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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第十章第七节离散型随机变量及其分布列


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第七节
自 主 落 实 · 固 基 础

离散型随机变量及其分布列

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典 例 探 究 · 提 知 能

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1.离散型随机变量 随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为___________,常 用字母X,Y,ξ,η,?表示.所有取值可以一一列出的随 离散型随机变量 机变量,称为_____________________.

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2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,
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x2 ,?,xi ,?,xn ,X取每一个值xi(i=1,2,?,n)的概
率P(X=xi)=pi,则表
菜 单

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X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

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称为离散型随机变量X的______________. 概率分布列 (2)离散型随机变量的分布列的性质 pi≥0(i=1,2,?,n) ①______________________;
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∑pi=1 i=1 ②__________.

n

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3.常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,其分布列为

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X P
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0 1-p

1 p
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P(X=1) 其中p=____________称为成功概率.





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(2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n
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件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为 - Ck Cn -k M N M Cn P(X=k)=___________,k=0,1,2,?,m,其中 N m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*, 称分布列为超几何分布.

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X

0

1

? ?

m

P

C0 Cn-0 M N-M Cn ___________ N

C1 Cn-1 M N-M Cn __________ N

Cm Cn-m M N-M Cn ________ N

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1.离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实 质代表的是什么?

【提示】

代表的是随机试验的结果.

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2.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确?

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【提示】 判定是否满足:①Pi≥0(i=1,2,?, n n);②∑Pi=1,若不满足,则所求离散型随机变量的 i= 1 分布列不正确.

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1.(人教A版教材习题改编)抛掷甲、乙两颗骰子,所得 点数之和为X,那么X=4表示的基本事件是( A.一颗是3点,一颗是1点 B.两颗都是2点 C.一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点 )

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D.甲是3点,乙是1点或甲是1点,乙是3点或两颗都是
2点 【解析】 【答案】
菜 单

甲是3点,乙是1点与甲是1点,乙是3点是试

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验的两个不同结果,故应选D. D

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2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量 X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于( ) 1 1 2 A.0 B. C. D. 2 3 3 【解析】 由已知得X的所有可能取值为0,1, 且P(X=1)=2P(X=0), 1 由P(X=1)+P(X=0)=1,得P(X=0)= . 3

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【答案】

C





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3.从装有 3 个白球,4 个红球的箱子中,随机取出了 3 个球,恰好是 2 个白球,1 个红球的概率是( ) 4 6 12 36 A. B. C. D. 35 35 35 343
如果将白球视为合格品,红球视为不合格 1 C2C4 3 品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为P= C3 7 12 = . 35
【答案】 C

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【解析】

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i 4.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (i=1,2, 2a 3,4),则 P(2<X≤4)等于( ) 9 7 3 1 A. B. C. D. 10 10 5 2 1 2 3 4 【解析】 由分布列的性质, + + + =1, 2a 2a 2a 2a 则a=5. 3 4 7 ∴P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= + = . 10 10 10
【答案】 B

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设离散型随机变量X的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

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求随机变量η=|X-1|的分布列.

【思路点拨】

先根据概率的性质求m的值,再根据X

的值,确定η=|X-1|的值及相应的概率,最后写出分布列.

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【尝试解答】
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由分布列的性质,知

0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.
列表 X |X-1|
菜 单

0 1

1 0

2 1

3 2

4 3

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∴P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,

P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=0.3,P(η=3)=0.3.
因此η=|X-1|的分布列为:

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η
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0 0.1

1 0.3

2 0.3

3 0.3
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P





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1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要

注意检验,以保证每个概率值均为非负数.
2.若X是随机变量,则η=|X-1|等仍然是随机变量, 求它的分布列可先求出相应随机变量的值,再根据对应的概 率写出分布列.

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随机变量X的分布列如下: X P -1 a 0 b 1 c

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其中,a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.
【解析】 1 2 ,a+c= , 3 3 2 所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c= . 3 2 【答案】 3
菜 单

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由题意知

?2b=a+c ? ? ?a+b+c=1 ?

