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第二章 2.5习题课 数列求和


习题课
一、基础过关

数列求和

1 1 1 1 1.数列 , , ,…, ,…的前 n 项和为 2· 5 5· 8 8· 11 ?3n-1?· ?3n+2? n A. 3n+2 n B. 6n+4 3n C. 6n+4 n +1 D. n +2

(

)

a1+a

2+a3+…+an 2.已知数列{an}的通项 an=2n+1,由 bn= 所确定的数列{bn}的前 n 项 n 之和是 A.n(n+2) 1 B. n(n+4) 2 1 C. n(n+5) 2


( 1 D. n(n+7) 2

)

3.已知数列{an}前 n 项和为 Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n 1(4n-3),则 S15+S22 -S31 的值是 A.13 B.-76 C.46 D.76 ( )

4.数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,那 么 an 等于 A.2 -1
n

( B.2
n-1

)

-1

C.2 +1

n

D.4 -1

n

5.一个数列{an},其中 a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,那么这个数列的第 5 项是________. 2an 6.在数列{an}中,an+1= 对所有正整数 n 都成立,且 a1=2,则 an=______. 2+an 7.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 8.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式 an 和前 n 项和 Sn. 二、能力提升 9.如果一个数列{an}满足 an+an+1=H (H 为常数,n∈N*),则称数列{an}为等和数列,H 为 公和,Sn 是其前 n 项的和,已知等和数列{an}中,a1=1,H=-3,则 S2 011 等于( A.-3 016 B.-3 015 C.-3 014 D.-3 013 ( ) )

1? 10.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln? ?1+n?,则 an 等于 A.2+ln n C.2+nln n B.2+(n-1)ln n D.1+n+ln n

1 11.数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,an+1= Sn (n≥1),则 an=____________. 3 12.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22n 1.


(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 三、探究与拓展 13.等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; 3 6 9

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

答案
2 1.B 2.C 3.B 4.A 5.-6 6. n 7.解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d.
? ? ?a1+2d=7, ?a1=3, 因为 a3=7,a5+a7=26,所以? 解得? ?2a1+10d=26, ?d=2. ? ?

所以 an=3+2(n-1)=2n+1, n?n-1? Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2 所以,an=2n+1,Sn=n2+2n. (2)由(1)知 an=2n+1, 所以 bn= 1 ? 1 1 1 1 1 ?1 - = = · = · 2 n n + 1?, 4 4 ? a2 - 1 ? 2 n + 1 ? - 1 n ? n + 1 ? n

1 1 1 1 1 1 所以 Tn= · (1- + - +…+ - ) 4 2 2 3 n n+1 1 1 n = · (1- )= , 4 n+1 4?n+1? 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= n . 4?n+1?

8.(1)证明 数列{an}是等比数列,公比为 2,首项为 a1+1=2. (2)解 由(1)知{an+1}为等比数列,


∴an+1=(a1+1)· 2n 1=2n, ∴an=2n-1. ∴Sn=a1+a2+…+an =(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n 2?1-2n? + = -n=2n 1-n-2. 1-2 1, n=1 ? ? 9.C 10.A 11.?1 ?4?n-2 ?3· ?3? , n≥2 ? 12.解
-1 -

(1)由已知,当 n≥1 时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n
+1)-1

+22n 3+…+2)+2=22(n

.而 a1=2,符合上式,


所以数列{an}的通项公式为 an=22n 1. (2)由 bn=nan=n· 22n
-1




Sn=1· 2+2· 23+3· 25+…+n· 22n 1, 从而 22· Sn=1· 23+2· 25+3· 27+…+n· 22n 1.


① ②

①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n 1-n· 22n 1,
- +

1 + 即 Sn= [(3n-1)22n 1+2]. 9 13.解 (1)an=2· 3n 1.


(2)因为 bn=an+(-1)nln an =2· 3n 1+(-1)nln(2· 3n 1)
- -

=2· 3n 1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]


=2· 3n 1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,


所以 Sn=2(1+3+…+3n 1)+[-1+1-1+…+(-1)n](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+


(-1)nn]ln 3 所以当 n 为偶数时, 1-3n n n Sn=2× + ln 3=3n+ ln 3-1; 2 2 1-3 当 n 为奇数时, 1-3n n-1 n-1 Sn=2× -(ln 2-ln 3)+( -n)ln 3=3n- ln 3-ln 2-1. 2 2 1-3 综上所述,Sn=

?3 +2ln 3-1,n为偶数, ? n-1 ?3 - 2 ln 3-ln 2-1,n为奇数.
n n

n


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