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2012江苏省数学竞赛提优教案:第74讲


第 74 讲 法研究几何问题的一门数学学科. 解析几何问题选讲 解析几何是在坐标系的基础上,用坐标表示点,用方程表示曲线(包括直线),用代数方 在中学阶段, 解析几何研究的主要对象是直线和圆锥曲线(圆、 椭圆、 双曲线、 抛物线), 主要研究的问题是: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程研究平面曲线的性质. 在学习的过程中, 同学们首先要熟练掌握直

线与圆锥曲线的方程的各种表示方法及其适 用的范围,并能灵活地选择适当的表示方法以便能快捷地解题. A 类例题 例 1.S 为直线 l1:7x+5y+8=0 和 l2:3x+4y-13=0 的交点,点 P(3,7),Q(11, 13)所成的直线 PQ 上有两点 A、B,其中 P 在 A、Q 之间,B 在 P、Q 之间,并且 = 求 S 的坐标,试求出直线 SA 与 SB 的方程.(IMO—30 预选题) 解 由题意知, PA PB 2 = .不 AQ BQ 3 SA 的方程为:(7x+5y+8)+λ (3x+4y-13)=0, SB 的方程为:(7x+5y+8)+μ (3x+4y-13)=0, 由 ① ② PA PB 2 31 47 = = 及分点公式,得 A、B 的坐标分别为 A(-13,-5),B( , ). AQ BQ 3 5 5 29 11 它们分别适合①、②,代入后求得 λ =- ,μ =- . 36 108 因此,所求的直线 SA、SB 的方程分别为:SA 的方程 165x-296y+665=0;SB 的方程 723x-584y+1007=0. 例 2.从椭圆 2+ 2=1 的右焦点向它的动切线引垂线,求垂足的轨迹. 解法一 设切点为 Q(acosθ ,bsinθ ), 则椭圆的切线 QP 的方程为 即 x2 y2 a b acosθ bsinθ x+ y=1, a2 b2 ① (bcosθ )x+(asinθ )y=ab 过右焦点 F2(c,0)垂直于切线 QP 的直线 F2P 的方程为 (asinθ )x-(bcosθ )y=acsinθ 则垂足 P 满足①、②.学科王 ① +② 得: 2 2 ② (x +y )(a sin θ +b cos θ )=a (b +c sin θ ) =a [b +(a -b )sin θ ] =a (b cos θ +a sin θ ), 显然 b cos θ +a sin θ ≠0,所以 x +y =a . 即垂足 P 的轨迹方程为圆 x +y =a . 解法二 如图,延长 F1Q 与 F2P 交于 R,因为 QP 为切 线,则有∠F2QP=∠RQP,又 PF2⊥PQ, 所以|QR|=|QF2|,|PR|=|PF2|. 因为|F1Q|+|F2Q|=2a, 则|F1Q|+|RQ|=2a,即|F1R|=2a, 1 2 2 2 则|OP|= |F1R|=a.即垂足 P 的轨迹方程为圆 x +y =a . 2 说明 在解题时,若能充分运用图形的几何性质,往往可获得快捷的解法. 例 3.设已知三条直线 l1:mx-y+m=0;l2:x+my-m(m+1)=0;l3:(m+1)x-y+ (m+1)=0,它们围成 Δ ABC. (1)求证:不论 m 为何值,Δ ABC 有一个顶点为定点; (2)当 m 为何值时,Δ ABC 的面积有最大值、最小值?(第五届美国普特南数学竞赛题) (1)证明 直线 l1 的方程可写成(x+1)m-y=0,故直线 l1 恒过点 C(-1,0). 同样,直线 l3 的方程可写成(x+

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