则2b=1-b,则b=
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(2012·浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球,
且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该 箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变 量X为取出此3球所得分数之和.

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(1)求X的分布列;

(2)求X的数学期望E(X).

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【思路点拨】
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(1)从任取3个球的不同情况计算出X的

所有可能取值,然后求出相应的概率.(2)根据所求的概率分
布列计算出数学期望.
【尝试解答】 (1)由题意得X取3,4,5,6, C1·C2 10 C3 5 4 5 5 且P(X=3)= 3= ,P(X=4)= = , C9 42 C3 21 9 C2·C1 5 C3 1 4 5 4 P(X=5)= = ,P(X=6)= 3= , C3 14 C9 21 9 所以X的分布列为
X P 3 5 42 4 10 21 5 5 14 6 1 21

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(2)由(1)知E(X)=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X= 13 6)= . 3

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1.求随机变量的分布列的主要步骤:(1)明确随机变量

的取值;(2)求每一个随机变量取值的概率;(3)列成表格.
2.求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求 的分布列是否正确.

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某商店试销某种商品20天,获得如下数据:

日销售量(件)

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0

1

2

3

频数
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1

5

9

5
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试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不 变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检 查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否 ... 则不进货,将频率视为概率. ...
菜 单

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(1)求当天商店不进货的概率; ... (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布 列.
【解】 (1)P(当天商店不进货) =P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为1 件) 1 5 3 = + = . 20 20 10

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(2)由题意知,X的可能取值为2,3. 5 1 P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)= = ; 20 4 P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售 1 9 5 3 量为2件)+P(当天商品销售量为3件)= + + = . 20 20 20 4 所以X的分布列为
X P 2 1 4 3 3 4

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(2013· 珠海调研)某饮料公司招聘了一名员工,现对其 进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的

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饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4
杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出 4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若4杯选

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对3杯,则月工资定为2 800元;否则月工资定为2 100元.令 X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没 有鉴别能力.

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(1)求X的分布列;

(2)求此员工月工资的数学期望.
【思路点拨】 (1)选对A饮料的杯数X服从超几何分

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布,运用超几何分布的概率公式求解;(2)寻找Y与X取值之 间的对应关系,从而求出Y的分布列和数学期望.

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【尝试解答】 (1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4. - Ci4·C4 i 4 P(X=i)= (i=0,1,2,3,4). C4 8 0 4 C4C4 1 C1C3 8 4 4 ∴P(X=0)= 4 = ,P(X=1)= 4 = , C8 70 C8 35 C2C2 18 C3C1 8 4 4 4 4 P(X=2)= 4 = ,P(X=3)= 4 = , C8 35 C8 35 C4C0 1 4 4 P(X=4)= 4 = . C8 70

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因此X的分布列是
X P 0 1 70 1 8 35 2 18 35 3 8 35 4 1 70

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(2)令Y表示该员工的月工资,则Y的可能取值为2 100,2 800,3 500. 1 则P(Y=3 500)=P(X=4)= ,P(Y=2 800)=P(X=3) 70 8 53 = ,P(Y=2 100)=P(X≤2)= . 35 70 1 8 53 E(Y)=3 500× +2 800× +2 100× =2 280. 70 35 70 所以此员工月工资的期望为2 280元.

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1.求解本题的关键在于:(1)明确X服从超几何分布,

(2)确定随机变量Y与X取值对应概率间的关系.
2.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为 抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:(1)考察对象 分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中取出若干个;(4) 研究取出某类对象的个数的概率分布.

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3.要善于看出某些实际问题实质是超几何分布,或将
实际问题转化为超几何分布,一种方式就是将一类对象视为

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合格品,另一类对象视为不合格品,再对其进行解释.





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为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法
从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品 中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品 的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

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(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数

量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75时,该产 品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数 量; (3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取

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的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望).

