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2016 圆锥曲线方程复习


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圆锥曲线方程复习
●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容,这部分内容的特点是: (1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求熟练掌握并能灵活应用. (2)综合性强.在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容,体现了对各 种能力的综合要求. (3)计算量大.要求学生有较高

的计算水平和较强的计算能力. ●试题类编 一、选择题 1.在同一坐标系中,方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是( )

2.椭圆 ?

? x ? 4 ? 5 cos ? ( ? 为参数)的焦点坐标为( ? y ? 3 sin ?



A.(0,0) , (0,-8) B.(0,0) , (-8,0) C.(0,0) , (0,8) D.(0,0) , (8,0) 3.已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那 么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2 2 4.椭圆 5x +ky =5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k 等于( ) A.-1 5.设θ ∈(0, B.1 C.

5

D. -

5


? 4

) ,则二次曲线 x2cotθ -y2tanθ =1 的离心率的取值范围为(

A.(0,

1 ) 2

B.(

1 2 ) , 2 2

C.(

2 , 2) 2

D.(

2 ,+∞)

6.已知椭圆 ( ) A.x=±

x2 y2 x2 y2 和双曲线 =1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是 ? ? 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2 15 x 2

15 y 2

B.y=±

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C.x=±

3 y 4

D.y=±

3 x 4


7.曲线 ?

? x ? cos? (θ 为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( ? y ? sin ?
B.

A.

1 2

2 2

C.1

D.

2


?x ? t 2 8.点 P(1,0)到曲线 ? (其中参数 t∈R)上的点的最短距离为( ? y ? 2t
A.0 B.1 C.

2
1 2

D.2 )

9.若椭圆经过原点,且焦点为 F1(1,0) ,F2(3,0) ,则其离心率为( A.

3 4

B.

2 3

C.

D.

1 4


10.对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( A.(-∞,0) B.(-∞,2 ]

C.[0,2] D.(0,2) 11.椭圆短轴长是 2,长轴是短轴的 2 倍,则椭圆中心到其准线距离是( A.



3 4

B.

4 5 5

C.

8 3 5

D.

4 3 3

12.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分 别是 p、q,则

1 1 ? 等于( p q
B.



A.2a

1 2a

C.4a

D.

4 a


x2 y2 13.双曲线 2 ? 2 =1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( b a
A.2 B.

3


C.

2

D.

3 2

14.抛物线 y=-x2 的焦点坐标为( A.(0,

1 ) 4

B.(0,-

1 ) 4

C.(

1 ,0) 4

D.(-

1 ,0) 4

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15.x=

1 ? 3 y 2 表示的曲线是(



A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 16.下列以 t 为参数的参数方程所表示的曲线中,与 xy=1 所表示的曲线完全一致的是(



? ?x ? t A. ? 1 ?y ? t ?2 ?
1 2

? x ?| t | ? B. ? 1 ?y ? | t | ?
D. ?

C. ?

? x ? cos t ? y ? sec t

? x ? tan t ? y ? cot t

17.椭圆 是|PF2|的( A.7 倍

x2 y2 =1 的焦点为 F1 和 F2, 点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 那么|PF1| ? 12 3
) B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍

x2 y2 18.椭圆 =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那么 ? 12 3
点 M 的纵坐标是( A.± ) B.±

3 4

3 2

C.±

2 2

D.±

3 4


( x ? 3) 2 ( y ? 2) 2 19.椭圆 C 与椭圆 ,关于直线 x+y=0 对称,椭圆 C 的方程是( ? 9 4
( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 A. ? ?1 4 9
C.

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 B. ? ?1 4 9
D.

