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第四讲 诱导公式


三角函数的诱导公式

______________ , 所 以 sin ?-

?

π? = ______ , 3?

π cos?- ?=____,tan ? 3? 知识点睛 1.设 α 为任意角,则 π +α ,-α ,π -α 的终边与 α 的终边之间的对称关系. 相关角 π +α 与 α -

α 与 α π -α 与 α 2.诱导公式一~四 (1)公式一: sin(α +2kπ )= cos(α +2kπ )= tan(α +2kπ )= (2)公式二: sin(π +α )= cos(π +α )= tan(π +α )= (3)公式三: sin(-α )= cos(-α )= tan(-α )= (4)公式四: sin(π -α )= cos(π -α )= tan(π -α )= 探究点一 终边之间的对称关系 关于 关于 关于 对称 对称 对称 ____,tan 探究点二 (4) 角

?-π ?=______; ? 3?

2π 的终边与单位圆的交点坐标为 3 2π 2π =____, cos = 3 3

_______________, 所以 sin 2π =______. 3 诱导公式二

(1)公式内容: sin(π +α )=-sin α , cos(π +α )=-cos α , tan(π +α )= tan α . (2)公式推导: 如图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P1(x,y), 则角 π +α 的终边与单位圆的交点为 P2(-x,y), 下面是根据三角函数定义推导公式的过程,请你补 充完整:由三角函数的定义得 sin α = ,cos α = ,tan α = , 又 sin(π +α )= ,cos(π +α )= , tan(π +α )= = , ∴sin(π +α )= ,cos(π +α )= , tan(π +α )= . (3)公式作用:第三象限角的三角函数转化为第一 象限角的三角函数,例如: 7 sin π = 6 tan 240°= 探究点三 5 ,cos π = 4 . ,

, , ,其中 k∈Z. , , . , , . , , .

诱导公式的作用和意义

在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同 名三角函数相等,即公式一,并且利用公式一可以 把绝对值较大的角的三角函数转化为 0°~360° 内的角的三角函数值,对于 90°~360°内的三角 函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来 求解?请你完成下面的问题,并注意观察三角函数 的符号规律. π (1)角 的终边与单位圆的交点坐标为_______,所 3 以 sin (2) 角 π π π =___,cos =___,tan =___; 3 3 3

诱导公式三

(1)公式内容: sin(-α )=-sin α , cos(-α )=cos α , tan(-α )=-tan α . (2)公式推导: 如图,设角 α 的终边与单位圆的交点为 P1(x,y), 由于角-α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称, 因此角-α 与单位圆的交点 P2 , 则 sin α =y,cos α =x,tan α = ; sin( - α ) = - y = - sin α ; cos( - α ) = = ,tan(-α )= = . (3)公式作用:将负角的三角函数转化为正角的三 角函数. π 例如,sin(-390°)= ,cos?- ?= , ? 3? 5 tan?- π ?= ? 4 ? .

4π 的终边与单位圆的交点坐标为 3 4π _______________ ,所以 sin = _______ , cos 3 4π 4π =_____,tan =____; 3 3 π (3) 角 - 的终边与单位圆的交点坐标为 3

y x

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探究点四

诱导公式四 例2

(1)公式内容: sinπ (-α )=sin α , cosπ (-α )=-cos α , tanπ (-α )=-tan α . (2)公式推导: 请写出诱导公式 四的推导过程. 方法一: 如图, 设角 α 的终 边与单位圆相交于 P1(x,y), 由于角 π -α 与 α 的终边关 于 y 轴对称, 因此角 π -α 的 终边与单位圆相交于 P2(-x,y), 则 sin α =y,cos α =x,tan α = ; sin(π -α )= cos(π -α )= = = , , .

sin α +3π cosα +π 化简: . 3 tanα +π cos -α -π

2

小结 利用诱导公式进行化简,主要是进行角的转化,

y x

最终达到角的统一,能求值的要求出值. 跟踪训练 2 化简: tan2π -θ sin-2π -θ cos6π -θ . cosθ -π sin5π +θ

y tan(π -α )= =- = -x x

y

方法二:由诱导公式二和诱导公式三可得: sin(π -α )=sin[π +(-α )] =-sin(-α )=sin α , cos(π -α )= = = . tan(π -α )= = = . 即 sin(π - α ) = , cos(π - α ) = ,tan(π -α )= . (3)公式作用:将第二象限角的三角函数转化为第 一象限角的三角函数. 例如,sin 480°= tan 135°= ,cos 150°= ,

例3

已知 cos?

