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数学等差数列与等比数列基本问题(第五讲)解析


2015 届暑假网络授课(高三数学)

第五讲

等差数列与等比数列基本问题

昆山震川高级中学 王阳 【复习要求】 熟练掌握等差、等比数列的通项与求和的基本公式;熟练进行基本量的运算熟练掌握等差、 等比数列的基本性质. 【复习重难点】等差、等比数列基本性质的灵活运用. 【基础训练】 1. 在等比数列 ?an ? 中,

若 a3a6 ? 9, a2 a4 a5 ? 27 , 则 a2 的值为 【答案】3 2. 已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项和 S10 ? 【答案】95 3. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S5 ? 10 , S10 ? 30 ,则 S15 ? 【答案】60 4. 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 = 【答案】60 5. 在等差数列 ?an ? 中, 【答案】19 6. 数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos 【答案】 1006 【范例精析】 例 1.已知公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 4 项和为 10,且 a2 , a3 , a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .
a

.

.

.

.

a11 ? ?1, 若它的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn 取得最小正数时, n ? a10

.

n? ,其前 n 项和为 Sn ,则 S2013 ? 2



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例 2. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N 满足 2Sn ? an (an ? 1) ,且 an ? 0 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? ?

?

? ?an?1,

n为奇数,

a ? ?3 ? 2 n?1 ? 1 n为偶数

,求数列 {cn } 的前 2 n 项和 T2 n .

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例 3 . 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , a1 ?

1 1 119 且 S n ? S n ?1 ? an ?1 ? , 数 列 ?bn ? 满 足 b1 ? ? 且 4 2 4

3bn ? bn?1 ? n (n ? 2且n ? N ? ) .
(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列; (3)求 ?bn ? 前 n 项和.

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1 ? 1 ? ? ?1 ? ( ) n?1 ? n ?1 2 1 n ? n ? 1? 1 179 ?1? 3 ? 3 ? 119 n . ? n ? 30 ? ? ? ? 15 ? ? ? ? ?bn ? 前 n 项和 Tn ? ? 1 2 2 4 4 4 3 4 ? ? 1? 3
【巩固反馈】 1. 已知数列{ an }是公差为 3 的等差数列,且 a1 , a2 , a4 成等比数列,则 a10 等于 【答案】30 2.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 【答案】1 3. 已知数列 ?an ? , an ? ?2n2 ? ?n ,若该数列是递减数列,则实数 ? 的取值范围是 【答案】 ? ??,6? .

a6 9 S ? ,则 11 = a5 11 S9





4. 设{ an }是等比数 ? an ? 0? 数列{ bn }由以下关系给定: bn ? 1 lg a1 ? lg a2 ? …+lg an?1 ? lg kan )? n(
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请问是否存在正数 k,使得{ bn }成等差数列?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 【解】 假设存在正数 k 使得{ bn }成等差数列,并设数列{ an }的公比为 q,则 an ? a1q n?1 .
n 所以 bn ? 1 lg (ka1a2 … an ) ? 1 lg [ka1 ?q
n ( n ?1) 2

n

n

]

=lg a1 ? (n ? 1) lg q ? lg n k . 所以 bn?1 ? bn ? lg q ? lg
n ?1

k ? lg n k .

{ bn }为等差数列,仅当 lg n?1 k ? lg n k ? 0? 即 k=1. 故当 k=1 时,{ bn }成等差数列. 5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an ? Sn ? An2 ? Bn ? 1(A≠0) . 3 9 (1)若 a1 ? ,a2 ? ,求证数列{an ? n }是等比数列,并求数列{an }的通项公式; 2 4 B ?1 (2)已知数列{an}是等差数列,求 的值. A 解: (1)分别令 n = 1,2,代入条件,得 ?2a1 ? A ? B ? 1, ? ?2a2 ? a1 ? 4 A ? 2 B ? 1. 1 ? A? , ? 3 9 ? 2 又 a1 ? ,a2 ? ,解得 ? 2 4 ?B ? 3 . ? ? 2 1 3 ∵ an ? Sn ? n2 ? n ? 1,① 2 2 1 3 ∴ an?1 ? Sn?1 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 1.② 2 2 ②? ① ,得 2an?1 ? an ? n ? 2. 1 1 则 an?1 ? (n ?1) ? (an ? n).∵ a1 ? 1 ? ≠0, 2 2 1 1 ∴ 数列{ an ? n }是首项为 ,公比 的等比数列. 2 2 1 1 an ? n ? n ,则 an ? n ? n . 2 2 (2)∵ 数列{an}是等差数列,∴ 可设 an ? dn ? c, n(d ? c ? dn ? c) d 2 d 则 Sn ? ? n ? (c ? )n . 2 2 2 d 2 3d ∴an ? Sn ? n ? (c ? )n ? c . 2 2 d 3d 则 A? ,B?c? ,c ? 1. 2 2 B ?1 ∴ ? 3. A
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6.设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn . (1)若首项 a1 ? 3 ? 公差 d=1,求满足 Sk 2 ? (Sk )2 的正整数 k;

2

(2)求所有的无穷等差数列{ an },使得对于一切正整数 k 都有 Sk 2 ? (Sk )2 成立.

n(n ?1) n(n ?1) 1 2 【解】 (1) 当 a1 ? 3 ? d ? 1 时 ? Sn ? na1 ? d ? 3n? ? n ?n.
2

2

2

2

2

由 Sk 2 ? (Sk )2 ? 得 1 k ? k ? ( 1 k ? k ) ?
4 2 2 2

2

2

即 k ( 1 k ? 1) ? 0 . 又 k ? 0?
3

4

∴k=4.
2

? S1 ? ( S1 ) 2 ? (2) 设数列{ an }的公差为 d,则在 Sk 2 ? (Sk ) 中分别取 k=1,2,得 ? 2 ? S4 ? (S2 ) ?

? a1 ? a12 ? ? 即 ? 4a1 ? 4 ? 3 d ? (2a1 ? 2 ?1 d ) 2 ? ? ? 2 2
由①,得 a1 ? 0 或 a1 ? 1 . ⅰ)当 a1 ? 0 时,代入②,得 d=0 或 d=6. 若 a1 ? 0? d ? 0? 则 an ? 0? Sn ? 0? 从而 Sk 2

? ( Sk ) 2

成立

若 a1 ? 0? d ? 6? 则 an ? 6(n ?1)? 由 S3 ? 18? (S3 )2 ? 324? S9 ? 216? 知 S9 ? (S3 )2 ? 故不符合题意. ⅱ)当 a1 ? 1 时,代入②,得 d=0 或 d=2. 若 a1 ? 1? d ? 0? 则 an ? 1? Sn ? n? 从而 Sk 2 ? ( Sk )2 成立
2

若 a1 ? 1? d ? 2? 则 an ? 2n ?1? Sn ? 1 ? 3 ? …+ (2n ?1) ? n2 ? 从而 Sk 2 ? (Sk ) 成立. 综上,共有 3 个满足条件的无穷数列 an ? 0 或 an ? 1 或 an ? 2n ? 1.

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