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求异面直线间距离的一种方法




28










.

. . . . . 口爪 , . ,.


BD





9

.



如图9



,

.

已知 A C
BCD

一一

.

,

. . . . . .

, . . 门. . .

.

. .. . .



=

a

b
a

是圆 内接 四 边 形 A





d


s

in A BC +
+





b

e

两 条对 角 线 求证 证明
a
:

二 6 干;万
ZR ZR
s s



D 飞i 石 百 人

a a

d

+

be
e

in A BC in BA D

一一
e

d s in A BC
in A B C
-



‘, . .

.



s

D B 从


b +
=

d

… S
+

^

:

。。

(其 中 R 为 己 知 圆 的 半 径 )

d i B AD
s n

b

e s

in B A D



9

(作 者 单 位

:

江 苏 省 江 阴 县教 师 进 修 学 校 )

求 异 面 直 线 间 距 离的 一 种 方 法
陆 志
对 于求 异 面 直 线 间 的 距 离 棘手



3
.

,

学生 往 往 感 到 比 较

在 确定 的 平 面 内 由 N 向 前 一 条直 线 作 垂 线
;
,
.

,

本 文 拟 利 用 代 数 中求 极 质 的 方 法 解 决这 一 问
:

垂足为P
4
,





它的 想法 是

两 条 异 面 直 线 的 公 垂 线 在 这两 条
, 。

异 面 直 线 间 的 浅 段 是分 别 在 这 两 条 直 线上 各 取 一 点 所连 结 的 线 段 中 最 短 的 一 条
例1 正方形A
.

x 连 结 M P 根 据 己 给 条 件 求 出M P 是 的 二 次 函 数 后 再 求 M P 的 极 小 值 即为 异 面 直 线 间 的 距

,





BC D




A

I

B

,

C

,

D

:

的 棱 氏为

a

,

求A
A
,

I

C



与B D I 可的 距 离
如 图
C
,


C

i

,



A G为 轴 ) 例 2 等 边 圆 锥 底 面 半 径 为 R (图 2 S A B 的底 角 的平 B D 为底面圆 的 面 线 又 截 分 一 条 弦 它和A B 成3 0 角 求 A C 和 B D 间 的距 离
.

,

,

,



,



上任 取 一 点 M

,





MN

上底 面A
A C

、、
_

垂足落
A 佗与
,





M


,

解 在 A C上 任 取 一 点 作 M N I 底 面 垂足 N 在
.

在 底面 正 方形 A B c D 的

对 角 线
BD



,

D

人一 ,


{
_




底 面 圆 的直 径 A
MN

x
.

B



,

并设


MN
=
e

灼 交 点 记 作P
,

连结
.



MP

并 设M N
A



-

二 x

一 谈

1

AN

=

t

g30


0

=


X

3
.

x

,

M N


N B

Z R



3

A



在底面内作N


P 土E D
o

,



N P

=

N Bs in 30



x 侧百 )

2



PN







2

a






,

Z

x

1
“ 二



(Z R

=

R

在 R t△ M
=
x ,

N p



MP
。 一

MN
Z
x

Z

+

PN


Z




+



+

(述





)

2

3 (x

a

)

在R t △ M N


P中
+

,

M PZ


=

MN
?



N PZ

二 x

Z

(R

+

1 一a

Z



,



4 7

(



又 “ ”>

0

,

M ’ .


”的 极 小

值 述



?

就 是听 求 。
丫 ” ”> 。
,

!




R ,



+



生R

:

A : C与 B D J 司的 距 离

’ ” ” 极小 值 .


由 例 1 的 解 法可 以 看 出

,

这种方法 分 以 下 四

A C 与B D I 旬的 距 离
.

竿


“就

是所 求 的



:

a 例 3 正 三 棱 锥底 面 边 长 为

(图 3 )

,

侧 棱长

1

.

确定一个平 面

,

使 它过 异 面 直 线 中的 一 条 直

为一

线 面

(如 过 B D 的 平 面 A
2
.

