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2012年安徽高考数学试题及答案(理科)


2012 年安徽高考数学试题及答案(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第 Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴 的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定

的地方填写 姓名和座位号后两位。 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清 .... 晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描 ... 清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题 ......... .... ...... 无效。 .. 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式: 如果事件 如果事件 与 与 互斥;则 相互独立;则

如果



是事件,且

;则

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)复数 满足: ;则 ( )

【解析】选

(2)下列函数中,不满足:

的是(



【解析】选



均满足:

得:

满足条件

(3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结 果是( )

【解析】选

4.公比为

等比数列

的各项都是正数,且

,则(



【解析】选

5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则

甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 中位数 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

甲的成绩的中位数等于乙的成绩的

甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

【解析】选

甲的成绩的方差为

,乙的成绩的方差为

(6)设平面

与平面

相交于直线

,直线

在平面

内,直线

在平面

内,且

则“

”是“ 充分不必要条件 充要条件

”的(

) 必要不充分条件

即不充分不必要条件

【解析】选 ① ②如果 ;则 与 条件相同

(7)

的展开式的常数项是(



【解析】选

第一个因式取 第一个因式取

,第二个因式取 , 第二个因式取

得: 得: 展开式的常数项是

(8) 在平面直角坐标系中, 则点 的坐标是( )

, 将向量

按逆时针旋转

后, 得向量

【解析】选

【方法一】设



【方法二】将向量

按逆时针旋转

后得

则 (9) 过抛物线 则 的焦点 的面积为( 的直线交抛物线于 ) 两点, 点 是原点, 若 ;

【解析】选 设 及 ;则点 到准线 的距离为

得:



的面积为 (10)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进 行交换 的两位同学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 份纪 念品 的同学人数为( 或 【解析】选 ) 或 或 或

①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到 份纪念品的同学人数为



②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到 份纪念品的同学人数为 人 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. ................. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

(11)若 【解析】

满足约束条件: 的取值范围为

;则

的取值范围为

约束条件对应

边际及内的区域:

则 (12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是

【解析】表面积是 该几何体是底面是直角梯形,高为 的直四棱柱 几何体的表面积是

(13)在极坐标系中,圆 【解析】距离是 圆

的圆心到直线

的距离是

的圆心

直线 (14)若平面向量 满足:

;点

到直线 的距离是 的最小值是

;则

【解析】

的最小值是

(15)设

的内角

所对的边为

;则下列命题正确的是

①若

;则

②若

;则

③若

;则

④若

;则

⑤若 【解析】正确的是

;则 ①②③





③当

时,



矛盾

④取

满足

得:

⑤取

满足

得:

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡的制定区域内. (16)(本小题满分 12 分)

设函数 (I)求函数 的最小正周期;

( II ) 设 函 数

对任意

,有

,且当

时,

; 求函数 在 上的解析式。









(I)函数

的最小正周期

(2)当

时,













得:函数 (17)(本小题满分 12 分)



上的解析式为

某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 用后 该试题回库,并增补一道 调用 的是 道 试题, 其中有 试 题库中 (Ⅰ)求 (Ⅱ)设 类试题的数量。 的概率; ,求 的分布列和均值(数学期望)。 道 类型试题和 道 类型试题, 以 类试题和一道

类型试题,则使

类型试题入库,此次调题工作结束;若

类型试题, 则使用后该试题回库, 此次调题工作结束。 试题库中现共有

表示两次调题工作完成后,

【解析】(I)

表示两次调题均为

类型试题,概率为

(Ⅱ)

时,每次调用的是

类型试题的概率为

随机变量

可取





答:(Ⅰ) (Ⅱ)求

的概率为 的均值为

(18)(本小题满分 12 分) 平面图形 , 。现将该平面图形分别沿 平面都 与平面 形解答 下列问题。 垂直,再分别连接 ,得到如图 2 所示的空间图形,对此空间图 和 折叠,使 与 所在 如图 4 所示,其中 是矩形, ,

。 (Ⅰ)证明: (Ⅲ)求二面角 【解析】(I)取 则 同理: 又 (Ⅱ)延长 到 ,使 面 面 ; (Ⅱ)求 的余弦值。 的中点为点 ,面 得: 面 得: 面 面 ,连接 面 共面 面 的长;

,面

(Ⅲ) 在 中,

是二面角

的平面角



中,

得:二面角 (19)(本小题满分 13 分)
K]

的余弦值为



设 (I)求 在 上的最小值;

(II)设曲线

在点

的切线方程为

;求

的值。

【解析】(I)设

;则

①当

时,



上是增函数

得:当

时,

的最小值为

②当

时,

当且仅当

时,

的最小值为

(II)

由题意得: (20)(本小题满分 13 分)

如图,

分别是椭圆

的左,右焦点,过点



轴的垂线交椭圆的上半部分于点



过点

作直线

的垂线交直线 ;求椭圆

于点



(I)若点

的坐标为 与椭圆

的方程;

(II)证明:直线

只有一个交点。

【解析】(I)点

代入

得:









由①②③得:

既椭圆

的方程为

(II)设

;则

得:

过点

与椭圆

相切的直线斜率 只有一个交点。

得:直线

与椭圆

(21)(本小题满分 13 分) 数列 满足: 是单调递减数列的充分必要条件是 是单调递增数列。

(I)证明:数列

(II)求 的取值范围,使数列 【解析】(I)必要条件 当 充分条件 数列 得:数列 (II)由(I)得: ①当 ②当 时, 时, 是单调递减数列 时,

数列

是单调递减数列

是单调递减数列的充分必要条件是

,不合题意

当 由

时,



同号,

当 与数列

时,存在

,使



异号

是单调递减数列矛盾

得:当

时,数列

是单调递增数列.


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