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【名师一号届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双基练抛物线文北师大版-课件


计时双基练五十

抛物线

A 组 基础必做 9 1.(2016?淮北模拟)两个正数 a,b 的等差中项是 ,等比中项是 2 5,且 a>b,则抛 2 物线 y =- x 的焦点坐标为(
2

b a

)

? 5 ? A.?- ,0? ? 16 ? ? 1 ? C.?- ,0? ? 5 ?
解析

?1 ? B.? ,0? ?5 ? ? 2 ? D.?- ,0? ? 5 ?

9 由 两 个 正 数 a , b 的 等 差 中 项 是 , 等 比 中 项 是 2 5 , 且 a>b 可 得 2

?a+b=9, ? ?ab=?2 5?2,
解得?
? ?a=5, ?b=4。 ?

4 2 抛物线的方程为 y =- x, 5

? 1 ? 故焦点坐标为?- ,0?。 ? 5 ?
答案 C 2.(2015?辽宁五校联考)已知 AB 是抛物线 y =2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中 点 C 的横坐标是( A.2 C. 3 2 ) B. D. 1 2 5 2
2

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4,又 p=1,所以 x1+x2=3,所 以点 C 的横坐标是 答案 C 3.(2015?浙江卷)如图, 抛物线 y =4x 的焦点为 F, 不经过焦点的直线上有三个不同的 点 A,B,C, 其中点 A,B 在抛物线上, 点 C 在 y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
2

x1+x2 3
2

= 。 2

1

A. C.

|BF|-1 |AF|-1 |BF|+1 |AF|+1

B. D.

|BF| -1 2 |AF| -1 |BF| +1 2 |AF| +1
2

2

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则 |BC| x2 |BF|-1 = = = ,故选 A。 |AC| x1 |AF|-1 答案 A

S△BCF S△ACF

4.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) B.[0,2] D.[2,+∞) )

2

解析 抛物线的准线方程为 y=-2,焦点 F 的坐标为(0,2)。 ∵以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交, ∴|FM|>4。据抛物线的定义知:|FM|=2+y0, ∴2+y0>4,∴y0>2。 答案 C 5.已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一 → → 个交点,若FP=4FQ,则|QF|=( A. 7 2 ) B. 5 2
2

C.3

D.2

→ → 解析 过点 Q 作 QQ′⊥l 交 l 于点 Q′,因为FP=4FQ,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦 点 F 到准线 l 的距离为 4,所以|QF|=|QQ′|=3。故选 C。

答案 C 6.已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px(p>0)的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象 限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. 1 2 B. 2 3 )
2

2

C.

3 4

D.

4 3
2

解析 由题意可知准线方程 x=- =-2,∴p=4,∴抛物线方程为 y =8x。由已知易 2 得过点 A 与抛物线 y =8x 相切的直线斜率存在,设为 k,且 k>0,则可得切线方程为 y-3 =k(x+2)。联立方程?
? ?y-3=k?x+2?, ?y =8x, ?
2 2

p

消去 x 得 ky -8y+24+16k=0。(*)

2

1 由相切得 Δ =64-4k(24+16k)=0,解得 k= 或 k=-2(舍去),代入(*)解得 y=8, 2 把 y=8 代入 y =8x,得 x=8,即切点 B 的坐标为(8,8),又焦点 F 为(2,0),故直线 BF 的 4 斜率为 。 3 答案 D 7.(2016?厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线 y =4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切, 则此动圆必过定点________。 解析 因为动圆的圆心在抛物线 y =4x 上, 且 x=-1 是抛物线 y =4x 的准线, 所以由 抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的焦点(1,0)。 答案 (1,0) 8.(2016?郑州模拟)设斜率为 1 的直线 l 过抛物线 y =ax(a>0)的焦点 F,且和 y 轴交 于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 8,则 a 的值为________。
2 2 2 2 2

a a 1 a a ?a ? 解析 依题意,有 F? ,0?,直线 l 为 y=x- ,所以 A0,- ,△OAF 的面积为 ? ? 4 4 4 2 4 4 ? ?
=8。解得 a=±16,依题意,只能取 a=16。 答案 16 9. (2015?陕西质检)已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点, 若抛物线 y =2x 的焦点为
2

F,点 Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是________。
1 解析 抛物线的准线方程为 x=- , 2 当 MQ∥x 轴时,|MQ|-|QF|取得最小值, 此时点 Q 的纵坐标 y=2,代入抛物线方程 y =2x 得 Q 的横坐标 x=2,则|QM|-|QF|=
2

? 1? 5 |2+3|-?2+ ?= 。 ? 2? 2
答案 5 2

10.如图所示, 抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐标原点, 点 P(1,2), A(x1, y1), B(x2,

y2)均在抛物线上。
3

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率。 解 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y =2px(p>0)。
2 2

