2014 年河北省高中数学竞赛(高二年级组) 一、填空题:共 8 道小题, 每小题 8 分,共 64 分, 将每小题的答案填在题后的横线上. 1. 集合 M ? x log sin x cos x ? 0 中元素的个数是________________. 2. 已 知 a ? 0, 3 , b ? 0,3 , 则 直 线 ax ? by ? 2 ? 0 与 圆 x 2 ? y 2 ? 1 有 公 共 点 的 概 率 为 ________________. 3. 四 边 形
?
?
? ?
? ?
A B C外 D 界
圆
的
半
径
为
1,
圆
心
为
O
,
且
2OA ? AB ? AD ? 0 , OA ? AB , CD ? CB , 则 DA ? DC =________________.
4. 球 O 是棱长为 2 的正方体 ABCD — A 1B 1C1 D 1 的内切球, 现以 A 为球心 2 为半径做球 A , 则两球面交线的长度为________________. 5. 对 任 意 实 数 k , 方 程 ________________.
1? ? 1? ? x ? ? ? k x ? a 的解集非空,则 a 的取值范围是 2? ?
2
? x ? 0, 2x2 ? 9 y 2 ? 4 x ? 2 ? y ? x , 6. 设 x , y 满足约束条件 ? 则 的最大值是________________. 2 ? x ? 1? ?2 x ? 3 y ? 6, ?
7. 计算 sin 10? ? sin 50? ? cos 40? cos80? =________________.
2 2
8. 若
1 1 1 1 1 log a (a ? 1) * 对任意 n ? 2 , n ? N 恒成 ? ??? ? ? ? 2 n ?1 n?2 2n ? 1 2n 3
立, 则 a 的取值范围是________________. 二、解答题:共 6 道小题, 共 86 分, 解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤. 9.(本小题满分 14 分) 已知正整数 n 不超过 2014, 并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和, 求这样的 n 的个数. 10.(本小题满分 14 分)
O 是坐标原点, 过 O 点的直线与圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 0 及圆 C2 : x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 0
分别交于除 O 点之外的不同两点 Q , P , 求 PQ 中点 S 的轨迹方程.
11.(本小题满分 14 分) 已知 E , F 分别为棱长为 2 的正方体 ABCD —葝�2*掍猐.擱 E 葝�2*掍猐. D 1 的棱 B (1)在棱 A1B1 上是否有一点 G , 使得 AG / /面FBED1 , 并说明理由; (2)求 C1 到平面 FBED1 的距离;
(3)求平面 FBED1 与平面 CC1D1D 所成锐二面角的正弦值.
D1 C1
E
A1 B1
D F A B
C
12.(本小题满分 14 分)
2 2 △ ABC 中, 三条高 AH1 , BH 2 , CH3 成等差数列, 三条中线的平方 AM12 , BM 2 , CM 3 也成等
差数列, 求 ? B 的大小. 13.(本小题满分 15 分) 若 x , y , z 为正实数, 求 f ? x, y, z ? ?
? 2 ? 5 y ?? 3x ? z ?? x ? 3 y ?? 2 z ? 5? 的最小值.
xyz
14.(本小题满分 15 分) 已知 a , b , c 是实数, 函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c , g ? x ? ? ax ? b(a ? 0) .
2
(1)证明:若 f ? x ? ? x 无实根, 则 f
? f ? x?? ? x 也无实根;
(2)若当 ?1 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 1 , 证明: g ? x ? ? 2 ; (3)设 a ? 0 , 在(2)的条件下, 若 g ? x ? 的最大值为 2, 求 f ? x ? .