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抛物线及其标准方程修改稿


抛物线及其标准方程

青 春 抛 物 线

回忆初中所学,你对抛物线 已有了哪些认识?
想 一 想 ?

y

o

x

几 何 画 板 演 示

观察发现

l

┑ ┑ ┑

M

抛物线

F

抛物线的焦点 抛物线的准线

一、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,

H

d

M

·
焦 点

C

·
F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d

d 为 M 到 l 的距离

二、标准方程
想 一 想
M
ll

P
F oF

P M

F

如何建立直角 坐标系?

二、标准方程的推导
yy
M

如何建立坐标系呢?

·
xx
思考:抛物线是 轴对称图形吗?怎 样建立坐标系,才能 使焦点坐标和准线 方程更简捷?

00
l

·
F

y
M(x,y)
K o F

解:以过F且垂直于 l 的直
线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x, y ) , FK ? p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? 2 2 依题意得
p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
2

l
1.建立坐标系 2.设动点坐标, 相关点的坐标. 3.列方程 4.化简,整理 5.证明(略)

两边平方,整理得

y ? 2 px( p ? 0)
这就是所求的轨迹方程.

【规范解答】抛物线的定义在解题中的应用 【典例】(12分)动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距

离小2,求动点M(x,y)的轨迹方程.
【解题指导】

【规范解答】方法一:(1)当x≥0①时, ∵动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,

∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等②,
…………………………………………………………………2分

∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且
p=4, …………………………………………………………4分 ∴抛物线的方程为y2=8x(x≥0).……………………………6分

(2)当x<0①时,由于x轴上原点左侧的点到y轴的距离比它到 (2,0)的距离小2, ∴动点M的轨迹方程为y=0(x<0).…………………………10分 综上③,动点M的轨迹方程为y=0(x<0)和y2=8x(x≥0).…12分

方法二:设M(x,y),则有 x ? 2 ? ? x ? 2 ?2 ? y 2

②,…………4分

即x2+4|x|+4=x2-4x+4+y2,……………………………………6分
?8x 化简得y ? 4x ? 4 x ? ? , ……………………………………10分 ?0
2

∴动点M的轨迹方程为y=0(x<0)和y2=8x(x≥0).…………12分

三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是:

焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2

一条抛物线,由于它在坐标平面内 的位置不同,方程也不同,所以抛物线 的标准方程有四种形式.

抛物线的标准方程
抛物线的标 准方程的还 有那些形式 呢?

想 一 想 ?

其它形式的 抛物线的焦 点与准线怎 样表示呢?

四种抛物线及其它们的标准方程
图形 标准方程
y 2 ? 2px

相同点 焦点坐标 准线方程 (1)顶点为原点;

?p ? 0?
y 2 ? ?2px

(2)对称轴为坐标轴; (3? )顶点到焦点的距离等于顶 p p ? x ? ? p/2. ,0 ? ? 点到准线的距离,其值为 2 ? 2(一次项系数绝对值的 ? 1/4) ( )方程左边是二次式,右边是一 ( 14 )探究标准方程的其 次式,没有常数项;

?p ? 0?
x 2 ? 2py

p ? ? 他形式,填表 p ? ? ,0 ? x? 2 ? ? 不同点 2 (2)比较几种形式异同

?p ? 0?

x 2 ? ?2py ?p ? 0?

(1)一次项 ? p ? 变量为x(y), p ? 0, ? 则对称轴为 y?? ? 2? x(y)轴; 2 (2)一次项系数 为正(负), p ? 则开口向坐标 p ? ? 0,? ? 轴的正(负) y? 2? ? 2 方向.

例题讲解
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,求它的 焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准 方程.

p (2)因为焦点在y轴的负半轴上,且 ? ? ?2, 2 2 , 所以所求抛物线的标准方程是 x ? ?8 y ?p?4

3 解:(1)因为p=3,所以焦点坐标是 ( , 0) 2 3 准线方程是 x ? ?

,

2

例2.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.
解:(1)当抛物线的焦点在 y 轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=

9 4


A

y

O

x

(2)当焦点在 x 轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px,

9 2 ∴抛物线的标准方程为x =

2 得 p= 3

y 2

2 或y

=

4 ? x 。 3

变式
1、已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
解:若抛物线焦点在x轴上,设它的标准方程为y2=2mx, 由于点(-4,-2)在抛物线上,故有(-2)2=2m(-4),

解得m=-1/2,故此

时所求标准方程为y2=-x;

y 2 若抛物线的焦点在y轴上,设它的标准方程为 x =2my,

由于点(-4,-2)在抛物线上,故有(-4)2=2m(-2), o 解得m=-4,故此 时所求标准方程为x2=-8y;

x

综上所述,满足题意的抛物线的标准方程为 (-4,-2) y2=-x或x2=-8y.

