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(课堂设计)2014-2015高中数学 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版必修4


3.1.3

二倍角的正弦、余弦、正切公式
自主学习

知识梳理 1.倍角公式 α α 1 cos = sin α ; 2 2 2 2 2 2 2 (2)C2α :cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α (3)T2α :tan 2α = . 2 1-tan α 2.倍角公

式常用变形 sin 2α sin 2α (1) =________, =________; 2sin α 2cos α 2 (2)(sin α ±cos α ) =____________; 2 2 (3)sin α =____________,cos α =____________. (4)1-cos α =____________,1+cos α =____________. 自主探究 α 如何用 tan 表示 sin α ,cos α ,tan α .(结论不要求记忆) 2 (1)S2α :sin 2α =2sin α cos α ,sin

对点讲练 知识点一 化简求值 求下列各式的值. π 5 1 2 2 (1)cos cos π ;(2) - cos 15°. 12 12 3 3 例1

回顾归纳 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系; 另一方面要注意函数名称的转化 方法,同角三角函数关系及诱导公式是常用方法. 变式训练 1 求值:(1)cos 20°?cos 40°?cos 80°; (2)tan 70°?cos 10°?( 3tan 20°-1).

知识点二 化简或证明 例2 3-4cos 2A+cos 4A 4 求证: =tan A. 3+4cos 2A+cos 4A

1

回顾归纳 利用倍角公式证明三角恒等式, 关键是找到左、 右两边式子中角间的倍角关 系,先用倍角公式统一角,再用同角三角函数基本关系式等完成证明. 1+sin 2θ -cos 2θ 变式训练 2 化简: . 1+sin 2θ +cos 2θ

知识点三 条件求值 4 5π 7π ?π ? 若 cos? -x?=- , <x< , 5 4 4 ?4 ? 2 sin 2x-2sin x 求 的值. 1+tan x 例3

回顾归纳 本题采用的“凑角法”是解三角问题的常用技巧, 解题时首先要分析已知条 件和结论中各种角之间的相互关系,并根据这种关系来选择公式. π cos 2x ?π ? 5 变式训练 3 已知 sin? -x?= ,0<x< ,求 的值. 4 4 π ? ? 13 ? ? + x cos? ? ?4 ?

1.对于“二倍角”应该有广义上的理解,如: 3 α α 8α 是 4α 的二倍;6α 是 3α 的二倍;4α 是 2α 的二倍;3α 是 α 的二倍; 是 2 2 4 α α α 2?α * 的二倍; 是 的二倍; n = n+1 (n∈N ). 3 6 2 2 2.二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广泛.二倍角的常用形式: 1+cos 2α 2 2 2 2 ①1+cos 2α =2cos α ,②cos α = ,③1-cos 2α =2sin α ,④sin α = 2 1-cos 2α . 2 课时作业 一、选择题

2

π 2 1.函数 y=2cos (x- )-1 是( 4 A.最小正周期为 π 的奇函数 π B.最小正周期为 的奇函数 2 C.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2

)

cos 2α 2 2.若 =- ,则 cos α +sin α 的值为( π 2 ? ? sin?α - ? 4? ? 1 1 7 B.- C. D. 2 2 2 ?π ? 1 ?2 ? 3.若 sin? -α ?= ,则 cos? π +2α ?的值为( ) 6 3 3 ? ? ? ? 1 7 1 7 A.- B.- C. D. 3 9 3 9 1-tan θ cos 2θ 4.若 =1,则 的值为( ) 2+tan θ 1+sin 2θ A.- A.3 B.-3 C.-2 1 D.- 2 7 2

)

1 5π θ 5.如果|cos θ |= , <θ <3π ,则 sin 的值是( 5 2 2 A.- 10 5 B. 10 5 C.- 15 5 D.

) 15 5

二、填空题 4 6.已知 α 是第二象限的角,tan(π +2α )=- ,则 tan α =________. 3 ? π? 2 7.已知 sin 2α +sin 2α cos α -cos 2α =1,α ∈?0, ?,则 α =________. 2? ? θ 1-cos θ +sin θ 8.已知 tan =3,则 =______. 2 1+cos θ +sin θ 三、解答题 π? 3 π π? 3π ? ? 9.已知 cos?α + ?= , ≤α < ,求 cos?2α + ?的值. 4? 5 2 4? 2 ? ?

