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导数与三次函数(教案)


导数与三次函数(教案)
教学目标 (1)知识目标:以三次函数为载体,掌握用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题 的方法。 (2)能力目标:深化数形结合、转化与化归、分类讨论、从特殊到一般等数学思想在解 有关问题中的运用,培养学生探究问题的能力和综合分析、解决问题的能力。 (3)情感目标:以数形联系的观点看数学问题,体会由特殊到一般的方法探究数学问题 的过程。鼓励学生大

胆猜想,敢于质疑,严密论证。 教学重点:导数应用。 教学难点:三次函数的单调性、极值点个数的探求。 教学模式:以问题为主线,运用探究式与变式教学相结合的教学模式。 教学过程 一 回顾复习 引出本课课题 叙述利用导数求可导函数单调区间的步骤。 二 再现陈题 掌握导数应用 例 1 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x , x ? R (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)求 f ( x ) 在[0,3]上的最值; (3)过点 A(2,2)作曲线 y=f(x)的切线,求切线方程。 特别警示:求切线方程首先要判断该点是否在曲线上 点评 1 导数的主要应用:可导函数的单调性、极值、在闭区间上的最值,以及利用 导数的几何意义研究切线问题。 变式一 若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 在 0≤x≤3 上恒成立,求实数 a 的取值范围; 变式二 关于 x 的方程 f(x)= a 恰有 3 个不等的实根, 求实数 a y 的取值范围.(图象法) 画 f ( x) ? x ? 3x 草图的方法:利用函数有关性质 (1)确定极值点对应的点(简称关键点) (2)结合单调性 点评 2 数形结合,以形助数来解决问题。 二 改变命题 探求字母系数
3 3 2 例 2 若函数 f ( x) ? kx ? 3x ? 3x ? 1( k ? 0 )在R上是增函数, 求实数k的取值范围。

2 -1 o -2

1

x

分析 f ( x) = 3kx ? 6 x ? 3 , 由于f(x)在R上是增函数,则
'
2

k ? 0 ,? f ' ( x) 图象是一条过(0,3)的抛物线,

?3k ? 0 ' ,即 0 ? k ? 1 ,这时 f ( x) ? 0 在R上恒成立,f(x)在R上是增函数; ?? ? 0 ?3k ? 0 3 2 3 2) ? ,即 k ? 1 , f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 1 ? ( x ? 1) ,显然f(x)在R上是增函数; ?? ? 0
1) ?

-1-

3) ?

由上述1),2),3),当f(x)在R上是增函数时,k的取值范围是 0 ? k ? 1 。 问题一 去掉条件“ k ? 0 ”呢? 问题二 观察图二(见课件),切点是原三次函数的极值点吗? 结论1

?3k ? 0 ,不符合题意。 ?? ? 0

f ' ( x0 ) ? 0 是 x0 为f(x)极值点的必要不充分条件。

问题三 若函数f(x)在R上是增函数,抛物线与x轴位置关系如何?减函数呢?(见 课件) 结论2 可导函数f(x)是增函数 ? f ' ( x) ? 0

问题四 上述逆命题成立吗? 结论3 若可导函数y=f(x)解析中无常数函数部分, f ' ( x) ? 0 ? f(x)是增函数;

f ' ( x) ? 0 ? f(x)是减函数。
结合例2,能否推广到一般的三次函数呢? 探究1 一般三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 在R上的增减性。 (结合例2) 结论4 当a>0,且Δ ≤0时,函数f(x)在R上是增函数; 当a<0,且Δ ≤0时,函数f(x)在R上是减函数. 变式一 已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? ax 在 (??, ?1] 上是增函数,求实数a的取值范围。
3 2

分析

f ' ( x) =3x2-6x+a,
'
2

法一 (转化为不等式恒成立问题) f ( x) =3x -6x+a ? 0在 (??, ?1] 上恒成立。 思考一 分离变量法 2 (3x -6x)min ? -a,得 a ? ?9 ; 思考二 图象法(利用导函数是二次函数) 设 f ' ( x) =3x -6x+a,其图象是开口向上且对称轴为x=1的一条抛物线,
2

由题意,得 f (?1) ? 0 ,得 a ? ?9 。 法二 (先求增区间)
' ' 当 ? ? 0 ,即a ? 3时, f ( x) ? 0,则f(x)在R上是增函数,符合题意,所以a ? 3;

3 ? 9 ? 3a 3 ? 9 ? 3a ,或 x ? ,由题意, (??, ?1] 是 3 3 3 ? 9 ? 3a 3 ? 9 ? 3a ,即 ?9 ? a ? 3 。 (??, ] 的子集,得 ?1 ? 3 3 由上述,得 a ? ?9 . 3 2 变式二 若 f ( x) ? x ? ax ? x 在 (??, ?1] , [1, ??) 上均递增,求实数a的取值范围。
当 ? ? 0 ,即a<3时, x ? 点击高考题 3 2 1、(04 年高考浙江卷)已知函数 f(x)=x -ax -4x+4a

变式二

-2-

(1)略;(2)略; (3)若 f(x)在 (??, ?2] 与 [2, ??) 上都是增函数,求实数 a 的取值范围。 提示: f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 , f ' (?2) ? 0 ,且 f ' (2) ? 0 ,得 ?2 ? a ? 2 . 2、(05 年高考重庆卷)设函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6ax ? 8, 其中a ?R. (1)略; (2)若 f ( x)在(??,0) 上为增函数,求 a 的取值范围. 问题五 图中产生了几个极值点?增减区间是什么?(回到变式二中,见课件) 由此推广到一般三次函数的单调性,极值点问题。 探究2 你能探究一般三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的单调性、极值点 个数吗? 结论 5 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 单调性、极值点个数情况。

f ' ( x) = 3ax 2 ? 2bx ? c ,记 ? = 4b2 ?12ac ? 4(b2 ? 3ac) ,(其中x1,x2是方程 f ' ( x) =0
的根,且x1<x2) a>0 a<0

? >0
单 调 性

? ?0
在R上是增函数 数;

? >0
在 ( x1 , x2 ) 上,是增函

? ?0
在R上是减函数

在 (??, x1 ),( x2 , ??) 上, 是增函数; 在 ( x1 , x2 ) 上,是减函 数;

在 (??, x1 ),( x2 , ??) 上,是减函数;

极值点 个数

2

0

2

0



总结反思 构建知识体系 (1)知识点 (2)数学思想方法:数形结合,从特殊到一般,分类讨论,方程与 函数思想,转化思想等。 四 课后探究 提高综合能力(机动) (思考题)你能探究三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 图象吗? 五 布置作业 检阅解题能力(作业红对勾) 六 自我反思 提高教学能力(课后记) 七 板书设计(略)

附:三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 图象
3 2

a<0

? >0
图 象 x1 x2 x

? ?0

x0

x

-3-

a>0

? >0
图 象 x1 x2 x

? ?0

x0

x

-4-


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