小 结

变式
2、.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1, 求点M的轨迹方程.
解 : 由已知条件可知 , 点 M 与点F的距离等于它到直线 x+4=0 的距离 , 根据抛物线的 定义 , 点 M的轨迹是以点 F(4,0) 为焦点的抛物线. ∵p/2=4, ∴p=8. 又因为焦点在轴的正半轴, 所以点M的轨迹方程为
y x+5=0

M

o

F(4,0)

x

y2=16x.

小 结

课外拓展:
1、为什么说二次函数y=ax2(a≠0)

的图像是抛物线?你能指出它的焦点 坐标和准线方程?

小 结

1 1 2 解:二次函数可化为:x = a y 即2p= a p 1 ①当a>0时, 2 = 4a ,抛物线的开口向上 1 1 ∴焦点坐标是(0, ),准线方程是:y = 4a 4a p 1 ②当a<0时, 2 = 4a , 抛物线的开口向下 1 1 ∴焦点坐标是( 0, ),准线方程是:y = 4a 4a

所以不论a>0,还是a<0,都有

∴焦点坐标是( 0, 4a),准线方程是: y =

1

1 4a
小 结

题后反思
抛物线的 标准方程 焦点坐标 准线方程

先定位(对称轴、开口), 后定量(关键是求p)

小 结

思考:M是抛物线y2 = 2px(p>0)上一点,若点
M 的横坐标为x0,则点M到焦点的距离是

x0 +
这就是抛 物线的焦 半径公式!

————————————

— 2

p

y

O F

. .
M

x

四、课堂练习
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0)
解:y2 =12x 解:y2 =x 解:y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y

1 (2)准线方程 是x = ? 4
(3)焦点到准线的距离是2

题后反思:无法确定焦点位置,注意分类讨论
小 结

课堂练习
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x
焦点: (5,0)
焦点: (0, )

准线:x = -5
准线:y = -

(2)y=2x2
(3)2y2 +5x =0

1 8

1 8 5 8

(- ,0) 焦点:
焦点:(0,-2)

5 8

准线: x = -

(4)x2 +8y =0

准线: y = 2

题后反思:求抛物线的焦点坐标、准线方程一定要先把 抛物线化为标准形式
小 结

课时总结:
1、学习了一个概念--抛物线;
有关抛物线的标 准方程和它的焦 2、掌握了一种题型-- 点坐标、准线方 程的求法;

3、注重了一种思想--数形结合。

五、小结
1.抛物线的定义:抛物线的定义反映了抛物线的本 质,灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易, 且思路清晰,解法简捷. 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:要抓住 标准方程的特点,注意与焦点位置,开口方向的对 应关系;

3. 不同位置的抛物线
y
y

y
y l O F


O F

x

x

F

O

x

F O l


l
l

x

焦点位置
标准方程 焦点坐标

x轴的 正方向 y2=2px
p F ( ,0 ) 2 p x=2

x轴的 负方向 y2=-2px
p F(- ,0 ) 2 p x= 2

y轴的 正方向 x2=2py
p F ( 0, ) 2 p y=2

y轴的 负方向 x2=-2py
p F ( 0, - ) 2 p y= 2

准线方程

【典例训练】 1.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所 在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯 口的直径是24 cm,灯深10 cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截 得抛物线顶点)间的距离是________.

2.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条

边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设
为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建 立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程; (2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度 为多少米(精确到0.1米)?

【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的
顶点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0). 因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6 cm. 答案:3.6 cm

2.如图所示

(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
因为点C(5,-5)在抛物线上, 所以该抛物线的方程为x2=-5y. (2)设车辆高h,则|DB|=h+0.5, 故D(3.5,h-6.5), 代入方程x2=-5y,解得h=4.05, 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
7米

y
O
x

D

C
A
3.5米 3.5米 10米

B

2米

【想一想】解答关于抛物线实际应用问题的关键是什么?哪些 问题常用抛物线方程求解? 提示:关键是建立符合题意的数学模型,如涉及桥的跨度,隧 道的高低问题,喷水池的水龙头的喷水问题等通常用抛物线方 程解决.

5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值. 【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p>0), 则焦点 F( ? p ,0),由题意可得
?m ? 6p ? , ? p 2 2 ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ?
2

2

?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 解得? 或? , ?p ? 4 ?p ? 4 故所求的抛物线方程为y2=-8x.
∴m的值为 ?2 6.

谢谢大家!


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