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2012年上海市高中数学竞赛


2012 年上海市高中数学竞赛答案
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.如图,正六边形 A1 B1C 1 D1 E 1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一
B1 A2 F2 A1

F1

个正六边形 A2 B 2 C 2 D 2 E 2 F2 ,如此

继续下去,则所有这些六边形的面积 和是 .
C1 B2

E2

C2

D2

E1

2.已知正整数 a1 , a 2 ,? , a1 0 满足: 可能值是 .
17

aj ai

?

3 2

,1 ? i ? j ? 1 0

,则 a 1 0 的最小

D1

3.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ?

, co t ? ? co t ? ? co t ? ? ?

4 5

, cot ? cot ? .

6 17 ? co t ? co t ? ? co t ? co t ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? ? 5

??

4 . 已 知 关 于 x 的 方 程 lg ? kx ? ? 2 lg ? x ? 1 ? 仅 有 一 个 实 数 解 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 . 5 . 如 图 , ? A E F 是 边 长 为 x 的 正 方 形 A B C D 的 内 接 三 角形 , 已 知
? A E F ? 9 0 ? , A E ? a , E F ? b , a ? b ,则 x ?
A D

. .
B E F

6.方程 2 m ? 3 n ? 3 n ?1 ? 2 m ? 13 的非负整数解 ? m , n ? ?

7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白 色的,一个是黑色的,依次从中摸出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均 不相同的概率是 .(用数字作答) 8.数列 ? a n ? 定义如下: a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ?
2 ? n ? 1? n?2 a n ?1 ? n n?2 a n , n ? 1, 2, ?

C

.若 a m ? 2 ?

2011 2012



则正整数 m 的最小值为 . 二、解答题 9. (本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, A B ? x , B C ? 1 ,对角线 AC 与 BD 的夹角 ? B O C ? 45 ? ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h ( x ) . 求 h ( x ) 的表达式,并写出 x 的取值范围.
A D C

O B

10. (本题满分 14 分)给定实数 a ? 1 ,求函数 f ( x ) ?
1

( a ? sin x )( 4 ? sin x ) 1 ? sin x

的最小值.

11. (本题满分 16 分)正实数 x , y , z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证: (1) xy ? yz ? zx ?
4 3



(2) x ? y ? z ? 2 .

12. (本题满分 16 分)给定整数 n ( ? 3) ,记 f ( n ) 为集合 ?1, 2, ? , 2 n ? 1? 的满足如下两个条 件的子集 A 的元素个数的最小值: (a) 1 ? A , 2 n ? 1 ? A ; (b) A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素的和. (1)求 f (3) 的值; (2)求证: f (100) ? 108 .

参考答案:
2

1、

9 3 4

2、92
a
2

3、11 6、 ? 3, 0 ? , ? 2, 2 ?

4、 ? ? ? , 0 ? ? ? 4? 7、
2 5

5、
2

8、4025

a ? (a ? b)

2

9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
OB ? OC
2 2

?

1 2

( AB ? BC ) ?
2 2

1 2

( x ? 1) .
2

① ???????(2 分)

在△OBC 中,由余弦定理
BC
2

? O B ? O C ? 2 O B ? O C cos ? B O C
2 2

, ② ③

所以 由①,②得

OB ? OC ?
2 2

2O B ? O C ? 1 ,

OB ?OC ?

x ?1
2



2 2

???????(5 分) 所以
SA
B C D

? 4 S?

O B C

1 ? 4 ? O B ? O Ci n ? B O C s 2

?

2OB ?OC ?

x ?1
2



2 x ?1
2



AB ? h( x) ?



2 x ?1
2

所以

h(x) ?



???????(10 分)

2x

由③可得, x 2 ? 1 ? 0 ,故 x ? 1 . 因为 O B 2 ? O C 2 ? 2 O B ? O C ,结合②,③可得
1 2 ( x ? 1) ? 2 ?
2

x ?1
2



2 2
1? x ? 2 ?1 .

解得(结合 x ? 1 ) 综上所述, h ( x ) ? 10.解 f ( x ) ?
x ?1
2

,1 ? x ? 2 ? 1 .
? 1 ? sin x ? 3( a ? 1) 1 ? sin x
3

???????(14 分)
?a?2

2x
( a ? sin x )( 4 ? sin x ) 1 ? sin x



当1 ? a ?

7 3

时, 0 ? 3( a ? 1) ? 2 ,此时
f ( x ) ? 1 ? sin x ? 3( a ? 1) 1 ? sin x ? a ? 2 ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2 ,
f m in ( x ) ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2 .

