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第12章 平稳时间序列模型


第12章

平稳时间序列模型

前言
? 在前面的章节中,模型的被解释变量都假定 只受各个解释变量当期值的影响。 ? 但我们知道,在现实中很多被解释变量除了 受解释变量当期值的影响外,还不可避免地 受到解释变量滞后值的影响,这就是所谓分 布滞后模型,或者前若干期的值决定了当期 值,即自回归模型。这一类模型要求数据具 有平稳性,本

章将讨论平稳时间序列模型。

§12.1 分布滞后模型
? 一、分布滞后模型的含义 ? 以消费函数为例,假定某人的年薪增加了10000人民币,而 且这一年薪的增加将一直保持下去。那么,这种收入的增加 将会对个人的年消费支出产生什么影响呢? ? 在得到收入的“永久性”增加后,人们通常不会急于把全部 增加的收入一次性全部花完。比方说,收入增加者可能在收 入增加后的第1年增加消费3000元,第2年增加2000元,第3 年增加1000元,把所余的部分用于储蓄。到第3年末,此人 的年消费支出将增加6000元。因而我们可以把此人的消费函 数写成(12.1.1)式:

yt ? ? ? 0.3xt ? 0.2 xt ?1 ? 0.1xt ?2 ? ut

(12.1.1)

? 像(12.1.1)式这样的模型,如果时间序列模型 中不仅包含解释变量的当期值,而且包括解 释变量的滞后值,就把这种模型称之为分布 滞后模型(Distributed-lag Model),也称之为 滞后变量模型。更一般地,我们把分布滞后 模型写成(12.1.2)式:

yt ? ? ? ?0 xt ? ?1 xt ?1 ? ?2 xt ?2 ? ? ? ?k xt ?k ? ut

(12.1.2)

? 如果k是有限的,称模型(12.1.2)为有限分布 滞后模型;如果k是无限的,称模型(12.1.2) 为无限分布滞后模型。

分布滞后模型的几个基本概念
1.短期乘数(Impact multiplier) 系数 ? 0 表示x在当期一个单位的变化,导致y的同期变化值,因

此称为短期或即期乘数。 2.中期乘数(Intermediate multiplier)
如果此后x的变化都保持在同一水平上,则(? 0 ? ?1 ) 给出下期y的 变化,( ? 0 ? ?1 ? ? 2 ) 给出再下期y的变化,以此类推,这部分系 数的和称为中期乘数。 3.长期乘数(Long-run multiplier)
i ?0

? ?i ? ? 0 ? ?1 ? ... ? ? k ? ?

k

(12.1.3)

? 称之为长期乘数或总分布滞后乘数(Total distributedlag multiplier)。

对分布滞后模型系数的假定
? 通常在讨论分布滞后模型时,总是假定:

?k ? ? ?i ? ? ? ? ?i ? 0 ?lim ? i ? 0 ?i ? ?

(12.1.4)

? 这一假定的经济学含义是: ? 其一,解释变量x对被解释变量y的长期影响是有限的; ? 其二,x的滞后时间越长,对y的当期影响逐渐衰减。

? 进一步,我们定义:

?i ? ? k ? ? ? ?i
* i i ?0

?i

(12.1.5)

? βi*是βi对的标准化,给出某一时期的冲击效应占长 期冲击或总冲击(即总滞后乘数)的比例。

以(12.1.1)式为例
yt ? ? ? 0.3xt ? 0.2 xt ?1 ? 0.1xt ?2 ? ut
(12.1.1)

? 短期乘数为0.3,表示短期消费倾向(MPC),而长期 乘数为0.6(0.6=0.3+0.2+0.1)表示长期消费倾向。 ? 也就是说,随着收入增加1元,该消费者将在收入 增加的当年提高他的消费水平约0.3元,第二年再提 高0.2元,第三年再提高0.1元,即1元收入的增加对 消费的长期效应就是0.6元。 ? 如果我们将(12.1.1)的每一个βi除以0.6,就分别得到 0.5,0.33和0.17,这表明x的一个单位变化的总效应 有50%在当期反映,第二期为33%,第三期为17%。

二、滞后效应产生的原因
? 1.心理性因素 ? 由于受到心理预期的影响,经济主体的大多数决策行为都会 表现出滞后性。主要原因是人们受自身习惯的影响,往往不 能快速调整自己的行为来适应新的环境。 ? 2.时滞性因素 ? 例如,由于“蛛网效应”的存在,农产品供给量对价格的波 动表现出时滞;从研究与开发(R&D)的投入到生产效率的提 高,中间也涉及到相当长的时滞。 ? 3.制度性因素 ? 管理制度、合同等制度性因素也会导致滞后效应。例如,一 个消费者如果其存款结构中定期存款占了较大比例,他要想 改变理财计划,或者调整自己的消费水平,就会受到银行有 关存款制度的限制。

三、分布滞后模型的估计方法
? 分布滞后模型估计的困难 ? 对于有限分布滞后模型,外生滞后变量模型的估计原则上可 以使用OLS法。但是在具体应用中还是存在一些实际问题: 其一,解释变量x的最大滞后阶数k如何确定?如果k设定不 正确,将带来模型的设定偏误问题。其二,滞后期数越长, 自由度越小,这将导致模型估计不准或无法估计,并可能导 致统计推断失效。其三,即使样本足够大,即使不考虑自由 度问题,由于x的各期之间往往是高度相关的,因而也可能 遇到滞后解释变量观测值之间存在的多重共线性问题。 ? 对于无限分布滞后模型,由于x的最大滞后阶数k是无限的, 因此,直接应用OLS无法估计无限分布滞后模型。