∵点 P(1,2)在抛物线上,∴2 =2p?1,解得 p=2。 故所求抛物线的方程是 y =4x,准线方程是 x=-1。 (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则
2

y1-2 y2-2 kPA= (x1≠1),kPB= (x2≠1), x1-1 x2-1
∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB, 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y1=4x1,①
2

y2 2=4x2,②


y1-2 y2-2 =- ,∴y1+2=-(y2+2)。 1 2 1 2 y1-1 y2-1 4 4

∴y1+y2=-4。 由①-②得,y1-y2=4(x1-x2), ∴kAB=
2 2

y1-y2 4 = =-1(x1≠x2)。 x1-x2 y1+y2

1 11. (2015?浙江卷)如图, 已知抛物线 C1: y= x2, 圆 C2: x2+(y-1)2=1, 过点 P(t,0), 4 (t>0)作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点。

(1)求点 A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积。 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛 物线相切,称该公共点为切点。 解 (1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t),

4

y=k?x-t?, ? ? 由? 1 2 y= x ? ? 4

消去 y,整理得:x -4kx+4kt=0,

2

由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t。 因此,点 A 的坐标为(2t,t )。 设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知:点 B,O 关于直线 PD 对称,
2

y0 x0 ? ? =- +1, 2t 故? 2 ? ?x0t-y0=0,
2t x= ? ? 1+t , 解得? 2t y= ? ? 1+t 。
0 2 2 0 2

因此,点 B 的坐标为?

? 2t 2, 2t 2?。 ? ?1+t 1+t ?
2 2

2

(2)由(1)知|AP|=t? 1+t 和直线 PA 的方程 tx-y-t =0。 点 B 到直线 PA 的距离是 d=

t2
1+t
2


3

1 t 设△PAB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AP|?d= 。 2 2 B 组 培优演练 1 1.已知抛物线形拱桥的顶点距离水面 2 米时,测量水面宽为 8 米,当水面上升 米后, 2 水面的宽度是________米。 解析 建立平面直角坐标系如图,设开始时水面与抛物线的一个交点为 A,由题意可知

A(4,-2),故可求得抛物线的方程为 y=- x2,水面上升后交点为 B,则点 B 的纵坐标为
3 1 2 - ,代入抛物线方程 y=- x 可求出点 B 的横坐标为 2 3,所以水面宽为 4 3米。 2 8

1 8

答案 4 3 2.已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足。 如果直线 AF 的倾斜角为 120°,那么|PF|=________。
2

5

解析

抛物线的焦点坐标为 F(1,0),准线方程为 x=-1。因为直线 AF 的倾斜角为

120°,所以 tan120°= ,所以 yA=2 3。因为 PA⊥l,所以 yP=yA=2 3,代入 y -1-1 =4x,得 xA=3,所以|PF|=|PA|=3-(-1)=4。 答案 4

yA

2

3.已知一条过点 P(2,1)的直线与抛物线 y =2x 交于 A,B 两点,且 P 是弦 AB 的中点, 则直线 AB 的方程为________。 解析 依题意,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 y1=2x1,y2=2x2,两式相减得 y1-y2= 2(x1-x2),即 -y-1=0。 答案 x-y-1=0 4.(2015?福建卷)已知点 F 为抛物线 E:y =2px(p>0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且|AF|=3。
2 2 2 2 2

2

y1-y2 2 = =1,直线 AB 的斜率为 1,直线 AB 的方程是 y-1=x-2,即 x x1-x2 y1+y2

(1)求抛物线 E 的方程; (2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相 切的圆,必与直线 GB 相切。 解 (1)由抛物线的定义,得|AF|=2+ 。 2

p

因为|AF|=3,即 2+ =3, 2 解得 p=2,所以抛物线 E 的方程为 y =4x。 (2)证明:证法一:因为点 A(2,m)在抛物线 E:y =4x 上, 所以 m=±2 2,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2)。 由 A(2,2 2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1)。 由?
2 2

p

?y=2 2?x-1?, ?y2=4x

得 2x -5x+2=0,

2

1 ?1 ? 解得 x=2 或 x= ,从而 B? ,- 2?。 2 ?2 ? 又 G(-1,0),

6

2 2-0 2 2 所以 kGA= = , 2-?-1? 3

kGB=

- 2-0 2 2 =- , 1 3 -?-1? 2

所以 kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等。 故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切。 证法二:设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r。 因为点 A(2,m)在抛物线 E:y =4x 上, 所以 m=±2 2,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2)。 由 A(2,2 2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1)。 由?
2

?y=2 2?x-1?, ?y2=4x

得 2x -5x+2=0,

2

1 ?1 ? 解得 x=2 或 x= ,从而 B? ,- 2?。 2 ?2 ? |2 2+2 2| 4 2 又 G(-1,0),故直线 GA 的方程为 2 2x-3y+2 2=0,从而 r= = 。 8+9 17 又直线 GB 的方程为 2 2x+3y+2 2=0, |2 2+2 2| 4 2 所以点 F 到直线 GB 的距离 d= = =r。 8+9 17 这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切。

7


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