8 π π 10 .已知向量 a = (cos x , sin x) , b = ( 2 , 2 ) ,若 a?b = 且 <x< ,求 5 4 2 sin 2x?1+tan x? 的值. 1-tan x
3

3.1.3

二倍角的正弦、余弦、正切公式 答案

知识梳理 2.(1)cos α sin α (2)1±sin 2α 1-cos 2α 1+cos 2α 2α 2α (3) (4)2sin 2cos 2 2 2 2 自主探究 α α 2sin cos 2 2 α α 解 sin α =2sin cos = 2 2 2α 2α cos +sin 2 2 α 2tan 2 = ; 2α 1+tan 2 2α 2α cos -sin 2 2 α α 2 2 cos α =cos -sin = 2 2 2α 2α cos +sin 2 2 2α 1-tan 2 = ; α 2 1+tan 2 α 2tan 2 sin α tan α = = . cos α 2α 1-tan 2 对点讲练 π π 例 1 解 (1)原式=cos ?sin 12 12 1 π 1 = sin = . 2 6 4 1 1 2 (2)原式=- (2cos 15°-1)=- cos 30° 3 3 3 . 6 变式训练 1 解 (1)原式= 2sin 20°?cos 20°?cos 40°?cos 80° 2sin 20° 2sin40°?cos 40°?cos 80° = 4sin 20° =-

4

2sin 80°?cos 80° 8sin 20° sin 160° 1 = = . 8sin 20° 8 sin 70° ? (2)原式= ?cos 10°? cos 70° ? sin 70° ? 3sin = ?cos 10°?? cos 70° ? =

3

sin 20° ? -1 cos 20° ? ?

20°-cos 20°? ? cos 20° ?

1 ? 3 ? cos 20° sin 20°- cos 20°? ? 2 = ?cos 10°?2 2 ? ? sin 20° cos 20° ? ? 2cos 10° = ?(sin 20°cos 30°-cos 20°sin 30°) sin 20° 2cos 10°?sin?-10°? = sin 20° -sin 20° = =-1. sin 20° 2 3-4cos 2A+2cos 2A-1 例 2 证明 ∵左边= 2 3+4cos 2A+2cos 2A-1 2 ?1-cos 2A?2=?2sin2A?2=(tan2A)2 =? ? ? ? ?1+cos 2A? ?2cos A? 4 =tan A=右边. 3-4cos 2A+cos 4A 4 ∴ =tan A. 3+4cos 2A+cos 4A 变式训练 2 解 方法一 原式 ?1-cos 2θ ?+sin 2θ = ?1+cos 2θ ?+sin 2θ 2 2sin θ +2sin θ cos θ = 2 2cos θ +2sin θ cos θ 2sin θ ?sin θ +cos θ ? = 2cos θ ?cos θ +sin θ ? =tan θ 2 2 2 ?sin θ +cos θ ? -?cos θ -sin θ ? 方法二 原式= 2 2 2 ?sin θ +cos θ ? +?cos θ -sin θ ? ?sin θ +cos θ ?[?sin θ +cos θ ?-?cos θ -sin θ ?] = ?sin θ +cos θ ?[?sin θ +cos θ ?+?cos θ -sin θ ?] 2sin θ = =tan θ . 2cos θ 2 sin 2x-2sin x 例3 解 1+tan x 2sin x?cos x-sin x?cos x = cos x+sin x sin 2x?cos x-sin x? = cos x+sin x 1-tan x ?π ? =sin 2x =sin 2xtan? -x? 1+tan x ?4 ? π π ? ? ? ? =cos? -2x?tan? -x? ?2 ? ?4 ?