1. 阿尔特—丁伯根(Alt-Tinbergen)估计法
? 为了确定解释变量x的最大滞后期k,阿尔特和丁伯 根提出了所谓顺序估计法。 ? 其基本思路是:在假定随机扰动项满足经典假设的 前提下,首先做yt对xt的回归,然后做yt关于xt和xt-1 的回归,再做yt关于xt、xt-1和xt-2的回归,依次添加的 滞后项,直到滞后阶数不显著或至少有一个滞后阶 数的系数改变符号时为止。 ? 阿尔特—丁伯根估计法的优点是原理简单,操作方 便,但也存在一些缺陷,主要是解释变量滞后长度 的选择存在数据挖掘(Data mining)问题和多重共线 性问题。

Alt-Tinbergen估计法的一个实例
? Alt根据1930年至1939年的季度数据,将燃油消耗量y依次对 新订货单x及其滞后变量进行回归,得到了如下结果:

? yt ? 8.37 ? 0.171 xt ? yt ? 8.27 ? 0.111 xt ? 0.064 xt ?1 ? yt ? 8.27 ? 0.109 xt ? 0.071 xt ?1 ? 0.055 xt ? 2
? yt ? 8.32 ? 0.108 xt ? 0.063 xt ?1 ? 0.022 xt ? 2 ? 0.020 xt ?3
从上面的回归结果可以看出, xt-2的符号不稳定,并且xt-2 、 xt-3的符号为负,其经济意义难于解释,所以阿尔特最后选 择第二个回归模型作为最佳估计式。

2.阿尔蒙(Almon)估计法
对于分布滞后模型(12.1.2):

yt ? ? ? ?0 xt ? ?1 xt ?1 ? ? 2 xt ?2 ? ? ? ? k xt ?k ? ut
我们通常要求其系数满足条件(12.1.4)式

(12.1.2)

?k ? ? ?i ? ? ? ? ?i ?0 ?lim ? i ? 0 ? i ??

(12.1.4)

即系数βi的和为有限以及βi渐进地趋于0,但βi以什么方式趋 于0没有作具体要求。

? 阿尔蒙用多项式去逼近模型(12.1.2)中的系数βi ,阿尔蒙假 定系数βi可以用下面的阿尔蒙多项式变换去逼近:

?i ? ? 0 ? ?1i ? ? 2i ? ? ? ? mi
2

m

i=0,1,2,…,k ; m<k
(12.1.6)

将(12.1.6)代入(12.1.2)式并整理各项,模型变为以下形式:

yt ? ? ? ? 0 Z 0t ? ?1Z1t ? ? 2 Z 2t ? ? ? ? m Z mt ? ut
?Z 0t ? xt ? xt ?1 ? xt ? 2 ? ? ? xt ? k ?Z ? x ? 2 x ? 3x ? ? ? kx t ?1 t ?2 t ?3 t ?k ? 1t ? 其中, ?Z 2t ? xt ?1 ? 22 xt ? 2 ? 32 xt ? 3 ? ? ? k 2 xt ? k ?? ? ?Z mt ? xt ?1 ? 2m xt ? 2 ? 3m xt ? 3 ? ? ? k m xt ? k ?

(12.1.7)

(12.1.8)

u ? 对于(12.1.7)式, t 满足经典假定的条件,故使用OLS进行估 ? ? ? ? 计。将估计的参数 α0 ,α1,α 2 ,? ,αm 代入(12.1.6)式,就可求 出原分布滞后模型参数? i 的估计值。 在实际应用中,阿尔蒙多项式的次数m应视函数形式而定,但 通常取得较低,一般取2或3,很少超过4,因为如果m的值取的 过大,则达不到通过阿尔蒙多项式变换减少解释变量个数从而 提高自由度的目的。
阿尔蒙估计法的最大优点就是解决了自由度不足的问题,由于 模型中解释变量和待估参数都减少了,因此,一般不会有自由 度不足的问题。此外,阿尔蒙估计法具有较大的灵活性。为了 使参数结构假定更好地符合的实际变化形式,可以通过改变多 项式(12.1.6)的阶数m,从而提高逼近的精度。
阿尔蒙估计法也存在着一些缺陷。其一,滞后期数k数如何确 定,阿尔蒙估计法本身并没有解答;其二,多项式(12.1.6)阶数 m的确定往往具有主观性。

§12.2 自回归分布滞后模型
? 所谓自回归分布滞后模型,就是模型中的解 释变量包含被解释变量的滞后项,如

yt ? ? ? ?0 xt ? ?1 yt ?1 ? ut

(12.2.1)

由于自回归分布滞后模型描述了被解释变量相 对于它的过去值的时间路径,故又称之为动态 模型(Dynamic model),下面介绍几种常见的自 回归模型。

一、适应性预期模型
? 适应性预期模型基于经济理论基础,认为经 济活动主体是根据他们对某些经济变量的 “预期”做出决策的。其核心思想是:影响 xt* yt的因素不是xt ,而是对xt 的预期 ,即:

yt ? ? 0 ? ? x ? ut
* 1 t

(12.2.2)

xt*为解释变量预期值, 其中, yt为被解释变量,

ut为随机扰动项。

xt?不可直接观测,如何获取解释变量的预期值, 由于预期变量
是适应性预期模型的难点。因此,实际应用中需要对预期的 形成机理做出某种假定,从而将不可直接观测的预期变量 用可观测的变量xt表述出来。适应性预期模型假定: xt?