?6

π

-α ?=

?

5 3 , 求 cos? π +α ?- 3 ?6 ?

2 sin ?α -

?

π? 的值. 6?

例题精讲 例1 求下列三角函数的值. 19 47 (1)sin?- π ?;(2)cos 960°;(3)tan π. 6 ? 4 ?

小结 对于给值求值问题,要注意观察题目条件中的 角与所求问题中的角之间的联系,然后选择恰当的 诱导公式进行转化,一般采用代入法求值.

小结 利用诱导公式求三角函数值时, 先将不是[0,2π) 内的角的三角函数,转化为[0,2π)内的角的三角函 数,或先将负角转化为正角后再用诱导公式转化到 跟踪训练 3 3 已知 cos(π +α )=- ,π <α <2π , 5

求 sin(α -3π )+cos(α -π )的值.

?0,π?范围内的角的三角函数值. ? 2?
跟踪训练 1 求下列三角函数值. 43 29 (1)sin?- π ?; (3)tan(-855°). ? 6 ? (2)cos 6 π ;

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课堂小结 1.明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为 0~2π 之间的角求值 将 0~2π 内的角转化为 0~π 之间的角 公式二 求值 公式三 将负角转化为正角求值 π 将角转化为 0~ 之间的角求值 公式四 2 2.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号 看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一 致,符号则是将 α 看成锐角时原角所在象限的三 角函数值的符号.α 看成锐角,只是公式记忆的方 便,实际上 α 可以是任意角. §1.3 三角函数的诱导公式(一)

π 1 6. 若 sin(π -α )=log8 ,且 α ∈?- ,0?, 4 ? 2 ? 则 cos(π +α )的值为 ( ) A. 5 3 5 3 B.- 5 3

C.±

D.以上都不对 π +θ

7 .已知 cos ? ________.

?6

?= ?

5π 3 -θ ,则 cos ? 3 ?6

?= ?

1+2sin 290°cos 430° 的化简结果是 sin 250°+cos 790° ________. 8. 代数式

能力提高 9. 设 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β )+2, 其中 a、b、α 、β 为非零常数.若 f(2 013) =1,则 f(2 014)=________. 2 4 10. 化简: sin(nπ - π )?cos(nπ + π ), n∈Z. 3 3

基础过关 1. sin 585°的值为 A.- C.- 2 2 3 2 B. D. 2 2 ( )

2 11.若 cos(α -π )=- , 3 sinα -2π +sin-α -3π cosα -3π 求 的值. cosπ -α -cos-π -α cosα -4π

3 2 sinnπ +α 2. 若 n 为整数,则代数式 的化简结果 cosnπ +α 是 ( ) A.±tan α B.-tan α 1 C.tan α D. tan α 2 1 3 3. 若 cos(π +α )=- , π <α <2π , 则 sin(2π 2 2 +α )等于 ( ) 1 A. 2 C. 3 2 B.± D.- 3 2

12.已知 sin(α +β )=1, 求证:tan(2α +β )+tan β =0.

三、探究与拓展 13.在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -

3 2 sinα -3π +cosπ -α 4. tan(5π +α )=m,则 sin-α -cosπ +α 的值为 ( ) m +1 m-1 A. B. m -1 m+1 C.-1 D.1 5. 记 cos(-80°)=k,那么 tan 100°等 ( ) A. C. 1-k
2

B), 3cos A=- 2cos(π -B),求△ABC 的
三个内角.

k k
1-k
2

B.- D.-

1-k

2

k k
1-k
2

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三角函数诱导公式(二)

π 所以, 对任意角 α 都有: sin? -α ?= ?2 ? cos?