5

? ? ? ?π ? 2?π =?2cos ? -x?-1?tan? -x?, ? ?4 ? ? ?4 ? 5π 7π ∵ <x< , 4 4 3π π ∴- < -x<-π . 2 4 4 ?π ? 又∵cos? -x?=- , 5 ?4 ? π 3 ? ? 3 ?π ? ∴sin? -x?= ,tan? -x?=- . 4 ?4 ? 5 ?4 ? 21 ? 16 ? ? 3? ∴原式=?2? -1???- ?=- . 100 ? 25 ? ? 4? ?π ? sin? +2x? 2 ? ? 变式训练 3 解 原式= π ? ? cos? +x? ?4 ? π π ? ? ? ? 2sin? +x??cos? +x? ?4 ? ?4 ? ?π ? = =2sin? +x?. 4 π ? ? ? ? cos? +x? ?4 ? π ?π ? ?π ? 5 ∵sin? -x?=cos? +x?= ,且 0<x< , 4 ?4 ? ?4 ? 13 π ?π π ? ∴ +x∈? , ?, 4 ?4 2? ?π ? ? 12 2?π ∴sin? +x?= 1-cos ? +x?= , ?4 ? ?4 ? 13 12 24 ∴原式=2? = . 13 13 课时作业 π π 2 1.A [因为 y=2cos (x- )-1=cos(2x- ) 4 2 2π =sin 2x 为奇函数,T= =π .] 2
cos 2α cos α -sin α 2 2.C [ = =- 2(sin α +cos α )=- .∴sin π 2 2 ? ? sin?α - ? 4 ? 2 ?sin α -cos α ? ? 1 α +cos α = .] 2 ?2 ? ?2 ? 3.B [cos? π +2α ?=-cos[π -? π +2α ?] 3 ? ? ?3 ? π π ? ? ? 2? =-cos? -2α ?=-[1-2sin ? -α ?] ?3 ? ?6 ? π 7 ? 2? =2sin ? -α ?-1=- .] 9 ?6 ? 1-tan θ 1 4.A [∵ =1,∴tan θ =- . 2+tan θ 2 2 2 cos 2θ cos θ -sin θ cos θ -sin θ ∴ = 2= 1+sin 2θ ?sin θ +cos θ ? cos θ +sin θ
6
2 2

? 1? 1-?- ? 1-tan θ ? 2? = = =3.] 1+tan θ ? 1? 1+?- ? ? 2? 5π 1 5.C [∵ <θ <3π ,|cos θ |= , 2 5 1 ∴cos θ <0,cos θ =- . 5 5π θ 3π θ ∵ < < ,∴sin <0. 4 2 2 2 1-cos θ 3 2θ 由 sin = = , 2 2 5
∴sin 1 6.- 2 4 解析 ∵tan(π +2a)=- , 3 4 2tan α ∴tan 2α =- = , 2 3 1-tan α 1 ∴tan α =- 或 tan α =2. 2 1 又 α 在第二象限,∴tan α =- . 2 π 7. 6 2 解析 ∵sin 2α +sin 2α cos α -(cos 2α +1)=0. 2 2 2 2 ∴4sin α cos α +2sin α cos α -2cos α =0. ? π? 2 ∵α ∈?0, ?.∴2cos α >0. 2? ? 2 ∴2sin α +sin α -1=0. 1 ∴sin α = (sin α =-1 舍). 2 π ∴α = . 6 8.3 θ θ 2θ 2sin +2sin cos 2 2 2 1-cos θ +sin θ 解析 = 1+cos θ +sin θ θ θ 2θ 2cos +2sin cos 2 2 2 θ θ ? θ ? 2sin ?sin +cos ? 2 2? 2? θ = =tan =3. θ θ ? 2 θ ? 2cos ?cos +sin ? 2 2 2? ? π? π? ? ? 9.解 sin 2α =-cos?2α + ?=-cos2?α + ? 2? 4? ? ? π ? 7 2? =1-2cos ?α + ?= , 4 ? 25 ? θ 15 =- .] 2 5

7

π 3 ≤α < π , 2 2 3 π 7 ∴ π ≤α + < π ,π ≤2α <3π . 4 4 4 π 3 π 7 ? ? 又 cos?α + ?>0,∴ π <α + < π , 4? 2 4 4 ? 5 3 5 ∴ π <α < π , π <2α <3π , 4 2 2 24 2 ∴cos 2α =- 1-sin 2α =- , 25 π? π π ? ∴cos?2α + ?=cos 2α ?cos -sin 2α ?sin 4? 4 4 ? ∵ 31 2 =- . 50 10.解 ∵a?b= 2cos x+ 2sin x ? π? 8 =2sin?x+ ?= . 4? 5 ? π π π ? ? 4 ∴sin?x+ ?= ,∵ <x< , 4? 5 4 2 ? π π 3 ∴ <x+ < π . 2 4 4 3 4 ? π? ? π? ∴cos?x+ ?=- ,tan?x+ ?=- . 4? 4? 5 3 ? ? sin 2x?1+tan x? ?π ? ? π? ∴ =cos? -2x??tan?x+ ? 4? 1-tan x ?2 ? ? ? ?? ? 4? 2?π =?1-2sin ? -x????- ? 4 ? ? ?? ? 3? π ?? ? 4? ? 2? =?1-2cos ?x+ ????- ? 4 ?? ? 3? ? ? 28 ? ? 3?2? ? 4? =?1-2??- ? ???- ?=- . 75 ? ? 5? ? ? 3?

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