xt* ? xt*?1 ? ? ( xt ? xt*?1 )

(0 ? ? ? 1)

(12.2.3)

其中,参数? 称之为预期系数或调整系数。(12.2.3)式的含义 是:如果 0 ? ? ? 1 ,表明经济活动主体对解释变量xt的当期预 ? 期值 xt?等于前一期预期值 xt ?1 加上一个修正量,该修正量 ? ( xt ? xt??1 ) ? ? 是前一期预期误差 ( xt ? xt ?1 ) 的一部分。显然, 的值越接近1, 调整幅度也越大,这一调整过程也叫做自适应调整过程;如 果? ? 1,则 xt? ? xt ,表明经济活动主体对xt的当期预期值和实 际值完全相同,即预期是立即全部实现的;如果 ? ? 0 , * * 则 xt ? xt ?1 ,表明经济活动主体将前期的预期值作为当期预 期值。

? 将(12.2.3)式改写为: * * xt ? ?xt ? (1 ? ? ) xt ?1

(12.2.4)
? t 是前一期预

(12.2.4)式表明当期预期值 x ? 期值 xt ?1和本期实际值xt的加权平均,权 数分别为1 ? ? 和 ? 。如果 ? 等于0,说明 本期实际值被忽略,预期没有进行修正。 ? 如果 等于1,则以本期实际值作为预期 值,本期预期与前一期预期无关。在一 般情况下,0< ? <1。

? 将(12.2.4)式代入(12.2.2)式,可以得到:

yt ? ? 0 ? ?1[?xt ? (1 ? ? ) x ] ? ut ? ? 0 ? ?1?xt ? ?1 (1 ? ? ) x ? ut
* t ?1 * t ?1

(12.2.5)

将(12.2.2)式滞后一期,并乘以 1 ? ? 得到:

(1 ? ? ) yt ?1 ? (1 ? ? ) ? 0 ? (1 ? ? ) ?1 x*t ?1 ? (1 ? ? )ut ?1 (12.2.6)
用(12.2.5)式减去(12.2.6)式,得到:

yt ? ?? 0 ? ?1?xt ? (1 ? ? ) yt ?1 ? ut ? (1 ? ? )ut ?1
* ?1* ?2 * * * yt ? ? ? ? xt ? ? yt ?1 ? ?t

(12.2.7)

?

* 0

?t
(12.2.8)

0

1

2

(12.2.8)式显然是一个一阶自回归分布滞后模型。

二、部分调整模型
? 部分调整模型(Partial adjustment model)首先是由尼洛夫 (Nerlove)基于这样的事实提出的:为了适应解释变量的变化, 被解释变量有一个预期的最佳值与之对应。 ? 例如,一个企业本期商品库存量的最佳库存值取决于当期实 际销售量;为了保持一定的经济增长水平,央行应该有一个 预期的最佳货币供应量。 ? 因此,部分调整模型核心思想是考察自变量观测值与同期因 变量希望达到的最佳值之间的关系,用模型表述就是:

yt* ? ? 0 ? ?1 xt ? ut

(12.2.9)

y 其中,t?为被解释变量的预期最佳值,xt为解释变量的现值。

? 由于被解释变量的预期最佳值是不可直接观测的,尼洛夫提 出被解释变量的实际变化仅仅是预期变化的一部分,即所谓 部分调整假设:

yt ? yt ?1 ? ? ( y ? yt ?1 )
* t

(0 ? ? ? 1)

(12.2.10)

其中,δ为调整系数,它代表调整速度。 yt-yt-1表示实际变化, y*t-yt-1 表示预期的理想变化。δ越接近1,表明调整到预期最佳 水平的速度越快。若δ=1 ,则yt=y*t,表明实际变动等于预期变 动,调整在当期完全实现。若δ=0 ,则 yt=yt-1 ,表明本期值与 上期值一样,完全没有调整。通常情况下,0< δ <1。部分调整 假设(12.2.10)式可以改写成:

yt ? ?yt* ? (1 ? ? ) yt ?1

(12.2.11)

即被解释变量yt的实际值是本期预期最佳值y*t与前一期实际值 的yt-1加权,权重分别为δ和 1-δ 。

? 将(12.2.9)式代入(12.2.11)式,可得部分调整模型的 转化形式:

yt ? ? (?0 ? ?1 xt ? ? t ) ? (1 ? ? ) yt ?1
? ?? 0 ? ?? 1 xt ? (1 ? ? ) yt ?1 ? ?ut
(12.2.12)
? 0* ? ?? 0 ,1* ? ?? 1, (12.2.12)式称为部分调整模型,令 ?
* ? 2 ? (1 ? ? ) , t* ? ?ut ,(12.2.12)式可以改写成: u

* yt ? ? 0 ? ?1* xt ? ?1* yt ?1 ? ut*

(12.2.13)

