) ?

x 1 ? x2

f ( x) 在 (?1,1) 上单调递增,证明:令 ?1 ? x1 ? x2 ? 1
( x ? x )(1 ? x1 x2 ) x1 x ? 2 2 ? 1 22 2 2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) 1 ? x1 1 ? x2
∴ x1 即



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x1 ? x2 ? 1

.

∵ ?1 ? ∴

? x2 ? 0

2 1 ? x1 x2 ? 0, 1 ? x12 ? 0, 1 ? x2 ?0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

f ( x1 ) ? f ( x2 )

∴函数

f ( x) 在 (?1,1) 上单调递增

2.奇偶性的判断 ①求定义域

(3)由已知:

f ( x 2 ) ? ? f ( x ? 1) ? f (1 ? x) 由(2)知 f ( x) 在 (?1,1) 上单调递增
?1 ? 5 } 2

? x2 ? 1 ? x ?1 ? 5 ? 2 ∴ ??1 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ??1 ? 1 ? x ? 1 ?

∴解集为 {x | 0 ?

x?

②用定义

【知识点定位】 二.函数奇偶性

用欢声迎接高考

-7-

用笑语面对人生


3.奇偶函数的性质 ①奇函数原点左右单调性相同,偶函数单调性相反. ②奇偶函数运算 奇+奇=奇 偶+偶=偶


2





p : 3x


?x

? 32 ? x 2 ? x ? 2 ?

? a?4 a ? 4? q : B ? ?x ?x? ? 2 ? ? 2

因为 p 是 q 的充分
奇 ? 奇=偶

不必要条件,则
偶 ? 偶=偶

A
奇 ? 偶=奇

B,



a?4 ? 2 ,所以 2

a?4 ? ?1 2

0?a?2.
变式 3(2012 重庆一 中期末)已知定义域 为 R 的 偶 函 数
x ?x

第 2 章 指数函数、对数函数和幂函数 f ? x? ? a ? b ? a
2.1
m n

? a ? 0, a ? 1, b ?

指数运算及指数函数
3m ? n 2

. (1)求实数 b 的值;

例 1 已知 10 ? 3 , 10 ? 2 ,则 10
a ? 2b 3

的值为

.

1 4

( 2 )证明 f

(x ) 在

变式 1 若 3 ? 8 , 3 ? 5 ,则 3
a b

?
?1? ?4?
3 4

2 . 25
?1? ?4? C. c ? a ? b
?1 ? 3
1 4

?0,??? 的单调性.
【 解 析 】( 1 )
?x

例 2(2011 南开期中)设 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? ? ? ,则 a, b, c 的大小关系是( A ) f ? ? x ? ? f ? x ? ? a A. a ? c ? b D. b ? c ? a

?3? ?4? B. a ? b ? c

1 4

? b ? ax

? b ?1
(2)设 0 ? x1 <x2 , . 1 则

变式 2(2012 重庆一中期末)

? 1 1 0.1 ?? ? ? 32 ? 4 ? 2 3 ? 2? 3 ? 2 2 ?
x? x2

?1? 例 3(2011 南开期中 18)已知条件 p : ? ? ?3?
充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
用欢声迎接高考

? 9 ,条件 q : 2 x ? a ? 4 ,若 p 是 q 的

f ? x1 ? ? f ? x2 ? = ? a x1 ? a ? x1 ? ? = ? a x1 ? a x2 ? ? ? a ? x1 ? a ? x2 ?

-8-

用笑语面对人生

= ? a x1 ? a x2 ? ?
x

x1 +x2 ?1 ? a x2 ? a x1 x1 x2 ? a = a ? a ? ? ? ? x1 +x2 x1 ? x2 a ? a ?

当 a ? 1 时,a 1 ? a 当 a ? 1 时,a ? a
x1

x2

? 0, a x1 +x2 ? 1 ,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , f ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数; ? 0, a
x1 +x2

x2

? 1 ,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , f ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数.

②图像

综上可得,当 a ? 0, a ? 1 时, f ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数.

【知识点定位】
1.指数运算 ③定义域 ①同底数幂相乘

am ? an ?
②同底数幂相除 ④值域

a ? an
③同底数幂乘方

m

?a ?
?

m n

?

④负数幂 ⑤单调性

a

?m

?

⑤分数幂
n

am ?
2.指数函数 ①解析式 -9-

2.2

对数运算

及对数函数
用欢声迎接高考 用笑语面对人生

例 1(2012 安徽文 4) ?log 2 9? ? ?log3 4? ? ( A.

) D. 2

1.对数运算 ① log a

1 4

B.

1 2

C. 4

?M ? N ? ?