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 9 4

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 4 9


1 ? ?x ? 1 ? t (t 是参数,t≠0) 20.曲线的参数方程是 ? ,它的普通方程是( 2 ?y ?1? t ?
A.(x-1)2(y-1)=1 B.y=

x ( x ? 2) (1 ? x) 2
x +1 1? x2


C.y=

1 ?1 (1 ? x) 2

D.y=

21.设θ ∈(

3 π ,π ) ,则关于 x、y 的方程 x2cscθ -y2secθ =1 所表示的曲线是( 4

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A.实轴在 y 轴上的双曲线 B.实轴在 x 轴上的双曲线 C.长轴在 y 轴上的椭圆 D.长轴在 x 轴上的椭圆 22.设 k>1,则关于 x、y 的方程(1-k)x2+y2=k2-1 所表示的曲线是( A.长轴在 y 轴上的椭圆 B.长轴在 x 轴上的椭圆 C.实轴在 y 轴上的双曲线 D.实轴在 x 轴上的双曲线



x2 y2 24.将椭圆 =1 绕其左焦点按逆时针方向旋转 90°,所得椭圆方程是( ? 25 9
A.



( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 ? ?1 25 9 ( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 ? ?1 9 25

B.

( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 ? ?1 25 9 ( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 ? ?1 9 25

C.

D.

25.若函数 f(x) 、g(x)的定义域和值域都为 R,则 f(x)>g(x) (x∈R)成立的充要条件是 ( ) A.有一个 x∈R,使 f(x)>g(x) B.有无穷多个 x∈R,使得 f(x)>g(x) C.对 R 中任意的 x,都有 f(x)>g(x)+1 D.R 中不存在 x,使得 f(x)≤g(x) 26.(1996 全国理,7)椭圆 ?

? x ? 3 ? 3 cos ? 的两个焦点坐标是( ? y ? ?1 ? 5 sin ?



A.(-3,5) , (-3,-3) B.(3,3) , (3,-5) C.(1,1) , (-7,1) D.(7,-1) , (-1,-1) 2 2 27.椭圆 25x -150x+9y +18y+9=0 的两个焦点坐标是( ) A.(-3,5) , (-3,3) B.(3,3) , (3,-5) C.(1,1) , (-7,1) D.(7,-1) , (-1,-1) 30.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是( A.y=±3x ) B.y=±

1 x 3

C.y=±

3x

D.y=±

3 x 3


31.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 32.设 F1 和 F2 为双曲线 的面积是( A.1 ) B.

x2 2 点 P 在双曲线上, 且满足∠F1PF2=90°, 则△F1PF2 ? y =1 的两个焦点, 4 5 2

C.2

D.

5

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33.设 a、b 是平面α 外任意两条线段,则“a、b 的长相等”是 a、b 在平面α 内的射影长相等的( ) A.非充分也非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.充分非必要条件

x2 y2 35.如图 8—1,F1、F2 分别为椭圆 2 ? 2 =1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上, a b
△POF2 是面积为

3 的正三角形,则 b2 的值是_____.
图 8—1

36.直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中点坐标是_____. 37.若椭圆的两个焦点坐标为 F1(-1,0) ,F2(5,0) ,长轴的长为 10,则椭 圆的方程为 . 38.若双曲线

x2 y2 3 =1 的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的焦点坐标是 ? 4 m 2



39.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) . 2 能使这抛物线方程为 y =10x 的条件是 . (要求填写合适条件的序号) 2 40.抛物线(y-1) =4(x-1)的焦点坐标是 . 2 2 41.椭圆 5x -ky =5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k=

41.设 F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 8y2 =1(a>b>0)的左、右两个焦点. ? a2 b2
3 )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2

(1)若椭圆 C 上的点 A(1,

(2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点, 当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值. 试对双曲线

x2 y2 ? ? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明. a2 b2

图 8—2

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42.如图 8—2,已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直 a2 b2

线交双曲线于点 P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.

43.已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0) 、F2(4,0) ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点 为 B,且|F1B|+|F2B|=10.椭圆上不同的两点 A(x1,y1) 、C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C| 成等差数列. (Ⅰ)求该椭圆的方程; (Ⅱ)求弦 AC 中点的横坐标; (Ⅲ)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围.

44.设点 P 到点 M(-1,0) 、N(1,0)距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴距离之比为 2.求 m 的取值 范围.

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45.已知 O(0,0) ,B(1,0) ,C(b,c)是△OBC 的三个顶点.如图 8—3. (Ⅰ)写出△OBC 的重心 G,外心 F,垂心 H 的坐标,并证明 G、F、H 三点 共线; (Ⅱ)当直线 FH 与 OB 平行时,求顶点 C 的轨迹. 图 8—3


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