?2

π

-α ?=

?

.

知识点睛 1.诱导公式五~六 (1)公式五: π sin? -α ?= ; ?2 ? π cos? -α ?= . ?2 ? 以-α 替代公式五中的 α ,可得公式六. (2)公式六: π sin? +α ?= ?2 ? π cos? +α ?= ?2 ? ; .

探究点二 诱导公式六 (1)诱导公式六: π π sin? +α ?= ,cos? +α ?= ?2 ? ?2 ? (2)诱导公式六的推导:

.

探究点三

诱导公式的理解、记忆与灵活应用

2.诱导公式五~六的记忆 π π -α , +α 的三角函数值,等于 α 的异名三 2 2 角函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数 值的符号,记忆口诀为“函数名改变,符号看象 限”. 探究点一 诱导公式五

公式一~四归纳:α+2kπ(k∈Z),-α,π±α 的三角 函数值,等于角 α 的同名三角函数值,前面加上一 个把 α 看成锐角时原函数值的符号,简记为:“函 数名不变,符号看象限”. π 公式五~六归纳: ±α 的正弦(余弦)函数值,分别 2 等于 α 的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把 α 看 成锐角时原函数值的符号, 简记为: “函数名改变, 符号看象限”或“正变余、 余变正、 符号象限定”. π 六组诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)” 2 的诱导公式.当 k 为偶数时,函数名不改变;当 k 为奇数时,函数名改变;然后前面加一个把 α 视为 锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不 变,符号看象限”. 请你根据上述规律,完成下列等式: 3 3 sin? π -α ?= ,cos? π -α ?= , ?2 ? ?2 ? 3 sin? π +α ?= ?2 ? 吗? 3 ,cos? π +α ?= ?2 ? .

(1)诱导公式五的提出: 在直角三角形中,根据正弦、余弦的定义、 完成下列填空: sin α = ,cos α = , π π sin? -α ?= ,cos? -α ?= . ?2 ? ?2 ? 根据上述结论,你有什么猜想? π π sin? -α ?= ;cos? -α ?= ?2 ? ?2 ? 诱导公式五的推导 问题 1

.

π 若 α 为任意角,那么 -α 的终边与角 2

α 的终边有怎样的对称关系?

你能根 据相 关的 诱导 公式 给 出上述 等式 的证明

问题 2

π 设角 α 与单位圆交于点 P(x,y),则 - 2

α 与单位圆交于点 P′,写出点 P′的坐标. 问题 3 根据任意角三角函数的定义,完成下列填 空: sin α = ,cos α = ; π π sin? -α ?= ,cos? -α ?= . ?2 ? ?2 ?

例题精讲

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例 1

已知 cos ?α +

?

π? 3 π 3π = , ≤α ≤ ,求 6? 5 2 2

sin?α +

?

2π ? 的值. 3 ?

π 11 sin2π -α cosπ +α cos? +α ?cos? π -α ? ?2 ? ?2 ? 9 cosπ -α sin3π -α sin-π -α sin? π +α ? ?2 ?

例3

5 7 已知 sin(5π -θ )+sin? π -θ ?= , ?2 ? 2 求
4

sin ? 小结 利用诱导公式五和诱导公式六求值时,要注意 沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系, π π π π 注意 +α 与 -α, -α 与 +α 等互余角关系的识 6 3 4 4 别和应用. π 已 知 sin ? +α ?6 小结

π 3 -θ ?+cos4? π +θ ?的值. 2 ? ? ?2 ?

跟踪训练 1 cos?α -

?= ?

3 ,求 3

解答本题时,应先利用诱导公式将已知式子和 所求式分别化简,再利用 sin θ±cos θ 与 sin θcos θ 之间的关系求值. 3 3 已知 sin(θ - π )+cos? π +θ ?= 2 ?2 ?

?

π? 的值. 3?