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(1)设乙厂生产的产品数量为x件, 98 x 由分层抽样得, = ,∴x=35, 14 5 因此,乙厂生产的产品数量为35件, (2)由题中表格提供的数据可知,乙厂抽取的5件产品 中有2件优等品,分别是2号和5号,样品中优等品的频率为 2 , 5 由(1)知乙厂共有产品35件, 2 所以估计乙厂优等品的数量为35× =14(件). 5

【解】

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(3)5件抽测品中有2件优等品,则ξ的可能取值为0, 1,2. C1·C1 3 C2 3 C2 3 2 3 2 P(ξ=0)= 2 = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= 2 2 C5 10 C5 5 C5 1 = . 10 分布列为
ξ P 0 3 10 1 3 5 2 1 10

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3 3 1 4 故E(ξ)=0× +1× +2× = . 10 5 10 5
菜 单

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要充分重视分布列的两条重要性质 (1)Pi≥0(i=1,2,?).

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(2)P1+P2+?+Pn=1.
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1.求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及 对应的概率.要注意分类不全面或计算错误.

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2.注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正
误.
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从近两年的高考试题来看,离散型随机变量的分布列是 考查的热点,题型为解答题,属中档题,分布列常与排列、

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组合、概率、均值与方差等知识结合考查,以考查基础知
识、运算能力和理解能力.
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规范解答之十七 概率与统计交汇问题的求解方法

(12分)(2012·广东高考)某班50位学生期中考试数学成
绩的频率分布直方图如图10-7-1所示,其中成绩分组区间 是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100].

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(1)求图中x的值; (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2 人中 成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.
菜 单

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【规范解答】

(1)由频率分布直方图知(0.006×3+0.01

+x+0.054)×10=1,
解得x=0.018.3分

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(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为 (0.018+0.006)×10×50=12,成绩在90分以上(含90分)的 人数为0.006×10×50=3.5分 因此ξ可能取0,1,2三个值. C1·C1 9 C2 6 9 3 9 P(ξ=0)= 2 = ,P(ξ=1)= = , 2 C12 11 C12 22 C2 1 3 P(ξ=2)= 2 = .9分 C12 22 ξ的分布列为
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ξ P

0 6 11

1 9 22

2 1 22

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6 9 1 1 故E(ξ)=0× +1× +2× = .12分 11 22 22 2

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【解题程序】

第一步:根据频率分布直方图,计算x

的值;
第二步:根据频率分布直方图分析成绩不低于80分和90 分以上的人数; 第三步:依题意,确定ξ的取值,并求ξ取每一个值的概 率;

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第四步:列出分布列,并计算ξ的数学期望;
第五步:检验易错点,规范结论.

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易错提示:(1)不能正确运用频率分布直方图求出x的值 及有关数据. (2)计算能力差,求错P(ξ=k)(k=0,1,2)的概率,导致

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错误.
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(3)解题步骤不规范,没有适当的文字说明. 防范措施:(1)认真审题,根据题目要求,准确从图表 中提取信息.
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(2)正确找出随机变量ξ的取值,并求出取每一个值的概

率,提高计算能力.
(3)要 注 意 语 言 叙述 的规范性 , 解 题 步 骤 应 清 楚、 正 确、完整,不要漏掉必要说明及避免出现严重跳步现象.

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1.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧 的,从盒子中任取 3 个球来用,用完即为旧,用完后 装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值为( ) 1 27 27 21 A. B. C. D. 220 55 220 55
事件“X=4”表示取出的 3 个球有 1 个 C1C2 27 9 3 新球,2 个旧球,故 P(X=4)= 3 = . C12 220
【答案】
菜 单

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【解】

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C

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2.(2012·江苏高考)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方

体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱
平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ= 1. (1)求概率P(ξ=0); (2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).

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【解】 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶 点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8C 2 对相 3 8C2 8×3 4 3 交棱,因此P(ξ=0)= 2 = = . C12 66 11
菜 单

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(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或 2 ,其中距离 为 2的共有6对, 6 1 故P(ξ= 2)= 2 = ,于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ C12 11 4 1 6 = 2)=1- - = , 11 11 11 所以随机变量ξ的分布列是
ξ P(ξ) 0 4 11 1 6 11 2 1 11

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6 1 6+ 2 因此E(ξ)=1× + 2× = . 11 11 11
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课后作业(七十)

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