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【专题训练】专题资料:双曲线专项综合练习题及答案(二)


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专题资料:双曲线专项综合练习题及答案(二)
一、选择题 1.到两定点 F1 ?? 3,0? 、 F2 ?3,0? 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹 A.椭圆 2.方程 B.线段 C.双曲线 D.两条射线 ( D. k ? 1 或 k ? ?1 ( C.8
2




<

br />x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 1? k 1? k



A. ?1 ? k ? 1 3. 双曲线 A.4
2

B. k ? 0

C. k ? 0

x2 y2 ? ? 1 的焦距是 m ? 12 4 ? m 2



B. 2 2

D.与 m 有关
2

4.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx +my =mn 所表示的曲线可能是( y o y o y o y o



x

x

x

x

A

B

C

D ( D.
3

5. 双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 A.
3 2



B.3

C.

4 3

6.焦点为 ?0,6? ,且与双曲线 A.
x2 y2 ? ?1 12 24

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 2





B.

y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D.

x2 y2 ? ?1 24 12

7.若 0 ? k ? a ,双曲线 A.相同的虚轴 8.过双曲线 A.28

x2 y2 x2 y2 与双曲线 ? ? 1 ? ? 1有 a2 ? k b2 ? k a2 b2

( D. 相同的焦点



B.相同的实轴

C.相同的渐近线

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 (F2 为右焦点)的周长是( 16 9
B.22
4



C.14

D.12 )

2 9.已知双曲线方程为 x 2 ? y ? 1 ,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 的条数共有(

A.4 条

B.3 条
2 2

C.2 条

D.1 条

10.给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x +y =3; ③ 所有曲线是( A.①③ ) B.②④

x2 x2 ? y2 ?1 ④ ? y 2 ? 1 ,其中与直线 y=-2x-3 有交点的 2 2

C.①②③

D.②③④

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2

二、填空题 11.双曲线 12.与椭圆
x2 y2 ? ? 1 的右焦点到右准线的距离为__________________________. 9 7
10 x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,且两准线间的距离为 的双曲线方程为____________. 3 16 25

13.直线 y ? x ? 1 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,则 AB =__________________. 2 3

14.过点 M (3,?1) 且被点M平分的双曲线 三、解答题

x2 ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程为 4



15.双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ?a ? 0? 的两个焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线上任意一点,求证: 列( O 为坐标原点) .

PF PO、 PF2 1、

成等比数

1 2 2 16.已知动点 P 与双曲线 x -y =1 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos∠F1PF2 的最小值为- . 3 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设 M(0,-1),若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、B,若要使|MA|=|MB|, 试求 k 的取值范围.

17.设双曲线 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,A、B 为其左、右两个顶点,P 是双曲线 C1 上的任意一点, a2 b2

引 QB⊥PB,QA⊥PA,AQ 与 BQ 交于点 Q. (1)求 Q 点的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹为 C2,C1、C2 的离心率分别为 e1、e2,当 e1 ?

2 时,e2 的取值范围

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专题资料:双曲线专项综合练习题(二)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 C 5 B 6 B 7 D 8 A 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.

7 4

12.

y2 x2 ? ?1 5 4

13. 4 6

14. 3 x ? 4 y ? 5 ? 0

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分)[解析]:易知 b ? a, c ? 2a, e ? 2 ,准线方程: x ? ?
a , 则 PF PF2 ? ) 1 ? 2 (x ? 2
2 2 2 2 2

a ,设 P?x, y ? , 2
2

2 (x ?
2

a 2

) , PO ?

