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23东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--数列(一)数列的概念与简单的表示B


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 023A

数列(一)

数列的概念与简单的表示 (教案)

一、知识梳理: (阅读教材必修 5 第 28 页—31 页) 1、数列的定义: 。 注意: (1)数列的数是按一定顺序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列 顺序不同,那么它们就是不同的

数列。 (2) 、定义中并没有规定数列中的数不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现。 2、数列的项: 。 各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,第 3 项,?,第 n 项,如三角 形(见教材 28 页)“1”是这个数列的第一项, , “10”是这个数列中的第 项。 3、数列的一般形式: ; 4、数列的表示法: (1) 、解析法:分为通项公式与递推公式两种 ①、数列的通项公式: 注意: 并不是所有的数列都能写出通项公式; 一个数列的通项公式有时不是唯一的;如数列:1,0,1,0,1,0?,它的通项公式 可以写成an =
1+(?1) 2
n

也可以写成an =|cos

n+1 2

π|

数列通项公式的作用:求数列中的任一项,检验某数是否是该数列中的项,数列的通 项公式有双重性,它表示了数列的第 n 项,又是这个数列中所有项的一般表示,通项 公式反映了一个数列项与项数函数关系,给了数列的通项公式,这个数列就确定了, ②、数列的递推公式: 定义: 如:斐波那契列: 递推公式: 说明:递推公式利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律:有些数列,虽然给 出是的递摔推公式,但可以根据递推公式,求出它的前几项,进而归纳出它的通项公 式(为了保证它的正确,可以用数学归纳法加以证明。 ) (2) 、列举法:数列可以看成是定义在自然数集或它的子集上的函数,当自变量从 1 开始依次取自然数时,相对应的一列函数值,把这些函数值按它们的序号排列出来。 (3) 、图象法:在直角坐标系中, 以 n 和 f(n)为点的坐标,即(n,f(n) )描点 后得到的图象是一些孤立点。 5、数列与函数的关系 数列可以看成以 , 为定义域的函数an = f(n), 当自变量从小到大依次取值时, 对应的一列函数值, f(1), f(2), f(n), ?, ?, 因此要善于用函数的观点认识与研究数列:常用an =f(n). 6、数列的分类

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(1) 、按数列的项数多少可分为: (2) 、根据数列前后项的大小关系来分: 增数列: 减数列: 摆动数列: 常数数列: 7、求通项公式的方法: (1) 、观察法; (2) 、利用sn 与an 的关系; (3) 、公式法: 构造新等差数列、等比数列; (4) 、其它方法:迭加法,迭乘法,迭代法; 二、题型探究 探究一:已知数列的前 n 项,求通项公式 (1).-1,7,-13,19,? (2).7,77,777,7777,? (3).0,1,0,1,? (4).1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,? (5).1,3,7,15,?



3 7 9 ,1, , ,? 2 10 17 1 3 2 5 (7).1, , , , ,? 2 7 5 13 5 10 17 (8).-2, ,- , ,? 4 9 16
(6). 探究二:由 S n 与 an 的关系求通项

?S1 , (n ? 1) an = ? ?S n ? S n ?1 , ( n ? 2)

1、已知 Sn ? 2an ? 1 ,求 an 。

2、已知数列 an 的前 n 项和为 S n ,并满足Sn = 3n ? 2,求 an 。

2

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3、已知数列{ an }满足下列关系 log2 ( Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an 。

探究三:由递推关系式求通项 对于一些递推关系较为复杂的数列,可以通过递推关系公式的变形、整理,从 中构造出一个新的等差或等比数列, 或者将问题转化为前面已经解决的几个情形来处 理。 1、已知数列 an , a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 3 ,求 an 。

2、 (07 全国二卷)设数列{ an }的首项 a1 ? 2 , a n ? { an }的通项。

3 ? a n ?1 (n ? 2,3,4.....) ,求数列 2

3、已知数列{ an }, a1 ? 1 , a1 ?

2 1 1 2 ,且满足 ,求 an 。 ? ? an ?1 an ?1 an 3

3

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5、 an 已知数列{ an }, a1 ? 1 , an ?1 ?

2an ( n ? N* ) ,求 an 。 an ? 2

6、已知数列{ an }, a1 ? 2 , an ?1 ?

an ,求数列{ an }的通项。 1 ? 3an

2 7、已知数列{ an }, a1 ? 1 , an ?1 ? an , 4an ?1an ? (an ?1 ? an ? 1) ,求 an 。

8、 (07 年山东高考题) a1 ? 2 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图象上,其中
2

n ? 1,2,3.... ,求数列{ an }的通项。

4

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探究四:与数列有通项公式有关的综合题 1、 数列{an }中,an =n2 -5n+4 (1) 、18 是数列中的第几项?

(2) 为何值时,an 有最小值,并最小值; 、n

2、 数列{an }的通项公式an =n2 +μ n,已知该数列为递增数列,求μ的取值范围。

三、方法提升 1、 求数列的通项公式,应用观察、分析、归纳、验证的方法,易错之处在于每个数 列由前几项找规律不准确, 以及观察、 分析、 归纳、 验证这四个环节做的不够多, 应注意对每个数列认真找出规律和验证。 2、 任何一个数列, 它的前 n 项和sn 与通项an 都存在着 an = ?

?S1 , (n ? 1) ,若 ?S n ? S n ?1 , ( n ? 2)

a1 适合an ,则把它们统一起来,否则就分段函数的形式表示。 3、 由递推关系式求通项,可以考虑“归纳、猜想、证明”的方法,也可以构造新数 列; 4、 利用二次函数的知识解决数列问题,必须注意其定义域 n 为正整数。

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