跟踪训练 3 例2 求证:

π 3π 3 3 3 -θ ?. ,求 sin ? +θ ?-cos ? 5 ?2 ? ?2 ? 课题小结 1.学习了本节知识后,连同前面的诱导公式可以 π 统一概括为“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式. 当k 2 为偶数时,得 α 的同名函数值;当 k 为奇数时, 得 α 的异名函数值,然后前面加一个把 α 看成 锐角时原函数值的符号. π 2.诱导公式统一成“k· ±α(k∈Z)”后,记忆口 2

3 π 2sin?θ - π ?cos?θ + ?-1 2? ? 2 ? ? tan9π +θ +1 = . tanπ +θ -1 3 ? 2? 1-2cos θ + π 2 ? ?

小结 三角函数恒等式的证明过程多数是化简的过 程,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边 都化简,同时注意诱导公式的灵活应用,避免出现 符号错误. 跟踪训练 2 化简

诀为“奇变偶不变,符号看象限”. §1.3 三角函数的诱导公式(二)

一、基础过关 1. 已知 f(sin x)=cos 3x,则 f(cos 10°)的值 为 ( ) 1 1 A.- B. 2 2 C.- 3 2 D. 3 2

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1 2. 若 sin(3π +α )=- ,则 cos 2 于 1 1 A.- B. 2 2 3 C. 2

?7π -α ?等 ?2 ?
( )

10.化简:sin? (k∈Z).

4k-1 4k+1 π -α ?+cos? π -α 4 ? ? ? 4

? ?

3 D.- 2 π π 1 3. 已知 sin?α - ?= ,则 cos? +α ?的值等 4 3 ? ? ?4 ? 于 ( ) 1 1 A.- B. 3 3 C.- 2 2 3 2 2 D. 3

π 5π 60 -α ?= 11.已知 sin?- -α ??cos?- ? 2 ? ? 2 ? 169, π π 且 <α < ,求 sin α 与 cos α 的值. 4 2

4 . 若 sin(π + α ) + cos ?

?2

π

+α

?=-m,则 ?
( )

3 cos? π -α ?+2sin(2π -α )的值 ?2 ? 2m 2m A.- B. 3 3 3m 3m C.- D. 2 2

π π 12.已知 cos? +α ?=2sin?α - ?, 2? ?2 ? ? 3 sin π +α +cosα +π 求 的值. 5π 7π -α ?+3sin? -α ? 5cos? ?2 ? ?2 ?

π 3 π 5. 已知 cos? +φ ?= , 则 tan φ ?2 ? 2 且|φ |< 2 , 等于 ( ) 3 A.- 3 C.- 3 3 B. 3

三、探究与拓展 13. 是否存在角 α , β , α ∈?-

?

π π? , , β ∈(0, 2 2?

D. 3 1 6. 已知 cos(75°+α )= ,则 sin(α -15°)+ 3 cos(105°-α )的值是 ( ) 1 2 A. B. 3 3 1 2 C.- D.- 3 3 2 2 2 2 7 .sin 1°+sin 2°+?+ sin 88°+sin 89°= ________. 8.求证: tan2π -α sin-2π -α cos6π -α =-tan α . 3π 3π sin?α + ?cos?α + ? 2 ? 2 ? ? ?

π ? -β ? ?sin3π -α = 2cos? 2 ? ? π ),使等式? ? ? 3cos-α =- 2cosπ +β 同时成立.若存在,求出 α ,β 的值;若不 存在,说明理由.

二、能力提升 9 已知 tan(3π +α )=2,则
π π sin?α-3π?+cos?π-α?+sin 2-α -2cos 2+α -sin?-α?+cos?π+α? =________.

( )

( )

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答案(一) 例 1 解 (1)sin

tan θ sin θ cos θ = =tan θ . cos θ sin θ

(

19 - π 4

)

=-sin

19 π 4

例 3 解 cos =cos?π -

(

5 π +α 6

)
?

-sin

2

(

π α - 6

)

3 3 =-sin(4π + π ) =-sin π 4 4

?

(

π -α 6

)? ?

