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2014高考物理复习


专练 20

带电粒子在磁场中的运动
(限时:60 分钟)

1.(2013· 福建· 22)如图 1 甲,空间存在一范围足够大的垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场,磁 感应强度大小为 B.让质量为 m、 电量为 q(q>0)的粒子从坐标原点 O 沿 xOy 平面以不同的 初速度大小和方向入射到该磁场中.不计重力和粒子间的影响.<

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图1 (1)若粒子以初速度 v1 沿 y 轴正向入射,恰好能经过 x 轴上的 A(a,0)点,求 v1 的大小; (2)已知一粒子的初速度大小为 v(v>v1),为使该粒子能经过 A(a,0)点,其入射角 θ(粒子 初速度与 x 轴正向的夹角)有几个?并求出对应的 sin θ 值; (3)如图乙,若在此空间再加入沿 y 轴正向、大小为 E 的匀强电场,一粒子从 O 点以初速 度 v0 沿 y 轴正向入射.研究表明:粒子在 xOy 平面内做周期性运动,且在任一时刻,粒 子速度的 x 分量 vx 与其所在位置的 y 坐标成正比,比例系数与场强大小 E 无关.求该粒 子运动过程中的最大速度值 vm. qBa aqB E 答案 (1) (2)2 个 (3) + 2m 2mv B 解析 E ? ?2+v2 0 B

(1)带电粒子以速率 v 在匀强磁场 B 中做匀速圆周运动,半径为 R,有 v2 qvB=m R 当粒子沿 y 轴正向入射,转过半个圆周至 A 点,该圆周半径为 R1,有: a R1= 2 将②代入①式得 qBa v1= 2m







a (2)如图,O、A 两点处于同一圆周上,且圆心在 x= 的直线上,半径为 R.当给定一个初 2 速率 v 时,有 2 个入射角,分别在第 1、2 象限,有

a sin θ′=sin θ= 2R 由①④式解得 aqB sin θ= 2m v





(3)粒子在运动过程中仅电场力做功,因而在轨道的最高点处速率最大,用 ym 表示其 y 坐标,由动能定理有 1 1 qEym= mv2 - mv2 2 m 2 0 由题知,有 vm=kym 若 E=0 时,粒子以初速度 v0 沿 y 轴正向入射,有 v2 0 qv0B=m R0 v0=kR0 由⑥⑦⑧⑨式解得 E E 2 vm= + ? ?2+v0 B B R 2.匀强磁场区域由一个半径为 R 的半圆和一个长为 2R,宽为 的矩形组成,磁场的方向如 2 图 2 所示.一束质量为 m、电荷量为+q 的粒子(粒子间的相互作用和重力均不计)以速度 v 从边界 AN 的中点 P 垂直于 AN 和磁场方向射入磁场中.问: ⑦ ⑥

⑧ ⑨

图2 (1)当磁感应强度为多大时,粒子恰好从 A 点射出? (2)对应于粒子可能射出的各段磁场边界,磁感应强度应满足什么条件? 2mv 答案 (1) (2)见解析 qR 解析 (1)由左手定则判定,粒子向左偏转,只能从 PA、AC 和 CD 三段边界射出,如图所示.当粒子从 A 点射出时,运 R 动半径 r1= 2 m v2 由 qB1v= r1 2mv 得 B1= qR (2)当粒子从 C 点射出时,由△PO2C 和△PAC 可看出 R 5R PC= R2+? ?2= 2 2 PC 5 r2= = R 2cos ∠APC 8 m v2 由 qB2v= r2 8mv 得 B2= 5qR 据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大,可以判断

2mv 当 B≥ 时,粒子从 PA 段射出 qR 2m v 8mv 当 ≥B≥ 时,粒子从 AC 段射出 qR 5qR 8mv 当 0<B≤ 时,粒子从 CD 段射出. 5qR 3.如图 3 所示,在边长 L=8 cm 的正方形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度 大小为 B0=0.1 T.距 AB、AD 边均为 d=1 cm 的 P 点有一粒子源,能在纸面内向各个方 向发射出速率不同的带正电的粒子,粒子的质量 m=1.0×10 1.0×10
-5 -14

kg,电荷的电荷量 q=

C,粒子的重力可忽略不计,不考虑带电粒子之间的相互作用.(计算结果可保

留根号)

图3 (1)速度在什么范围内的粒子将不可能射出磁场,被完全约束在正方形内? (2)速度大小为 5.0×106m/s 的粒子将从 BC 边的什么范围内射出? 答案 解析 (1)速度小于或等于 5×105 m/s 的微粒将不可能射出磁场 (2)见解析 d (1)如图所示,当微粒运动轨迹为Ⅰ时,微粒运动半径 r1= 2

v2 1 由牛顿第二定律得 qv1B0=m r1 解得 v1=5.0×105 m/s 速度小于或等于 5.0×105 m/s 的微粒将不可能射出磁场. (2)设速度大小为 v2=5.0×106 m/s 的微粒运动的轨道半径为 r2,由牛顿第二定律得 v2 2 qv2B0=m r2 解得 r2=5 cm 当微粒运动沿轨迹Ⅱ与 AB 边相切于 E 点时, 微粒将从 BC 边 F 点出射, 为最低出射点. 由 几何关系
2 r2 2=(r2-d) + PH 2