a 2 ) ? 2 x2 ? a2 x 2 ? y 2 , ? PF 1 ? PF 2 ? 2( x ? 2

? x ? ( x ? a ) ? x ? y ? PO

? PF PO、 PF2 成等比数列. 1、

16. (12 分) 2 2 [解析]:(1)∵x -y =1,∴c= 2.设|PF1|+|PF2|=2a(常数 a>0),2a>2c=2 2,∴a> 2 2 2 2 2 2 2 |PF1| +|PF2| -|F1F2| (|PF1|+|PF2|) -2|PF1||PF2|-|F1F2| 2a -4 由余弦定理有 cos∠F1PF2= = = -1 2|PF1||PF2| 2|PF1||PF2| |PF1||PF2| |PF1|+|PF2| 2 2 2 ∵|PF1||PF2|≤( ) =a ,∴当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值 a . 2 2 2 2a -4 2a -4 1 2 2 2 2 此时 cos∠F1PF2 取得最小值 2 -1,由题意 -1=- ,解得 a =3, ? b ? a ? c ? 3 ? 2 ? 1 a a2 3 ∴P 点的轨迹方程为 +y =1. 3 (2)设 l:y=kx+m(k≠0),则由, ?

x2

2

? x2 ① ? y2 ? 1 ?3 ? y ? kx ? m ② ?

将②代入①得:(1+3k )x +6kmx+3(m -1)=0

2

2

2

(*)

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 中点 Q(x0,y0)的坐标满足:x0=

x1+x2
2



-3km m 2,y0=kx0+m= 2 1+3k 1+3k

3km m 即 Q(- 2, 2) ∵|MA|=|MB|,∴M 在 AB 的中垂线上, 1+3k 1+3k
2+1 2 1+3k 1+3k ∴klkAB=k· =-1 ,解得 m= …③ 又由于(*)式有两个实数根,知△>0, 3km 2 - 2 1+3k 2 2 2 2 2 即 (6km) -4(1+3k )[3(m -1)]=12(1+3k -m )>0 ④ ,将③代入④得 2 1+3k 2 2 12[1+3k -( ) ]>0,解得-1<k<1,由 k≠0,∴k 的取值范围是 k∈(-1,0)∪(0,1). 2 Q 17. (14 分)[解析]: (1)解法一:设 P(x0,y0), Q(x ,y )

m

? A(?a,0), B(a,0), QB ? PB, QA ? PA y ? y0 ? x ? a ? x ? a ? ?1??(1) ? 0 ?? ? y0 ? y ? ?1??(2) ? ? x0 ? a x ? a
由(1) ? (2)得 : y2 0 x2 ? a2 x2 ? a2 0 ? y2 ? 1?? (3)

?

x2 0 a2

?

y2 0 b2

? 1,?

y2 0 x2 ? a2 0

?

b2 a2

代入(3)得b 2 y 2 ? x 2 a 2 ? a 4 , 即a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4
经检验点 (?a,0), (a,0) 不合,因此 Q 点的轨迹方程为:a x -b y =a (除点(-a,0),(a,0)外).
2 2 2 2 4

解法二:设 P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA ∴

y0 y ? ? ?1 ……(1)连接 PQ,取 PQ 中点 R, x0 ? a x ? a

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4

? PA ? QA, QB ? PB,?| RA |?

1 1 | PQ |, | RB |? | PQ |,?| RA |?| RB |,? R点在y轴上 2 2 x ?x y y x2 ? a2 ? 0 ? 0, 即x 0 ? ? x ?? (2), 把(2)代入(1)得 : 2 0 2 ? ?1,? y 0 ? 0 ?? (3) 2 y a ?x 把(2)(3)代入
2 x0

a2

?

2 y0

b2

? 1, 得

x2 a2

?

(x 2 ? a 2 ) 2 y 2b 2

? 1.? x ? ? a时, 不合题意,? x 2 ? a 2 ? 0

整理得 : a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4 ,? Q点轨迹方程为a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4 (除去点(?a,0), (a,0)外)
(2)解 :由(1)得C 2的方程为 x
2

a2

?

y

2

a2 ? ? 1, e2 ?

a4 b2

2 2 1 b 2 ? 1? a ? 1? a ? 1? 2 2 2 2 2 a b c ?a e ?1

a4

? e1 ? 2 ,

2 ? e2 ? 1?

1 ( 2 ) 2 ?1

? 2,

?1 ? e ? 2

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