-sin

2

(

π -α 6

) )? ?

=-sin

(

π π- 4

)

=-sin

π 2 =- . 4 2

=-cos

(

π -α 6

)

-?1-cos

2

(

π -α 6

(2)cos 960° = cos(240° + 2?360°) = cos 240° = =cos 1 cos(180°+60°)=-cos 60°=- . 2 47 11 11 (3)tan π =tan(6π + π )=tan π 6 6 6 5 5 π =tan(π + π )=tan π =tan(π - ) 6 6 6 π 3 =- . 6 3 (1)sin

2

(
3 3

π -α 6
2

) (
-cos

π -α 6

)

-1



( )



3 2+ 3 -1=- . 3 3

3 跟踪训练 3 解 ∵cos(π +α )=-cos α =- ,∴cos α 5 3 3π 4 = ,∵π <α <2π ,∴ <α <2π ,∴sin α =- . 5 2 5 ∴sin(α - 3π ) + cos(α - π ) =- sin(3π - α ) + cos(π

=-tan

跟踪训练 1 解

(

43 - π 6

)

= - sin

43 π =- 6 π = 6

-α ) =-sin(π -α )+(-cos α ) =-sin α -cos α =-(sin α +cos α ) =-

7 7 sin(6π + π )=-sin π =-sin 6 6 1 ; 2

(

π π+ 6

)

=sin

(

4 3 - + 5 5

)

1 = . 5 3 8.-1 9.3 3

1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.-

(2)cos

29 5 5 π = cos(4π + π ) =cos π = cos 6 6 6 π 3 =- ; 6 2

(

π π- 6

)

10.解 当 n 为偶数时,n=2k,k∈Z. 2 4 原式=sin(2kπ - π )?cos(2kπ + π ) 3 3 =sin

=-cos

(3)tan(-855°)=-tan 855° =-tan(2?360°+135°)=-tan 135° =-tan(180°-45°)=tan 45°=1. 例 2 解原式=
2

2 =(-sin π )?cos 3

( ) ( ) ( )
2 - π 3 ?cos 4 π 3 π +π 3

2 π π π =sin π ?cos =sin ?cos 3 3 3 3
2

sin α ?-cos α -sin α ?cos α = = 3 3 tan α ?cos α +π -tan α ?cos α
2

2



3 1 3 ? = . 2 2 4

sin α ?cos α sin α cos α sin α = = =tan α . 2 sin α sin α cos α cos α 3 ?cos α cos α 跟踪训练 2 tan-θ ?sin-θ ?cos-θ 解 原式= cosπ -θ ?sinπ +θ -tan θ ?-sin θ ?cos θ = -cos θ ?-sin θ tan θ sin θ cos θ = =tan θ . cos θ sin θ = -tan θ ?-sin θ ?cos θ -cos θ ?-sin θ sin

当 n 为奇数时,n=2k+1,k∈Z. 2 4 原式= sin(2kπ + π - π )?cos(2kπ + π + π ) = 3 3

(

2 π- π 3

=sin

π ?cos 3

) ( ) ( )
?cos 4 π+ π 3 π 2π + 3

=sin

π π 3 1 3 ?cos = ? = . 3 3 2 2 4

2 4 3 ∴sin(nπ - π )?cos(nπ + π )= ,n∈Z. 3 3 4 11.解 原式

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= = =

-sin2π -α -sin3π +α cos3π -α -cos α --cos α cos α sin α -sin α cos α 2 -cos α +cos α sin α 1-cos α =-tan α . -cos α 1-cos α ∵cos(α -π )=cos(π -α )=-cos α 2 2 =- ,∴cos α = . 3 3 ∴α 为第一象限角或第四象限角. 2 当 α 为第一象限角时,cos α = , 3 sin α = 1-cos α =
2

问题 2 答 P′(y,x). π π (2)诱导公式六的推导: 思路一 根据 +α = -(-α )这 2 2 一等式,利用诱导公式三和诱导公式五推导诱导公式六. 答 α ; cos α . π 思路二 根据 +α =π - 2 sin( π + α ) = sin 2

