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高三数学第八章第2课时精品课件


第2课时

两直线的位置关系

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考纲展示 1.能根据两条直线的斜率 判定这两条直线平行或垂 直. 2.能用解方程组的方法求 两条相交直线的交点坐 标. 3.掌握两点间的距离公 式、点到直线的距离公 式,会求两条平行直线间 的距离. 备考指南

1.两条直线的平行与垂 直,点到直线的距离,两

点间距离是命题的热 点. 2.对于距离问题多融入 解答题中,注重考查分类 讨论与数形结合思想,题 型多为客观题,难度中、 低档.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

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教材回顾?夯实双基
基础梳理

1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别为 k1、k2,则 k1=k2 有 l1∥l2?_________.特别地,当直线 l1、l2 的斜率都不 平行 存在时,l1 与 l2_________. (2)两条直线垂直: 如果两条直线 l1、l2 斜率存在,设为 k1、k2,则 l1⊥l2? k1k2=-1 ______________.当一条直线斜率为零,另一条直线斜率 垂直 不存在时,两直线_________. ②如果直线 l1: 1x+B1y+C1=0,2: 2x+B2y+C2=0, A l A 则 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.
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2.两直线相交 交点:直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=
?A x+B y+C =0 ? 1 1 1 ? 0 的公共点的坐标与方程组 ?A2x+B2y+C2=0 ?

的解一一

对应. 唯一解 相交?方程组有________,交点坐标就是方程组的解;平 无解 无数个解 行?方程组______;重合?方程组有____________.

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3.三种距离公式 (1)点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离:
?x2-x1?2+?y2-y1?2 |AB|=___________________.

(2)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离:

|Ax0+By0+C| A2+B2 d=_______________________.
(3)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=

|C2-C1| A2+B2 0(C1≠C2)间的距离为 d=________________.
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思考探究
运用距离公式时应注意什么? 提示:点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程, 在运用该公式时,应首先把直线方程化为一般式;在运用 两平行线间的距离公式时,要注意先把两直线方程中x,y的

系数化成相等的形式.

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课前热身 1. (教材习题改编)直线 ax+2y-1=0 与直线 2x-3y-1=0 垂直,则 a 的值为( ) 4 A.-3 B.- 3 C.2 D.3
a 2 解析:选 D.由(- )× =-1,得:a=3. 2 3

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2.(2012· 高考浙江卷)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax +2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 C.由 a=1 可得 l1∥l2,反之,由 l1∥l2 可 得 a=1,故选 C.

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3.点(a,b)关于直线 x+y+1=0 的对称点是( A.(-a-1,-b-1) C.(-a,-b) B.(-b-1,-a-1) D.(-b,-a)

)

解析:选 B.设对称点为(x′,y′),则

? ? ?x′+a y′+b ? 2 + 2 +1=0, ?
y′-b ×?-1?=-1, x′-a 解得:x′=-b-1,y′=-a-1.

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4.(教材习题改编)已知直线 l1:y=x,若直线 l2⊥l1,则直 线 l2 的倾斜角为________.

3π 解析:∵l1⊥l2,∴k2=-1.故倾斜角为 . 4
3π 答案: 4

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5.平行线 l1:3x-2y-5=0 与 l2:6x-4y+3=0 之间的距离 为________.

3 解析: 直线 l2 变为: 3x-2y+ =0, 由平行线间的距离公式得: 2 13 d= 2 = . 2 2 3 +?-2?
13 答案: 2

3 |-5- | 2

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考点探究?讲练互动
考点突破 考点1 两直线的平行与垂直

例1 (1)已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互 相垂直,则实数 a=________. (2)“ab=4”是直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平 行的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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【解析】 (1)由题意知(a+2)a=-1,所以 a2+2a+1=0, 则 a=-1. (2)直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行的充要条 2 b 1 件是- =- 且- ≠-1,即 ab=4 且 a≠1, 则“ab=4” 2 a a 是“直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行”的必 要而不充分条件.
【答案】 (1)-1 (2)C

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【规律小结】 (1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解 决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 和 l2,l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1·2=-1.若有一条直线的斜率 k 不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意. (2)①若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x +b2,则:直线 l1⊥l2 的充要条件是 k1·2=-1. k ②设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则:l1⊥ l2?A1A2+B1B2=0.

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跟踪训练 1.已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0.试确 定 m、n 的值,使(1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1);(2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. 2 ?m -8+n=0 ? 解:(1)由题意得? ,解得 m=1,n=7. ?2m-m-1=0 ?
(2)当 m=0 时,显然 l1 不平行于 l2; m 8 n 当 m≠0 时,由 = ≠ , 2 m -1
?m· ? m-8×2=0, 得? ?8×?-1?-n· m≠0, ?

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?m=4, ?m=-4, ? ? ∴? 或? ? ? ?n≠-2, ?n≠2.

即 m=4,n≠-2 时或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2. (3)当且仅当 m· 2+8· m=0,即 m=0 时,l1⊥l2. n 又- =-1,∴n=8. 8 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

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考点 2

两直线的交点问题

例2 求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的
交点,且垂直于直线 l3:3x-5y+6=0 的直线 l 的方程.
【解】
?3x+2y-1=0 ? 法一:先解方程组? , ?5x+2y+1=0 ?

得 l1、l2 的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由 l3 的斜率 ,求出 l 的斜率为- , 5 3

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5 于是由直线的点斜式方程求出 l:y-2=- (x+1), 3 即 5x+3y-1=0. 法二: 由于 l⊥l3, l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条. 故 而 l 过 l1、l2 的交点(-1,2), 故 5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0.

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【规律小结】 运用直线系方程,有时会给解题带来方便, 常见的直线系方程有: (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是: Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C); (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m =0(m∈R); (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的 交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ ∈R),但不包括 l2.