解得 PH =3 cm 所以, FI =L-d- PH =4 cm
2 在△O1FI 中 r2 2=(r2- EI ) + FI 2

解得 EI =2 cm 则出射点 F 距下边界高 BF = EI =2 cm 当微粒运动沿轨迹Ⅲ与 BC 边相切于 G 点时, 微粒将从 BC 边 G 点出射, 为最高出射点. 由 几何关系
2 r2 2=(L-r2-d) + O2J 2

解得 O2J = 21 cm 则出射点 G 距下边界高 BG = O2J +d=(1+ 21) cm 综上,出射点距 B 的距离 s 满足 2 cm≤s≤(1+ 21) cm. 4.如图 4 所示的直角坐标系第Ⅰ、Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度 q 大小 B=0.5 T,处于坐标原点 O 的放射源不断地放射出比荷 =4×106 C/kg 的正离子, m 不计离子的重力及离子间的相互作用.

图4 (1)求离子在匀强磁场中的运动周期; π - (2)若某时刻一群离子自原点 O 以不同速率沿 x 轴正方向射出,求经过 ×10 6 s 时间这 6 些离子所在位置构成的函数方程; (3)若离子自原点 O 以相同的速率 v0=2.0×106 m/s 沿不同方向射入第Ⅰ象限,要求这些 离子穿过磁场区域后都能沿平行于 y 轴且指向 y 轴正方向运动,则题干中的匀强磁场区 域应怎样调整(画图说明即可),并求出调整后磁场区域的最小面积. 3 - 答案 (1)π×10 6 s (2)y= x (3)见解析 3 m v2 解析 (1)根据牛顿第二定律有 qvB= R 2πR 2πm - 离子做圆周运动的周期 T= v = =π×10 6 s qB π 1 - (2)离子运动时间 t= ×10 6 s= T 6 6 根据左手定则,离子沿逆时针方向做半径不同的圆周运动, 1 π 转过的角度均为 θ= ×2π= 6 3 这些离子所处位置均在过坐标原点的同一条直线上. θ 3 该直线方程 y=xtan = x 2 3 (3)离子自原点 O 以相同的速率 v0 沿不同方向射入第一象限磁场,均做逆时针方向的匀

速圆周运动,根据牛顿第二定律有 mv2 0 qv0B= R mv0 R= =1 m qB 如图甲所示,这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧 AC 上,欲使离子穿过 磁场区域后都能平行于 y 轴并指向 y 轴正方向运动,离开磁场时的位置在以点 O′(1,0) 为圆心,半径 R=1 m 的四分之一圆弧 OB 上.由此可知,磁场区域至少为两个四分之一 圆的交集,如图乙所示. πR2 R2 π-2 2 则调整后磁场区域的最小面积 Smin=2×( - )= m 4 2 2

【必考模型 3】

带电粒子在磁场中的临界、极值问题

1.模型特点:一群粒子在磁场中做圆周运动或一个粒子在磁场中做圆周运动,不论是一 群粒子,还是一个粒子,研究的问题往往都是粒子的速度的大小、方向或磁感应强度变化时 的极值问题或临界问题或边界问题. 2.表现形式:(1)同源粒子发射问题.此形式常有两类情况,一类是粒子的速率相同, 发射方向各异,另一类是速率不同,但发射方向唯一. (2)自某一边界射入磁场.这种形式也常有两类情况:一类是射入磁场的位置不同,但速 度的大小、方向唯一;另一类是位置相同,速度大小一定,但速度方向各异. 3.应对模式:不论哪种模型,都是研究一系列的圆周运动问题,这时要抓住不变量采用 动态圆的方法找到临界点或极值,还要注意以下三个基本问题和几个常用结论. (1)三个基本问题 ①找“圆心”的三个依据 依据一:如图 a 在圆轨迹上任一点作速度的垂线必过圆心; 依据二:如图 b 在圆轨迹上任一弦长的中垂线必过圆心; 依据三:如图 c,在某位置上作速度的垂线,在垂线上距位置 R 处的点为圆心.

②求半径的两个方法 mv 法一,由物理方程求,半径 r= ;法二,由几何关系求.例如:弦长 d=2rsin θ(θ 为弦 qB

长对的圆心角的一半). ③计算“时间”的两个方法 α s 法一,由圆心角求,t= T;法二,由弧长求,t=v. 2π 在此要注意几个角度关系:速度偏向角 φ=圆弧所对应的圆心角(回旋角)α=弦切角 θ 的 2 倍,如图 d.

d (2)对于直线边界和圆形边界磁场,常用的结论有: ①直线边界的对称性:从同一直线边界射入的粒子,又从同一直线边界射出时,速度方 向与边界的夹角相等.如图 e.

e ②圆形边界的对称性:粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域,射出磁场时速度方向也 一定沿圆形磁场的半径方向.如图 f.

f ③磁发散和磁聚焦:当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时,会出现磁发散 或磁聚焦现象. 即当粒子由圆形磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时,会平行射出磁场,如图 g; 当粒子平行射入磁场中,会在圆形磁场中汇聚于圆上一点,如图 h.

g

h


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