[

π --α 2

]

= cos( - α ) = cos

(

π +α 2

) [
= cos

π --α 2

]

= sin( - α ) =- sin

5 , 3

(

π -α 2

)

这一等式, 利用诱导

sin α 5 5 ∴tan α = = ,∴原式=- . cos α 2 2 2 当 α 为第四象限角时,cos α = , 3 5 sin α =- 1-cos α =- , 3
2

公式四和诱导公式五推导诱导公式六. 答 sin

( (

π +α 2

)



sin

?π - ?
π -α 2

π -α 2

)? ?



sin α 5 5 ∴tan α = =- ,∴原式= . cos α 2 2 综上,原式=± 5 . 2

sin

cos cos cos

12.证明 ∵sin(α +β )=1, π ∴α +β =2kπ + (k∈Z), 2 π ∴α =2kπ + -β (k∈Z). 2 tan(2α +β )+tan β =tan?2

( ) ( ) ( ) ( )
π +α 2 π -α 2 π +α 2

=cos α ,

= cos

?π - ?

=-sin α ,∴sin =-sin α .

( )? ? ( )
π -α 2 π +α 2

= -

=cos α ,

探究点三

答 sin π -α 2

(

3 π -α 2

)

=sin?π +

?

(

π -α 2

)? ?

?

(

π 2kπ + -β 2

)

+β

?+tan ?

β

=-sin

(

)

=-cos α ;

=tan(4kπ +π -2β +β )+tan β =tan(4kπ +π -β )+tan β =tan(π -β )+tan β =-tan β +tan β =0,∴原式成立. 13.解 由条件得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B,平方相加得 2cos A=1,cos A= ± 2 π 3 ,又∵A∈(0,π ),∴A= 或 π . 2 4 4 3 3 当 A= π 时,cos B=- <0,∴B∈ 4 2 ∴A,B 均为钝角,不合题意,舍去. π 3 π 7 ∴A= ,cos B= ,∴B= ,∴C= π . 4 2 6 12
2

cos

( ( (

3 π -α 2

) ) )

= cos

?π + ?

( ( (

π -α 2

)? ? )? ? )? ?

= -

cos

( ( (

π -α 2

) ) )

=-sin α ;

sin

3 π +α 2

= sin

?π + ?

π +α 2

= -

sin

π +α 2

=-cos α ;

(

π ,π 2

)



cos

3 π +α 2

= cos

?π + ?

π +α 2

= -

cos

π +α 2

=sin α .

答案(二) π 问题 1 答 角 α 的终边与 -α 的终边关于直线 y=x 对称. 2

2π 例 1 解 ∵α + = 3 ∴sin(α 2π 3

(

π α + 6

)



π , 2 π α + 6



) = sin

? ?

(

)



π? = 2?

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cos

(

π α + 6

)

3 = . 5

∴sin

4

(
2

π -θ 2
2

)
2

+cos
2

4

(
2

3 π +θ 2
2

)

=cos θ +sin θ

4

4

跟踪训练 1 解 ∵cos π =cos? - ?2 例 2 证明 -2sin ∵左边=

(

π α - 3

) (
=cos π +α 6

π -α 3 3 . 3

)

=(sin θ +cos θ ) -2sin θ cos θ =1-2?

(

π +α 6

)? ( ?
=sin

)

()
3 8

23 = . 32



3 跟踪训练 3 解 ∵sin(θ - π )+cos 2

(

3 π +θ 2

)

(

3 π -θ 2

)(
2

-sin θ

)-1

=-sin

(

3 π -θ 2

) (
-cos

π +θ 2

) ( )
9 -1 25 =

1-2sin θ

=sin -2sin?π + =

?