(12.2.13)式表明部分调整模型本质上也是一个自回归分 布滞后模型。

三、自回归分布滞后模型的估计
? 1.自回归分布滞后模型的OLS估计量的性质 ? 我们已经讨论了两种自回归分布滞后模型:适应性 预期模型和部分调整模型,这些模型都有如下的共 同形式:

yt ? ? ? ?0 xt ? ?1 yt ?1 ? ?t

(12.2.14)

如前述,以上两种自回归模型由于包含了被解释变量 滞后项yt-1作为解释变量,以及随机扰动项的形式发生 了变化,导致yt-1与 vt的相关, vt 也可能存在自相关, 因此,OLS估计量是有偏的。显然,最重要的问题是 yt-1 与 vt 的相关。

2.自回归分布滞后模型的自相关检验
? 为了解决自回归分布滞后模型的自相关检验问题,Durbin在 1970年提出了一个新的检验方法,即h检验法,也称之为德 宾h检验,其h统计量为:

? h??

n ? 1 ? nVar( ?1 )

(12.2.15)

其中,n为样本容量, ( ?1 )为(12.2.14)式中系数?1 的估计值的 Var ? 1 ? 方差。? 为? t 的一阶自相关系数,通常取 ? ? 1 ? d ,d为通常意 ? 2 义下的DW统计量。这样h统计量可以写成:

1 n h ? (1 ? d ) ~ N (0,1) ? 2 1 ? nVar( ?1 )

(12.2.16)

运用德宾h检验应该注意的问题
? (1)如果 nVar( ?1 ) ? 1,h统计量无意义,德宾h检验 的检验结果无效。

(2)如果自回归分布滞后模型中包含多个解释变量和 多个滞后被解释变量,德宾h检验仍然适用。

3.自回归分布滞后模型的工具变量估计法
估计自回归分布滞后模型必须处理的问题是 yt-1与 vt 的 相关,常用的估计方法是工具变量(Instrument Variable) 估计。

工具变量估计的核心思想是:既然 yt-1与 vt 相关,如果 能找到这样一个代理(Proxy)变量,这个变量与yt-1高度 相关,但与 vt 不相关,用代理变量代替 ,就可以消除 yt-1与 vt 相关的问题。

在实际应用中,工具变量有多种选择方式。常见的方式是选用 ? yt-1的估计值 yt ?1作工具变量,代替 yt-1后进行估计,其步骤是: 第一步,先对模型(12.2.17)进行OLS回归:
yt ? ? 0 ? ?1 xt ? ? 2 xt ?1 ? ? ? ut

(12.2.17)

实际应用时xt的滞后期k最多取3,假设估计结果为: ? ? ? ? yt ? ? 0 ? ?1 xt ? ? 2 xt ?1 (12.2.18) 滞后一期得到: ? ? ? ? yt ?1 ? ? 0 ? ?1 xt ?1 ? ? 2 xt ?2 (12.2.19)

? 作为工具变量代替(12.2.14)式中的随机解释变 第二步,以 yt ?1 量yt-1,可以得到:
? yt ? ? ? ?0 xt ? ?1 yt ?1 ? ut
(12.2.20)

第三步,对(12.2.20)式进行最小二乘回归,得到参数的估计值。

§12.3 ARMA模型
? 时间序列ARMA 模型由Box-Jenkins (1976) 年
提出,在介绍ARIMA 模型之前,为了分析

的方便,我们先介绍时间序列分析的几个基
本概念。

一、时间序列分析的几个基本概念
1.随机过程 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程,记为 , 简记为xT ? ?xt , t ? t。随机过程也可以简称为过程,其中每一个元素xt都 是随机变量。将每一个元素的样本点按序排列,称为随机过程 的一个实现,即时间序列数据,亦即样本。 2.白噪声过程 对于一个随机过程,如果均值E(xt)=0,t ?T ;方差 ?

Var( xt ) ? ? 2 ? ? , t ?T ;协方差 Cov( xt , xt ?k ) ? 0 (k ? 0 ),那 ?
么这一随机过程称为白噪声过程。

3.平稳随机过程

如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数,并且
在任何两期之间的协方差只和两期间隔的时间长度相关,而和 计算该协方差的实际时间不相关,则称该随机过程为平稳随机

过程,也称之为协方差平稳过程或者弱平稳过程。
用公式表述就是,对于一个随机过程xt ,如果其均值 E ( xt ) ? ? ? ? ,

方差Var( xt ) ? ? 2 ? ? ,协方差 Cov( xt , xt ? k ) ? ? k2 ? ? 的大小只与k的
取值相关,而与t不相关,则称xt为平稳随机过程。白噪声过程显 然是一个平稳过程。

数据的平稳性对时间序列分析非常重要,经典的时间序列回归 分析,都是假定数据是平稳的。直观的看,平稳的数据可以看 作是一条围绕其均值上下波动的曲线。 下面,我们用由Eviews软件模拟一个均值为5、标准差为0.2、 样本量为500的平稳数据。
X
5.6 5.4 5.2 5.0 4.8 4.6 4.4 4.2 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

图12.1 平稳数据示例

4.自相关函数 对于平稳的随机过程,其期望和方差均为常数,而滞后k期的自 协方差就是相隔k期的两个随机变量xt与xt+k的协方差,定义为:

? k ? Cov( xt , xt ? k ) ? E[( xt ? ? )( xt ? k ? ? )]
自协方差 ? k 随着k的依次取值构成了序列 ? k (k ? 0,1,? K ) ,称为
随机过程 xt 的自协方差函数。当k=0时,自协方差退化为方差, 即

? 0 ? Cov( xt , xt ) ? E[( xt ? ? )( xt ? ? )] ? Var( xt ) ? ? 2
xt与xt+k 之间的自相关系数定义如下:
Cov( xt , xt ? k ) ?k ? ? Var( xt )Var( xt ? k ) E[( xt ? ? )( xt ? k ? ? )] E ( xt ? ? ) E ( xt ? k ? ? ) ]
2 2

(12.3.1)

因为,对一个平稳随机过程有:
Var( xt ) ? Var( xt ?k ) ? ? 2 ? ? 0 所以(12.3.1)式可以改写为:

?k ?k ? ?0

对应的样本自相关系数为:
? ?k ?