C【解析】 log 2 9 ? log 3 4 ?

lg 9 lg 4 2 lg 3 2 lg 2 ? ? ? ? 4. lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

变式 1(2013 南开期末) ?lg 8 ? lg 1000 ? ? lg 5 ?

?

3 lg 2 ?

?

2

.

② log a ?

?M ? ?? ?N?

3【解析】 3 lg 2 ? lg 5 ? 3 lg 5 ? 3 lg 2 ? lg 2 ? 3 lg 2?lg 5 ? lg 2? ? 3 lg 5 ? 3?lg 2 ? lg 5? ? 3 例 2(2013 南开 9 月)已知 a ? log 0.3 4, b ? log 4 3, c ? 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是 ( )A A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. a ? c ? b
2

?2

③ log a m

bn ?

D. c ? a ? b )D
④a
log a x

变式 2(2013 南开 10 月)若 a ? log 5 4 , b ? (log 5 3) , c ? log 4 5 ,则( A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. a ? b ? c

D. b ? a ? c . (1, ??)

?

例3 (2013 成都 7 中) 函数 f ( x) ? log 1 (2 x 2 ? x ? 1) 单调递减区间为
2

变式 3 已知函数 f ( x) ? ?

?a ( x ? 0),
x

⑤换底: log a b

?

?(a ? 3) x ? 4a( x ? 0)
) A

满足对任意 x1 ? x 2 , 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0成 x1 ? x2

立,则 a 的取值范围是( A. (0, ]

1 D. (0,3) 4 例 4(2012 重庆六校联考)设函数 y ? 2 ? x ? x ? 1 的定义域为 A ,函数 y ? log 2 (a ? x) 的定义域为 B . (1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (2)设全集为 R ,若非空集合 ?C R B ? ? A 的元素中有且只有一个是整数,求实数 a 的
B. (0,1) C. [ ,1) 取值范围.

1 4

2.比较大小 ①化异为同

②找中间量

?2 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 2 ,? A ? [?1, 2] . 【解析】 (1)由 ? ?x ?1 ? 0 由 a ? x ? 0 得 x ? a ,? B ? (??, a) .? A ? B,? a ? 2 ;
(2)? B ? (??, a) ,? ?R B ? [a, ??) . ? (?R B) ? A 的元素中有且只有一个是整数,

③取近似值

?1 ? a ? 2 .
? ? 1 ?? 变式 4 设函数 f ( x) ? 1g ?(2 x ? 3) ? x ? ? ? 的定义域为集合 A ,函数 g ( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a (a ? 0) ? 2 ?? ?
的定义域为集合 B . (1)当 a ? 1 时,求集合 A ? B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 【知识点定位】
用欢声迎接高考 - 10 用笑语面对人生

3.对数函数 ①解析式

②图像

(1)若 函 数 f ? x ? 的值域为 R ,求实数 m 的取值范围; (2)若 函 数 f ? x ? 在 区 间 ? ?,1 ? 3

?

?

上是增函数,求实数 m 的取值范围. 【解析】 (1) ∵ f ? x ?
③定义域

值 域 为 R , 令

g ?x ? ? x 2 ? mx ? m ,
④值域

则 g ? x ? 取遍所有的 正数

⑤单调性

?
? ? m2 ? 4m ? 0 ? m ? 0
或 m ? ?4 .

例 5(2013 河南郑州模拟)设集合 A 为函数 y ? ln ? x ? 2 x ? 8 的定义域,集合 B 为
2

?

?

(2)由题意知

函数 y ? x ?

1? 1 ? 的值域,集合 C 为不等式 ? ax ? ?? x ? 4? ? 0 的解集. a? x ?1 ?

(1)求 A ? B ; (2)若 C ? CR A ,求 a 的取值范围. 【解析】 (1) A ? ?? 4,2?, B ? ?? ?,?3? ? ?1,???, A ? B ? ?? 4,?3? ? ?1,2? .
1? (2) CR A ? ?? ?,?4? ? ?2,??? ,由 ? ? ax ? ?? x ? 4? ? 0 ? a?
1 ? 1 ? ? ①当 a ? 0 时,由 ? ? x ? 2 ?? x ? 4? ? 0 ,得 C ? ? ? 4, 2 ? ,不满足 C ? CR A ; a ? a ? ? ?
1 ? ②当 a ? 0 时, 由? 得 C ? ?? ?,?4? ? ? 1 ,?? ? 要满足 C ? CR A , ? x ? 2 ?? x ? 4? ? 0 , ?, ? 2 ? a ?
?a ?

m ? ? 1? 3 ? 2 ? ?(1 ? 3) 2 ? m(1 ? 3) ? m ?