(

π -θ 2

)? ?
2

(

π -θ 2

)

3 +sin θ =sin θ +cos θ = . 5

-sin θ -1

1-2sin θ

1 1 2 ∴sin θ cos θ = [(sin θ +cos θ ) -1]= 2 2 8 - . 25
3

2sin =

(

π -θ 2

)

-sin θ -1
2

1-2sin θ ∴sin -2sin θ cos θ -1 2 2 2 sin θ +cos θ -2sin θ sin θ +cos θ 2 2 sin θ -cos θ
2

(

π +θ 2
3

)

-cos

3

(
2

3π -θ 2
3

)
3 2





= =cos θ +cos
3

sin θ +cos θ tan θ +1 右边= sin θ -cos θ tan θ -1 sin cos = sin cos θ +1 θ sin θ +cos θ = . θ sin θ -cos θ -1 θ

(

π -θ 2

)

=cos θ +sin θ 3 5

= (sin θ + cos θ )(sin θ - sin θ cos θ + cos θ ) = ??1-

?

( )? ?
- 8 25

99 = . 125 3 8.-1 9.3 3

∴左边=右边,故原等式成立. 跟踪训练 2 解 原式
2

1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.-

10.解 当 n 为偶数时,n=2k,k∈Z. 2 4 原式=sin(2kπ - π )?cos(2kπ + π ) 3 3

-sin α cos α =

?-cos ?

(

π -α 2

)? ?
π +α 2

=sin

-cos α sin α [--sin α ]sin

(

)

2 =(-sin π )?cos 3

( ) ( ) ( )
2 - π 3 ?cos 4 π 3 π +π 3

sin α cos α sin α sin α = =- =-tan α . 2 -cos α sin α cos α cos α 例 3 解 ∵sin(5π -θ )+sin

2

2 π π π =sin π ?cos =sin ?cos 3 3 3 3 = 3 1 3 ? = . 2 2 4

(

5 π -θ 2

)

当 n 为奇数时,n=2k+1,k∈Z. 2 4 原式=sin(2kπ +π - π )?cos(2kπ +π + π ) 3 3 =sin

=sin(π -θ )+sin

(

π -θ 2

)

(

2 π- π 3

=sin θ +cos θ =

7 , 2

π =sin ?cos 3 =sin

) ( ( )
?cos π 2π + 3

4 π+ π 3

)

1 2 ∴sin θ cos θ = [(sin θ +cos θ ) -1] 2 1? 2?

π π 3 1 3 ?cos = ? = . 3 3 2 2 4



( )
7 2

2

3 -1?= , ? 8

2 4 3 ∴sin(nπ - π )?cos(nπ + π )= ,n∈Z. 3 3 4 -sin2π -α -sin3π +α cos3π -α 11.解 原式= -cos α --cos α cos α sin α -sin α cos α sin α 1-cos α = = 2 -cos α +cos α -cos α 1-cos α

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=-tan α . ∵cos(α -π )=cos(π -α )=-cos α 2 2 =- ,∴cos α = . 3 3 ∴α 为第一象限角或第四象限角. 2 当 α 为第一象限角时,cos α = , 3 5 sin α = 1-cos α = , 3
2

10 . 解 cos?kπ +

原 式 = sin π -α 4

?kπ - ?

(

π +α 4

)? ?



?

(

)? ?

.

当 k 为奇数时,设 k=2n+1 (n∈Z),则 π ? +α 原式=sin?2n+1π - 4 ? ?



sin α 5 5 ∴tan α = = ,∴原式=- . cos α 2 2 2 当 α 为第四象限角时,cos α = , 3 5 sin α =- 1-cos α =- , 3
2

sin?π -

?

=sin =sin =sin

sin α 5 5 ∴tan α = =- ,∴原式= . cos α 2 2 综上,原式=± 5 . 2

) ? ( )? ? ? ? ( ( )? )? ? ? ? ( )? ( )? ? ? ( ) ? )? ? ( ? ( ) ( )
cos 2n+1π + π -α 4 π +α 4 +cos π + π -α 4 π +α 4 π +α 4 π +α 4 + -cos -cos -sin π -α 4 π - 2 π +α 4 π +α 4 =0;

(



12.证明 ∵sin(α +β )=1, π ∴α +β =2kπ + (k∈Z), 2 π ∴α =2kπ + -β (k∈Z). 2 tan(2α +β )+tan β π =tan?2 2kπ + -β 2 ?