? (x
t ?1

n?k

t n

? x )( xt ? k ? x )

( xt ? x ) 2 ?
t ?1

(12.3.2)
k=…,-2,-1,0,1,2…),称为自相 ??(k ?

由(12.3.2)定义的 ? k 构成的序列

关函数,用于考察随机变量的样本与其滞后期的相关强度。

5.偏自相关函数
? 回顾第四章中介绍的多元回归模型的偏回归系数,所反映的是 在其他解释变量保持不变的情况下,某个解释变量对被解释变 量条件期望值的边际影响,即偏效应。偏自相关函数的含义和 偏回归系数类似。 用?kj 表示k阶自回归模型中第j个回归系数,则k阶自回归模型为:

xt ? ?k1 xt ?1 ? ?k 2 xt ?2 ? ? ? ?kk xt ?k ? ut
则称

(12.3.3)

其中?kj 是最后一个回归系数。若把 ?kj 看作是滞后期k的函数,

?kk ? ? (k ) (k ? 1, 2,?)

(12.3.4)

为偏自相关函数。可以看出,上式中每一个回归系数?kj 恰好表 示xt与xt-k在排除了其中间变量 xt ?1 , xt ? 2 ,?, xt ? ( k ?1) 影响之后的相关 系数,所以偏自相关函数由此得名。

二、ARMA模型概述
? 时间序列ARIMA模型一般可分为四种类型,
即自回归模型(AR)、移动平均模型(MA)、自 回归移动平均模型(ARMA)和积分自回归移 动平均模型(ARIMA)。

1.自回归模型概述
? (1)自回归模型的定义 ? 如果一个随机模型中的元素仅仅受其滞后项和服从白噪声过 程的随机扰动项的影响,则称这种模型为自回归模型(Auto Regression,AR)。 ? 如一阶自回归模型,记作AR(1),可用下式表示:

?1 为自回归参数,随机项u 为服从0均值,方差为? u2的正态 其中 t
分布,且相互独立的白噪声序列。

xt ? ?1 xt ?1 ? ut

(12.3.5)

更一般地,p阶自回归模型,记作AR(p),可用下式表示:

xt ? ?1 xt ?1 ? ?2 xt ? 2 ? ? ? ? p xt ? p ? ut

(12.3.6)

? (2)自回归模型的平稳条件 ? 只有产生时间序列的随机过程是平稳的,运用自回归模型才 有意义。因此,我们首先探讨自回归模型的平稳条件。 直观的看,自回归模型AR(1)的平稳性条件是| ?1 |? 1 。Why?

一阶自回归模型(12.3.5)可写为:

xt ? ?1 xt ?1 ? ut ? ut ? ?1 (?1 xt ?2 ? ut ?1 ) ? ut ? ?1ut ?1 ? ?12 (?1 xt ?3 ? ut ?2 )

……

? ut ? ?1ut ?1 ? ?12ut ?2 ? ?13ut ?3 ??
? ?i? 0?1i ut ?i ?
(12.3.7)

可以看出,一阶自回归模型(12.3.5)实际上是白噪声序列的线性组 ?i? 0?1i 必须收敛,即 ?1 必须 合。若保证AR(1)模型具有平稳性, ? 满足 | ?1 |? 1 。

2.移动平均模型(MA)概述
(1)移动平均模型的定义 若时间序列xt为它的当期和滞后若干期随机扰动项的线性组 合,即:

xt ? ut ? ?1ut ?1 ? ? 2ut ?2 ? ? ? ? q ut ?q

(12.3.8)

2 其中,?1 ,? 2 ,?,? q 是参数,ut是均值为0,方差为 ? u 的白噪声 过程,称(12.3.8)式为q阶移动平均(Moving Average,MA)模型, 记为MA(q)。之所以称为“移动平均”,是因为xt是由ut的加权 和构造而成,类似于一个平均。

由定义可知,任何一个q阶移动平均过程都是由q+1个白噪声过 程的加权和组成,由于白噪声过程是平稳的,所以任何一个移 动平均模型都是平稳的。

? (2)移动平均模型的可逆性 ? 对于MA(1)模型:

xt ? ut ? ?1ut ?1
给定条件
| ?1 |? 1 ,如果MA(1)模型可以表述为

(12.3.9)

xt ? ?1 xt ?1 ? ?12 xt ?2 ? ?13 xt ?3 ? ? ? ut

(12.3.10)

即MA(1)模型可以转化为一个无限阶的自回归模型,我们称 MA(1)模型具有可逆性。 由AR(p)模型平稳性可知,MA(1)模型具有可逆性的条件是 ?1 <1。更一般地,任何一个可逆的MA(q)模型可转换成一个 无限阶的自回归模型。