? 2 ? 2 3 ?m ? 2
变式 5-2(2013 安徽 八校联考)设定义域 为 R 的 函 数

f ( x) ?

1 2 ? ? ?2?? ? a ? 0 ,综上 a 的取值范围是 ?? 2 ,0 ? . 2 ? a 2 ? 2 ?
变式 5-1(2013 南昌二中)已知 f ?x ? ? log 1 x ? mx ? m .
2 2

?2 x ? a 2 x ?1 ? b

( a, b 为实数). (1)若 f ( x) 是奇函

?

?

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- 11 -

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数,求 a, b 的值; (2)当 f ( x) 是奇函数时,证明对任何实数 x, c 都有 f ( x) ? c ? 3c ? 3 成立.
2

【解析】 (1) 又因为 f ?? 1? ? ? f ?1? ? b ? 2 ; ? f ?0? ? 0 ? a ? 1 , ? f ( x) 定义在 R 是奇函数, (2) f ?x ? ?

1 1 1 ? 2x ?1 1 1 ? ? ? x ,因为 2 x ? 0,? 2 x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1? ? ? f ?x ? ? x ?1 2 ?2 2 2 ?1 2 ?1 2 2
2

3? 3 3 ? 而 c ? 3c ? 3 ? ? c ? ? ? ? 对任何实数 c 成立,所以题设得证. 2? 4 4 ?
2

【知识点定位】

2.3

幂函数和

抽象函数
例 1(2012 重庆一中 期中)幂函数 f ( x) 的 图 象 经 过 点

1 (2, ) 4



则 .

f ?x ? ?
x ?2

变 式 1-1 已知 函数

y ? x3 , 则其 值域
为 .

2

?0,???
变式 1-2(2012 万州 二中期中)幂函数

y ? x3 的 递 增 区 间
是 __________ .

?? ?,???
例 2(2013 南开 10 月理 5) 已知 m ? N , 函数 f ( x) ? x
3m ?7



于 y 轴对称且在
用欢声迎接高考 - 12 用笑语面对人生

(0, ??) 上单调递减,则 m ? (
A. 0 B. 1

)B C. 2
2 m ? 2 m ?3
2

D. 3 在 ? 0, ?? ? 上是单调递减函数,

变式 2(2011 巴蜀期中)幂函数 y ? (m ? m ? 1) x 则实数 m 的值为 . 2

例 3(2011 黄冈期中 20)已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:①对任意的 x、y ? R ,都有
f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ;②当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 0 .

(1)利用奇偶性的定义,判断 f ( x) 的奇偶性; (2)利用单调性的定义,判断 f ( x) 的单调性; (3)若关于 x 的不等式 f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 在 R 上有解,求实数 k 的取值范围. 【解析】 ( 1 )令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0)? f (0) ,得 f (0) ? 0 .将“ y ”用“ ?x ”代替,得
f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) ,∴ f ( x ) 为奇函数.

(2)设 x1 、 x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) . ∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 ,∴ f ( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 R 上是增函数.
x x ( 3 )由 f ( k ? 3x ) ? f (? 3 得 k ? 3x ? ?3x ? 9x ? 2 ,即 k ? 3x ? ?9 ? 2)

2 ? 1 对 x ? R 有解.∵ 3x
2时 ,

3x ? 0 , ∴ 由 对 勾 函 数 y ? t ?

2 在 (0, ??) 上 的 图 象 知 当 3x ? 2 , 即 x ? l o g 3 t

(3x ?

2 ? 1)min ? 2 2 ? 1 ,故 k ? (2 2 ? 1, ??) . 3x

变式 3(2012 南开期中 20)设定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意 x, y ? R 均满足:

? x? y? f ?x ? ? f ? y ? ? 2 f ? ? ,且 f ?0? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 . ? 2 ?
(1)判断并证明 f ? x ? 的奇偶性; (2)判断并证明 f ? x ? 在 R 上的单调性; (3)若 f 9 ? a ? f a ? 3 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.
x x

?

?

?

?