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跟踪训练 2.直线 l 被两条直线 l1:4x+y+3=0 和 l2:3x-5y-5=0 截得的线段的中点为 P(-1,2),求直线 l 的方程.

解:法一:设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0,y0),由已知条件, 得 直 线 l 与 l2 的 交 点 为 B( - 2 - x0,4 - y0), 并 且 满 足 ?4x0+y0+3=0, ?
? ?3?-2-x0?-5?4-y0?-5=0, ? ?4x0+y0+3=0, ?x0=-2, ? ? 即? 解得? ?3x0-5y0+31=0, ?y0=5, ? ?

y-2 x-?-1? 因此直线 l 的方程为 = , 5-2 -2-?-1?

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即 3x+y+1=0. 法二:设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1), 即 kx-y+k+2=0.
?kx-y+k+2=0, ? -k-5 由? 得 x= . k+4 ?4x+y+3=0, ? ?kx-y+k+2=0, ? -5k-15 由? 得 x= . 5k-3 ? ?3x-5y-5=0,

-k-5 -5k-15 由 + =-2,解得 k=-3. k+4 5k-3 因此所求直线方程为 y-2=-3(x+1),即 3x+y+1=0.

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考点 3

距离公式的应用 (2012· 高考浙江卷)定义:曲线 C 上的点到直线

例3

l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+ 4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=________.

【解析】 因曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距 |0-?-4?| 离为 - 2=2 2- 2= 2,则曲线 C1 与直线 l 不 2 能相交,即 x2+a>x,∴x2+a-x>0.

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设 C1:y=x2+a 上一点为(x0,y0), |x0-y0| -x0+x2 +a 0 则点(x0,y0)到直线 l 的距离 d= = = 2 2 12 1 ?x0- ? +a- 2 4 2 4a-1 9 ≥ = 2,所以 a= . 4 4 2

9 【答案】 4
【名师点评】 本题依据题意巧妙去掉距离公式中的绝对 值,从而化难为易.

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跟踪训练 - 3.函数 y=a2x 2(a>0,a≠1)的图像恒过点 A,若直线 l: mx+ny-1=0 经过点 A,则坐标原点 O 到直线 l 的距离的 最大值为________.
解析:由指数函数的性质可得,函数 y=a2x 2(a>0,a≠1) 的图像恒过点 A(1,1). 法一:∵A∈l,∴m+n-1=0,即 m+n=1,由基本不等 1 1 2 式可得,m +n ≥ (m+n) = .O 到直线 2 2
2 2


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1 l 的距离 d= ≤ = 2,∴O 到直线 l 的距离的最大 2 2 2 m +n 2 值为 2. 法二:∵直线 l:mx+ny-1=0 经过点 A(1,1), ∴坐标原点 O 到直线 l 的距离的最大值为|OA|= 2.

1

答案: 2

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方法感悟
1.一般情况下,与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程可 设为 Ax+By+m=0,与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线方 程可设为 Bx-Ay+n=0,在用待定系数法求直线方程时, 这种设法可以避免对斜率是否存在的讨论. 2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时, 直线方程必须先化为 Ax+By+C=0 形式后才能指出 A, B, C 的值,否则会出错.

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名师讲坛?精彩呈现
难题易解 对称问题 例
求直线 l:3x-2y=1 关于点 P(2,2)对称的直线的方程.

【解】 法一:设直线 l 关于点 P 的对称直线为 l′,在 l′上任 取一点 A(x,y),它关于点 P(2,2)的对称点为 A1(x1,y1).

? ? 则? y +y ? 2 =2, ?
1

x1+x =2, 2

?x1=4-x, ? ∴? ? ?y1=4-y.

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∵点 A1(x1,y1)在直线 l 上,∴3x1-2y1=1. ∴3(4-x)-2(4-y)=1,即 3x-2y-3=0. 法二:∵l∥l′,∴设 l′:3x-2y+c=0. 由 点 P(2,2) 到 l 的 距 离 等 于 到 l′ 的 距 离 , 得 |3×2-2×2+c| |3×2-2×2-1| = . 2 2 2 2 3 +2 3 +2 整理得|2+c|=1, ∴c=-3,或 c=-1, 当 c=-1 时是直线 l; 当 c=-3 时,对称直线 l′的方程为 3x-2y-3=0. 法三:在 l 上任取两点 A(-1,-2),B(1,1), 点 A,B 关于点 P 的对称点为 A1(5,6),B1(3,3). 由点 A1,B1 可得对称直线 l′的方程为 3x-2y-3=0.
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【方法提炼】

直线关于点对称可转化为点关于点的对称问题,

利用中点坐标公式求解;或转化为点 P 到直线 l 及对称直线 l′ 的距离相等求解,本例中的三种解法,后两种思维复杂且计算量 较大,相比法一思维简单步骤简捷、计算量较少,不易出错.

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跟踪训练 4. 求点 A(-7,1)关于直线 l: 2x-y-5=0 对称的点 A′的坐标.
解:如图所示,设 A′(a,b),则线段 AA′的中点 B 的坐标为 a-7 b+1 ( , ). 2 2 ∵点 B 在直线 l 上 , a-7 b+1 ∴2· - -5=0. 2 2

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即 2a-b-25=0.① 又直线 AA′与直线 l 垂直, ∴kAA′ ·l=-1, k b-1 即 · 2=-1, a+7 ∴2b-2=-a-7,即 a+2b+5=0.② ?a+2b+5=0, ?a=9, ? ? 由①②,得? 解得? ? ? ?2a-b-25=0, ?b=-7, ∴A′的坐标为(9,-7).

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知能演练?轻松闯关

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