? (3)自回归模型与移动平均模型的关系
? 以上的分析说明,一个平稳的AR(p)模型可以转换为一个无限

阶的移动平均模型;一个可逆的MA(q)模型可转换成一个无限
阶的自回归模型。

? AR(p)模型,只需考虑平稳性问题,不必考虑可逆性问题。
? MA(q)模型,只需考虑可逆性问题,不必考虑平稳性问题。

3.自回归移动平均模型(ARMA)概述
? (1)自回归移动平均模型的含义 ? 如果时间序列xt为它的当前与前期的随机扰动项,以及它的 前期值的线性函数,即

xt ? ?1 xt ?1 ? ?2 xt ?2 ? ? ? ? p xt ? p ? ut ? ?1ut ?1 ? ? 2ut ?2 ? ? ? ? q ut ?q
(12.3.11) 则称上述模型为自回归移动平均模型,记为ARMA(p, q),其 中p和q分别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。 (2)自回归移动平均模型的平稳性和可逆性 ARMA(p, q)过程的平稳性只依赖于其自回归部分;ARMA(p, q)过程的可逆性则只依赖于移动平均部分。

三、ARMA模型的识别
? 对于AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q)模 型,在进行参数估计之前,需要进行模型的 识别。 ? 识别就是确定模型的阶,即确定AR(p)模型 中的p、MA(q)模型中的q和ARMA(p,q)模型 中的p和q。

? 识别的主要工具是自相关函数和偏自相关函 数及其图形。

1. AR(p)模型的识别
? 可以证明,AR(p)模型自相关函数的递推公式为:

? k ? ?1? k ?1 ? ?2 ? k ? 2 ? ?3 ? k ?3 ? ? ? ? p ? k ? p

(12.3.15)

由此可见,AR(p)模型的自相关函数是非截尾序列,称为拖尾

序列,时间间隔越长,自相关的程度越弱。因此,自相关函数
拖尾,是AR(p)模型的一个明显的特征。 (12.3.15)式表明,AR(p)模型的偏自相关系数为p+1处为0。也就

是说,AR(p)模型的偏自相关系数在p+1呈现出截尾特征。因此,
可以基于AR(p)模型的截尾特征确定其阶数p。

? AR(p)模型的自相关函数和偏自相关函数的 计算看起来较为复杂,但是计量经济学软件 都有自相关和偏相关函数的菜单,使用起来 非常方便。 ? 以Eviews软件为例,我们来看AR(p)模型的自

相关函数和偏自相关函数。

自相关图 呈现出 拖尾特征

偏自相关图 在1阶以后 呈现出 截尾特征

图12.3 AR(1)模型xt=0.7xt-1+ut的自相关图和偏自相关图

2. MA(q)模型的识别
? 可以证明:MA(q)模型只有q期记忆,自相关 函数在q处截尾。也就是说,我们可以根据自 相关系数是否从某一点开始为0来判断MA(q) 模型的阶。 ? 对于MA(q)模型的偏自相关函数,由于任何 一个可逆的MA(q)模型都可以转化为一个系 数按几何递减的AR(p)模型,所以MA(q)模型 的偏自相关函数出现缓慢衰减的特征,即拖 尾特征。

自相关图 在1阶以后 呈现出 截尾特征

偏自相关图 呈现出 拖尾特征

图12.4 MA(1)模型xt=ut+0.8ut-1的自相关图和偏自相关图

3. ARMA(p,q)模型的识别
? ARMA(p,q)模型的自相关函数,可以看作AR(p)模 型的自相关函数和MA(q)模型的自相关函数的混合 物。当p=0时,它具有截尾性质;当q=0时,它具有 拖尾性质;当p、q均不为0时,如果当p、q均大于 或者等于2,其自相关函数的表现形式比较复杂, 有可能呈现出指数衰减、正弦衰减或者二者的混合 衰减,但通常都具有拖尾性质。 ? ARMA(p,q)模型的偏自相关函数,也是无限延长的, 其表现形式与MA(q)模型的偏自相关函数类似。根 据q的取值不同以及参数θi的不同,ARMA(p,q)模 型的偏自相关函数呈指数衰减或正弦衰减混合形式。

图12.5 ARMA(1,1)模型xt=0.8xt-1+ut-0.3ut-1的自相关图和偏自相关图

从图12.5可以看出,ARMA(1,1)模型的自相关图和偏自

相关图均是在k=1达到峰值后呈现出按指数衰减的拖尾特征。

图12.6 ARMA(2,2)模型xt=0.8xt-1-0.3xt-2+ut-0.5ut-1+0.7ut-2 的自相关图和偏自相关图

从图12.6可以看出,ARMA(2,2)模型的自相关图和偏自相 关图在k=1、2达到两个峰值后按指数或正弦衰减。

4. ARMA模型的识别规则
? 如果平稳时间序列xt的自相关函数和偏自相关 函数都是拖尾的,则xt是ARMA(p,q)模型。 ? 至于模型中的p和q阶具体取什么值,则要从 低阶开始逐步试探,直到合适的模型为止。

§12.4 向量自回归模型(VAR)
? 一、VAR模型的含义及特点 ? 1980年,Sims提出了向量自回归模型(Vector autoregressive model,VAR)。VAR模型采用多方程 联立的形式,但与联立方程模型需要区分内生变量 和外生变量不同的是,VAR模型假定在模型中的 变量全部为内生变量,内生变量对模型的全部内生 变量的滞后项进行回归,从而估计全部内生变量的 动态关系。 ? 由于VAR模型在预测方面的精度远高于联立方程 模型,加之估计方法较联立方程模型简单等优势, VAR模型自诞生以来,逐渐取代了联立方程模型, 在实际运用中占有重要地位。