当 k 为偶数时,设 k=2n (n∈Z),则 π ?+ +α 原式=sin?2nπ - 4 ? ?

(

)

cos?2nπ +

?

(

π -α 4

)? ?
+cos +cos +sin π -α 4 π - 2 π +α 4 π +α 4

(

)

+β

?+tan ?

=-sin β

=-sin =-sin

=tan(4kπ +π -2β +β )+tan β =tan(4kπ +π -β )+tan β =tan(π -β )+tan β =-tan β +tan β =0, ∴原式成立. 13.解 由条件得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B, 平方相加得 2cos A=1,cos A=± π 3 又∵A∈(0,π ),∴A= 或 π . 4 4 3 3 当 A= π 时,cos B=- <0,∴B∈ 4 2 ∴A,B 均为钝角,不合题意,舍去. π 3 π 7 ∴A= ,cos B= ,∴B= ,∴C= π . 4 2 6 12 答案 89 1.A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7. 2 8.证明 左边= tan-α ?sin-α ?cos-α sin?2π -
2

( ( ( (

π +α 4 π +α 4 π +α 4

) ( ) ) ? )? ? ( ? ) ( )
=0.

综上所述,原式=0. π 11.解 sin - -α 2 cos 2 , 2

)

=-cos α , π 2 π + +α 2

(

5π - -α 2

) (
=cos

)

=-sin α . 60 , 169 120 即 2sin α ?cos α = .① 169 ∴sin α ?cos α = 又∵sin α +cos α =1,② 289 2 ①+②得(sin α +cos α ) = , 169 49 2 ②-①得(sin α -cos α ) = . 169 又∵α ∈
2 2

(

π ,π 2

)



(

π π , 4 2

)

,∴sin α >cos α >0,

? ?

(

π -α 2

)? ?

?cos?2π -

?

(

π -α 2

)? ?



-tan α ?-sin α ?cos α sin?-

(
2

π -α 2

)? ?
2

cos?-

?

(

π -α 2

)? ?

即 sin α +cos α >0,sin α -cos α >0, 17 ∴sin α +cos α = ,③ 13 7 sin α -cos α = ,④ 13 12 5 ③+④得 sin α = ,③-④得 cos α = . 13 13 12.解 ∵cos



sin α -sin

(

π -α 2

) (
cos

π -α 2

)

(

π +α 2

)

=2sin

(

π α - 2

)



sin α sin α = =- -cos α ?sin α cos α =-tan α =右边.∴原等式成立. 9.2

∴-sin α =-2cos α ,∴tan α =2. 3 sin π +α +cosα +π ∴ 5π 7π -α -α 5cos +3sin 2 2

(

)

(

)

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-sin α -cos α 5sin α -3sin
3

3

(

π -α 2

)

-sin α +cos α 5sin α -3cos α 3 2 sin α +cos α sin α ?tan α +1 = = 3cos α -5sin α 3-5tan α 2 sin α ?tan α +1 2 2 sin α +cos α = 3-5tan α 3 3 tan α 2 +1 2 2+1 1+tan α 1+2 13 = = =- . 3-5tan α 3-5?2 35 = 13.解 由条件,得?
2 2 2

?sin α = 2sin β ,
2



? 3cos α = 2cos β . ②
2

① +② ,得 sin α +3cos α =2,③ 又因为 sin α +cos α =1,④ 1 2 2 由③④得 sin α = ,即 sin α =± , 2 2 因为 α ∈
2

(

π π - , 2 2

)

π π ,所以 α = 或 α =- . 4 4

π 3 当 α = 时,代入②得 cos β = , 4 2 π 又 β ∈(0,π ),所以 β = ,代入①可知符合. 6 π 3 当 α =- 时,代入②得 cos β = , 4 2 π 又 β ∈(0,π ),所以 β = ,代入①可知不符合. 6 π π 综上所述,存在 α = ,β = 满足条件. 4 6

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