) C
=

;
,

互 一


求对棱I 旬的 E巨离

在 另一 条 直 线 上 任 取 一 点 M
,

作 所 确定 的 平

的垂线M N



设M N

x ;

I 司的 距 离 不妨 求 S A 与 B C 在 S A 上任 取 一 点 M 作 M N I 面 A B C
,

1 9
丫 :
.

8
=

3

年 第 四 期
C
.

.

29

.

乙 S人B
垂足
N

乙SA

- 一

.

.



. . 口 . . . . . . . 臼

.

. .. . .. . .. . .. .

. .

落在 正 三 角 形
的高 A
.

于是

,

NP



A P



A N
,

=

A B C 的 B C边

P




4



一 、/

3



.




连结
=
X ,

Mp

井设

MN

N 鑫
MN

AO

: 。


弓 U

,



A N

=



3

x



3

在 R t△ M N
一 丫一 一
3 2
a

P
x


)
.

MPZ


MN


Z

+

NPZ

二 x Z +




0
。 ,

3



(x

3 8



3 6 1

?


又 M P>

:

M 的极小值 P




就 是所 求 对

棱间 的 距 离 : ( 作 者 单位

山 西 省 太 原 市 第十 三 中 学 )








李 缮 继







在 平 面几 何 里


,

添 设 辅 助 线 往 往 是解 决 问题 的
, ,

由余 弦 定 理
C 。 s

,

关 键 同 样 在解 立体 几 何 问 题 时 除 了 要 添 设 辅 助线 外 还 往 往 要 添 设辅 助 面 这 是 由 于 空 间 的 一
,

,

。=

侧2 1 士 9 到 i
20 C


?



侧B i
,

OB


些问题

,

转化

,

常 常 需 要 转 化 为平 面 问 题 加 以 解 决 这 种 要 靠 添 设辅助 面 来 实 现 本 文 拟 就 这 个 问 题
。 。



2

谈 些 粗 浅 体会




,

2

通过 分 析 图 形 上 有 关 元 素 的 位 置 关 系
,



(宁 ) (穿 )
?



,

?

2





?

设辅 助 线

构 成辅 助 面
,



,

有些 空 } 酬 司 题 对 于 没 有 树 起 空 间 概 念 的 初学 往 往 看不 出 图 形之 间 的 位 置 关 系 因 而 也 就 理
,


故0
和A I
C


=

a

rC

C OS

3 1

? 引 导 学 生 观 察 空间 两 条 垂 直 相 交 的 线 段
,

AE

不 出解 题 的 思 路
面 的位 置 关 系
,
,

教 师应 抓 住 图 中 重 要 的 点




线
,



引导 学生进行观察


分析

,

联想辅

的平 面

,

/ 三 角 形 所在 所 确 定 约平 面 正 好 是 A A 连接A C 则问题就转化 为在直 角△ A l 人C
C
,

助 面 必 要 时 还可 添 设 一些 辅 助 线 以 构 成 辅 助 面 从而 把 空 间 问 题转 化 为 平 面问 题 a ’ 与 正 方 体 的 棱 长为 例 1 如图 1 ? 求AC
.



,

有关系式

器 看 。

=

‘ 如图 3 ’

?

,

.

D B ‘之夹

角断 ?过 A 作对 角 线 A ,
1
J

C 之垂线A E

,

求证


E C


2

了万 ‘
.

解 ? 只 要 引 导学 ’ 都 生 观 察 出 A C 和D B l c 上 在 对 角 面D A B 那 么 问题 显 然 就 成 为 求


,

《 、

矩 形 D 人B 图
2 )
.



C ‘ 两 条对


(

线 的交 角 的 间 题 了



{

,


}
}
1

\

:



.

, △A A

E

。△A
,

CE

,





AA A E E C一 A c

召2

Z
a



鑫 互 i

) 肉(

2

.

E C







通 过 分 析 待 证 的结 论
,

,

联 想 需 作 的辅 助 面
,

添 设辅 助 面虽 然 没 有一 般 的 规律 可 循

但 若能

紧 扣 题 中所 给 的 条 件

去分 析 待 证 的 结 论
;

,

常能 使

我 们 联 想 到 需 作 的 辅助面


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