我们首先分析最简单的双变量VAR模型。假设国内生产总值(yt) 与货币供应量(xt)之间的关系可以用下式来表述:

? yt ? ?1 ? ? 11 yt ?1 ? ? 12 xt ?1 ? u1t ? ? xt ? ? 2 ? ? 21 yt ?1 ? ? 22 xt ?1 ? u2 t

(12.4.1)

u 其中,1t , u2t ~ iid(0, ? u2 ), (u1t , u2t ) ? 0 。随机扰动项 在VAR术 Cov

语中也称之为新息(Innovations)。(12.4.1)式用矩阵表示为:
? yt ? ? ?1 ? ? ? 11 ? 12 ? ? yt ?1 ? ? u1t ? ? ? ? ? ??? ??? ? ?? ? xt ? ? ? 2 ? ? ? 21 ? 22 ? ? xt ?1 ? ? u2t ?

(12.4.2)

Yt

?

?1

Yt -1

Ut

Yt ? ? ? ?1Yt ?1 ? U t

(12.4.3)

(12.4.3)式称之为一阶向量自回归模型,记为VAR(1)。 所谓“自回归”,是因为模型的右端出现被解释变量的滞后项, 而“向量”是因为模型涉及到两个或两个以上的变量,不同于 前述的单个变量的AR(p)模型。 更一般地,若有n个内生变量并滞后p期,即:

? y1t ? p ? ? y1t ? ? y1t ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? y2 t ? p ? ? y2 t ? ? y2t ?1 ? (12.4.4) Yt ? ? ?, Yt ?1 ? ? ,?, Yt ? p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y ? ?y ? ?y ? ? nt ? ? nt ?1 ? ? nt ? p ? y1t, y2t, …, ynt表示n个不同的内生变量,n个变量的VAR(p) 为:

Yt ? ? ? ?1Yt ?1 ? ? 2Yt ? 2 ? ? ? ? pYt ? p ? U t

(12.4.5)

VAR(p)

VAR模型的特点
? 1.VAR模型不以严格的经济理论为依据,对变量不施加任何协整 限制,因而上述的VAR模型也称之为非限制性向量自回归模型 (Unrestricted VAR)。 ? 2.VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。如果包含当期变 量,就是所谓结构性向量自回归模型(Structural VAR, SVAR)所分 析的问题。 ? 3. 非限制性VAR模型在预测方面具有优势,特别是样本外的近期 预测。因为在VAR模型中的解释变量不含有当期变量,这种模型 用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值 做任何预测。 ? 4. VAR模型包含较多的待估参数 ,比如一个包含两个变量的 VAR(2)模型,其最大滞后期k=2,则有kn2=2×22=8个参数需要估 计。当样本容量较小时,多数参数的估计量误差较大,加之VAR 模型不以严格的经济理论为依据,所以对于模型的参数估计值, 通常并不分析其经济意义。 ? 5.一般而言,VAR模型是针对平稳数据的模型,在建立VAR模型 之前,可对数据进行平稳性检验,检验方法可按照AR(p)的平稳 性进行检验。

二、VAR模型滞后期的选择
? 建立VAR模型一个重要的问题就是如何正确地确定 滞后期k。 ? 一方面,如果k值过大,会导致自由度减小,直接 影响VAR模型参数估计量的有效性。 ? 另一方面,k值太小,误差项的自相关会很严重, 并导致参数的非一致性估计,因为在VAR模型中适 当增加滞后变量的个数,可以消除误差项中存在的 自相关。 ? 现有的确定滞后阶数的方法主要包括似然比(LR)法、 信息准则法等。

1.确定滞后阶数的赤池信息准则

? T 2 ? 2k ? AIC ? log ? ? ut T ? ? (12.4.6) ? t ?1 ? T ? 其中, u t 表示残差,T表示样本容量,k表示最大滞后期。选
择最佳k值的原则是使AIC的值达到最小。 2.确定滞后阶数的施瓦茨信息准则

? SC ? log ? t ?1 ut2 T ?
T

?

?

k log T T

(12.4.7)

选择最佳k值的原则也是使SC值达到最小。SC准则也可以称之 为贝叶斯信息准则(Bayes Information Criterion,BIC)。

三、VAR模型的估计
? 因VAR模型的每个方程中只包含内生变量及其滞后

项,它们与扰动项是uit(i=1,2,…,n)渐近不相关的,
所以可以用常规的最小二乘法依次估计每一个方程,

得到参数的一致估计量。
? 即使扰动项有同期相关,OLS估计仍然是适用的。 而且,在VAR模型中,各变量的滞后直接出现在模 型之中,由此导致扰动项序列不相关的假设并不严 格要求。

四、VAR模型的脉冲响应函数
? 我们已经论述了,VAR模型不是建立在经济 理论基础之上的,是一种乏理论(Atheoretic) 的模型,无需对变量作任何先验性的约束。 ? 因此,在分析VAR模型时,往往不分析一个 变量的变化对对另一个变量的影响,而是分 析当一个误差(脉冲)项发生变化,也就是 模型受到某种冲击时对系统的动态影响,这 种分析方法称为脉冲响应函数(Impulse response function,IRF)分析法。

脉冲响应函数作用的原理
? 首先考虑下面的双变量VAR(1)模型

? xt ? ? 0.5 0.3? ? xt ?1 ? ? u1t ? ? y ? ? ?0.2 0.1? ? y ? ? ?u ? ? ? t ?1 ? ? 2t ? ? t? ?