【解析】 (1)令 y ? ? x ; (2)设 x1 ? x2 , f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? ; (3) 3

? ?

x 2

? a 3x ? a ? 0 对

? ?

x ? R 恒成立, t 2 ? at ? a ? 0 对 t ? 0 恒成立,对称轴分类讨论, 0 ? a ? 4 .
【知识点定位】

2.4

函数零点

与函数模型
用欢声迎接高考 - 13 用笑语面对人生

例 1(2013 南开 9 月理 4)函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是(
x 3

)B

1.函数零点个数判断 判断思路:

A.0

B.1

C.2

D.3 ) C

?x 2 +2x-3,x ? 0 变式 1-1(2010 福建理 4)函数 ( ,的零点个数为 ( f x)= ? -2+ ln x,x>0 ?
A.0 B.1 C.2 D.3
x

①移项; ②构造函数; ③作图找交点

\变式 1-2 (原创) 定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足: 当 x ? 0 时,f ?x ? ? 2013 ? log 2013 x , 则在 R 上,函数 f ? x ? 零点的个数为 个. 3

例2 (2013 重庆理 6) 若a ?b ?c, 则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于区间( A. ? a , b ? 和 ? b , c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内 )A B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内
3

2.函数零点的判断 满足 f ?a ? ? f ?b ? ? 0 , 则

变式 2-1(2013 天津调研)函数 f ?x ? ? x ? 3x ? a 在 ?1,2 ? 内有零点,则实数 a 的取值范 围是 .

?a, b ? 上必有零点

?2? a ? 2
1 ? x2 ? m 有零点,则实数 m 的取值范 x?3
? ? 2? ? 4 ? ? ? 2? ? 4 ? ?

变式 2-2(2013 湖北联考 10 月)函数 f ? x ? ? 围是( A. ? 0, ? )C

? ?

2? ? 2 ? ?

B. ? 0,

? ?

2? ? 2 ?

C. ? 0,

D. ? 0, ?

3.已知零点求参数范围 ①用 f ?a ? ? f ?b ? ? 0

例 3(2013 河南模拟 9)已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x ? R ,都 有 f ?x ? 2? ? f ?x ? .当 0 ? x ? 1 时, f ?x ? ? x .若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ?x ? 的图
2

像在 ?0,2?内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是( A. 0 1 B.0 或- 2 1 1 C.- 或- 4 2

)D 1 D.0 或- 4

②转化为方程根的个数

变式 3 ( 2013 南昌模拟 9 )已知函数 y ? f ?x ??x ? R ? 满足 f ?x ? 1? ? f ?x ? 1? 且当

x ? ?? 1,1? 时, f ?x ? ? x 2 ,则 y ? f ?x ? 与 y ? log5 x 的图像的交点个数为(
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

)C
4.函数性质与函数零点 ①翻译条件

【知识点定位】
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【解析】由题意可
②画图





③计算

a a ? ae5n , ? aen ?m?5 ? 2 8 ?m ? 5 ? 15 ? m ? 10
. 变式 5-1(2012 重庆 七中期中)用清水漂 洗衣服,若每次能洗 去污垢的

3 ,要使存 4

留的污垢不超过原 有的 1%,则至少要 例 4(2013 湖北文 5)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时 间后,为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图像是( )C
距学校的距离 距学校的距离

清洗 【 解

次. 4 析 】

a a ? ?n?4 n 4 100
变式 5-2 小王每月除 去所有日常开支,大 约结余 a 元 . 小王决 定采用零存整取的 方式把余钱积蓄起 来,每月初存入银行 a 元,存期 1 年(存 12 次) ,到期取出本 和息. 假设一年期零 存整取的月利率为 r ,每期存款按单利 计息.那么, 小王的存 款 到 期 利 息 为 . 【 解 析 】

O A
距学校的距离

时间

O B
距学校的距离

时间

O C

时间

O D

时间

变式 4(2012 衡水期中 10)如图所示,液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶内,漏斗盛满 液体,经过 3 分钟漏完. 已知圆柱中液面上升的速度是一个常量, H 是圆锥形漏斗中液 面下降的距离,则 H 与下降时间 t (分)的函数关系表示的图像只可能是( )B

12ar ? 11ar ? 10ar ? ? ? ? ? 2
变式 5-3(2012 金华 一中期中)某商品价 格前两年每年递增 20%,后两年每年递 减 20%,则四年后的 价格与原来价格比,

例 5(2013 荆州调研)将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中, t 分钟后甲桶中剩余的水 符合指数衰减曲线 y ? ae . 若 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等,又过了 m 分钟后甲桶
nt

中的水只有 a 升,则 m 的值为
8
用欢声迎接高考

. 10
- 15 用笑语面对人生

变化的情况是( A. 增加 7.84%

)B B. 减少 7.84%

C.减少 9.5%

D. 不增不减

【解析】设原价为 a ,则第 1 年为 1.2a ;第 2 年为 1.44a ;第 3 年为 1.152 a ;第 4 年 为 0.9216 a . a ? 0.9216 a ? 0.0784 a ,所以选 B. 【知识点定位】
5.函数模型与函数图像

6.函数模型与实际问题

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