且当 sin x ? 3( a ? 1) ? 1 ?? ? ? 1, 1 ? ? 时不等式等号成立,故
7 3

???????(6 分) 当a ? 故此时
f m in ( x ) ? f (1) ? 2 ? 3( a ? 1) 2 ?a?2? 5( a ? 1) 2

时, 3( a ? 1) ? 2 ,此时“耐克”函数 y ? t ?

3( a ? 1) t

在 ? 0, 3( a ? 1) ? 内是递减, ? .

综上所述,

7 ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2, 1 ? a ? ; ? ? 3 f m in ( x ) ? ? 5( a ? 1) 7 ? , a ? . ? 2 3 ?

???????(14 分)

11.证 (1)记 t ?

xy ? yz ? zx 3

,由平均不等式
3 2 3

xyz ?

?

3

( xy )( yz )( zx )

?
3

? xy ? yz ? zx ? 2 ?? ? . 3 ? ?

???????(4 分)
于是 所以
2

4 ? 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 9 t ? 3 t

2



? 3t ? 2 ? ? 3t 2

? 3t ? 2 ? ? 0 ,

而 3 t ? 3 t ? 2 ? 0 ,所以 3t ? 2 ? 0 ,即 t ?
x y?

2 3

,从而
yz ? 4 z? x 3



???????(10 分)

(2)又因为
( x ? y ? z ) ? 3( xy ? yz ? zx ) ,
2

所以 故

(x ? y ? z) ? 4 ,
2

x? y?z? 2



???????(16 分)

12 . 解 ( 1 ) 设 集 合 A ? ?1, 2, ? , 2 3 ? 1? , 且 A 满 足 ( a ) ( b ) 则 1 ? A , 7 ? A . 由 于 , .

?1, m , 7 ? ? m

? 2, 3, ? , 6 ? 不满足(b) ,故 A ? 3 .

又 ?1, 2, 3, 7 ? , ?1, 2, 4, 7 ? , ?1, 2, 5, 7 ? , ?1, 2, 6, 7 ? , ?1, 3, 4, 7 ? , ?1, 3, 5, 7 ? , ?1, 3, 6, 7 ? ,
4

,故 ?1, 4, 5, 7 ? , ?1, 4, 6, 7 ? , ?1, 5, 6, 7 ? 都不满足 (b)

A ? 4



而集合 ?1, 2, 4, 6, 7 ? 满足(a)(b) , ,所以 f (3) ? 5 .???????(6 分) (2)首先证明
f ( n ? 1) ? f ( n ) ? 2, n ? 3, 4, ? .



事实上,若 A ? ?1, 2, ? , 2 n ? 1? ,满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f ( n ) . 令 B ? A ? ? 2 n ? 1 ? 2, 2 n ? 1 ? 1? ,由于 2 n ? 1 ? 2 ? 2 n ? 1 ,故 B ? f ( n ) ? 2 . 又 2 n ?1 ? 2 ? 2(2 n ? 1), 2 n ?1 ? 1 ? 1 ? (2 n ?1 ? 2) , 所以, 集合 B ? ?1, 2, ? , 2 n ? 1 ? 1? , B 满足 且 (a) , (b) .从而
f ( n ? 1) ? B ? f ( n ) ? 2 .

???????(10 分)

其次证明:
f (2 n ) ? f ( n ) ? n ? 1, n ? 3, 4, ? .



事实上,设 A ? ?1, 2, ? , 2 n ? 1? 满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f ( n ) .令
B ? A ? ? 2 ( 2 ? 1), 2 ( 2 ? 1), ? , 2 ( 2 ? 1), 2
n 2 n n n 2n

? 1? ,

由于

2(2 ? 1) ? 2 (2 ? 1) ? ? ? 2 (2 ? 1) ? 2
n 2 n n n

2n

?1,

所以 B ? ?1, 2, ? , 2 2 n ? 1? ,且 B ? f ( n ) ? n ? 1 .而
2
k ?1

(2 ? 1) ? 2 (2 ? 1) ? 2 (2 ? 1), k ? 0,1, ? , n ? 1 ,
n k n k n

2

2n

? 1 ? 2 (2 ? 1) ? (2 ? 1)
n n n



从而 B 满足(a)(b) , ,于是
f (2n) ? B ? f (n) ? n ? 1 .

???????(14 分)


由①,②得 反复利用②,③可得

f (2 n ? 1) ? f ( n ) ? n ? 3 .

f (100) ? f (50) ? 50 ? 1 ? f (25) ? 25 ? 1 ? 51 ? f (12) ? 12 ? 3 ? 77 ? f (6) ? 6 ? 1 ? 92 ? f (3) ? 3 ? 1 ? 99 ? 108 .

???????(16 分)

5


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