(12.4.8)

假定VAR模型(12.4.8)式从第0期开始活动,并设 x-1= y-1=0,设 于第0期给定扰动项u10=1,u20=0,并且其后均为0,即u1t= u2t=0(t=1,2,…),即第0期给x以脉冲,下面我们来分析x和y 在不同时期对来自x的脉冲u10=1的响应。

第0期的脉冲

? x0 ? ?0.5 0.3? ?0? ?1? ?1? ? y ? ? ?0.2 0.1? ?0? ? ?0? ? ?0? ?? ? ? ? ? ? ? 0? ?

(12.4.9)
(12.4.10)

? x1 ? ?0.5 0.3? ?1? ?0? ?0.5? ? y ? ? ?0.2 0.1? ?0? ? ?0? ? ?0.2? ?? ? ? ? ? ? ? 1? ?
? x2 ? ?0.5 0.3? ?0.5? ?0? ? 0.31? ? y ? ? ?0.2 0.1? ?0.2? ? ?0? ? ?0.12 ? ?? ? ? ? ? ? ? 2? ?

(12.4.11)

继续这样计算下去,求得x各期的响应为:

x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ,?

(12.4.12)

那么,(12.4.12)式即为x的脉冲引起的x的响应函数。同样 地,设求得y各期的响应为: y0 , y1 , y2 , y3 , y4 ,? (12.4.13) 则称(12.4.13)式为x的脉冲引起的y的响应函数。

? 如果第0期给定扰动项u20=1,u10=0 ,运用同 样的方法,可以求出y的脉冲引起的x和y的响 应函数。

? 可见,所谓脉冲响应函数,描述的是随机误
差项一个标准差大小的冲击,对内生变量的 当期值和未来值所产生的影响。

五、VAR模型的方差分解
? 方差分解(Variance decomposition)描述的是来自VAR模型中 每个变量的冲击强度(方差)占某个变量总的变化(也用方 差来度量)的比,故称为方差分解。 ? 由于VAR模型的方差分解的数学描述比较复杂,我们只简 单地介绍其基本思想。我们已经知道,AR模型可以转换为 MA模型,而MA模型实际上是白噪音的组合,沿着这个思 路,VAR 模型也可以转换为VMA模型,其中的每一个方程 都是所有随机新息的组合。 ? 因此,VAR 模型中每一个变量的方差就是这些新息的方差 的“有限期”的和,将每一个变量的方差作为分母,将这个 变量的新息的方差(即这个变量的新息的方差的“有限期” 的和)作为分子,由此构成方差分解,称为方差相对贡献度。

六、基于VAR模型的格兰杰因果关系检验
? xt对yt是否存在因果关系,可以通过检验VAR模型中以yt为被 解释变量的方程是否可以把xt的全部滞后变量剔除掉来实现。 比如VAR 模型中以yt为被解释变量的方程表示如下:

yt ? ? ? i yt ? i ? ? ? i xt ? i ? ?1t
i ?1 i ?1

k

k

检验xt对yt 存在格兰杰非因果性的原假设和被择假设分别是:

H 0 : ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ? 0
H1 : 至少有一个? i不为0

上述检验可用F统计量完成:

(SSEr ? SSEu ) k F? ~ F ( k , T ? 2k ) SSEu (T ? 2k )
其中SSEr 表示施加约束(零假设成立)后模型,也就是任何x

都不出现在模型中的残差平方和;
SSEu 表示不施加约束条件下模型的残差平方和; k表示最大滞后期,2k表示无约束模型中被被估参数的个数; T表示样本容量; 用样本计算的F值如果落在临界值以内,接受原假设,即xt对yt

不存在格兰杰因果关系。

作格兰杰因果关系应该注意的问题
? (1)“格兰杰因果关系”的正式名称应该是“格 兰杰非因果关系”,实际运用中称“格兰杰因果关 系”只是为了表述的简便。 ? (2)格兰杰因果关系不同于哲学意义上的因果关 系,说xt是yt的格兰杰因果关系,本质上只表明了xt 中包括了预测yt的有效信息,所以本质上一种预测 关系。 ? (3)检验格兰杰因果关系的变量要求是平稳的, 或者是联合平稳的(具有协整关系),否则对其进 行检验格兰杰因果关系没有意义。

本章重点
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.分布滞后模型的含义及类型 2.短期、中期及长期乘数 3.滞后效应产生的原因 4.分布滞后模型的估计方法 5.自回归分布滞后模型的工具变量估计法的思想 6.自回归分布滞后模型的自相关检验 7.ARMA模型的含义、平稳条件及可逆性 8.ARMA模型的识别 9.向量自回归模型(VAR)的含义 10.VAR模型滞后期的选择 11.VAR模型的脉冲响应函数和方差分解 12.Granger因果关系检验


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