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2015年全国高中数学联赛模拟试题06


2015 全国高中数学联赛模拟试题 06 一试 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? x 2 的值域是 .

2. 已知 a, b, c 成等比数列, logc a,logb c,loga b 成等差数列,则该等差数列的公差为 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .

>4.设椭圆

x2 y2 ? ? 1 与双曲线 xy ? 1 相切,则 t ? t ?1 t ?1

. .

5.设 z 是复数,则 | z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 的最小值等于
3 2

6.设 a , b , c 是实数,若方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个非负实根构成公差为 1 的等差数列, 则 a ? b ? 3c 的最大值是 . 7.设 O 是 ?ABC 的内心, AB ? 5 , AC ? 6 , BC ? 7 , OP ? xOA ? yOB ? zOC ,

0 ? x, y, z ? 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是 二、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分)

. .

9.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 .

10. 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c, g ? x ? ? 3 x ? 2ax ? b 及△ ABC 满足下列条件:
3 2 2

(1) ?A, ?B, ?C 成等差数列;(2) tan B 为方程 f ? x ? ? 0 的一个根, 求 f ? x ? , g ? x ? 及 ?A, ?B, ?C 的度数

(3) tan A, tan C 为方程 g ? x ? ? 0 的两个不相等的实根;(4) f (tan A) ? f (tan C ) ? 0

11.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 做直线 l 与抛物线交于 A, B (1)求证:△ AOB 不是直角三角形;
2

(2)当 l 斜率为

1 时,抛物线上是否存在点 C 使得△ ABC 为直角三角形,若存在,求出所有的点 C ;若 2

不存在,说明理由

2015 全国高中数学联赛模拟试题 06 加试 一(本题满分 40 分) 如图, 在△ ABC 中,AB ? AC , O 是△ ABC 的外接圆, 过点 A 作 O 的切线交 BC 延长线于点 D , 过点 B, C 作 BC 的两条垂线分别与 AB, AC 的中垂线交于点 E , F . 求证: D, E, F 三点共线

二、(本题满分 40 分)

已知无穷正数数列 an 满足: (1) 存在 m ? R , 使得 ai ? m ? i ? 1,2,

? ?

(2) 对任意正整数 i , j ? i ? j ? ?;

均有 ai ? a j ?

1 ,求证: m ? 1 i? j

三、(本题满分 50 分)

设 a, b, c, d ? N 满足: bc ? ad ? 1 ,集合 A ? ?1, 2, 3,

, a ? c ? 1? , B ? ?ia i ? N ? ,

如果 k ? A ? B ,求证: ? k ? ? ? k ? (其中 x 表示不超过 x 的最大整数) a c

?b ? ? ?

?d ? ? ?

? ?

四、(本题满分 50 分)

? p ? i 1 ? i ? n? 均为 mod n 的完全剩余系
i

求所有的自然数 n , 使得存在 ?1,2,

, n? 的一个置换 ? p1 , p2 ,

集合 ? pi ? i 1 ? i ? n? 和 , pn ? 满足:

2015 全国高中数学联赛模拟试题 06 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? x 2 的值域是 . 解: ? 4 ? 2 5,8? .提示:因 0 ? x ? 4 ,设 x ? 2 ? 2 cos ? ( 0 ? ? ? ? ),

?

?

则 y ? 4cos ? ? 2sin ? ? 4 ? 2 5 cos(? ? ? ) ? 4 (其中 cos ? ? 所以当 ? ? 0 时, ymax ? 8 ,当 ? ? ? ? ? 时, ymin

2 1 , sin ? ? , ? 为锐角), 5 5 ? ? 4 ? 2 5 ,故 y ? ? ? 4 ? 2 5,8? .

2. 已知 a, b, c 成等比数列, logc a,logb c,loga b 成等差数列,则该等差数列的公差为

3 2 因为 a, b, c 成等比数列,所以 b ? ac ,所以 logb a ? logb c ? 2 ,设 x ? logb a, y ? logb c , 2 x 1 则 x ? y ? 2 又因为 logc a , log ? ? 2 y 于是 b c , log a b 成等差数列,所以 logc a ? log a b ? 2log b c, 即 y x
解: 0 或

2 x 3 ? 9 x 2 ? 9 x ? 2 ? 0 即 ( x ? 1)(2 x 2 ? 7 x ? 2) ? 0 , x ? 1 或 x ?

3 7 ? 33 故d ? 或 0 2 4

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 . 解:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所 成二面角 ? 的两倍.∵ tan ? ? 2 ,∴ cos ? ?
2

1 1 1 ? ,则 cos 2? ? 2cos 2 ? ?1 ? ? . 2 1 ? tan ? 3 3
.

4.设椭圆

x2 y2 ? ? 1 与双曲线 xy ? 1 相切,则 t ? t ?1 t ?1

? x ? t ? 1cos ? x2 y2 ? ? ? 1 知, t ? 1 ,设其参数方程为 ? ( ? 为参数)代入双曲线方程 t ?1 t ?1 y ? t ? 1sin ? ? ? 2 2 xy ? 1 ,得 sin 2? ? .因两曲线相切,∴ ? 1 ,故 t ? 5 . 2 2 t ?1 t ?1 5.设 z 是复数,则 | z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 的最小值等于 . 解:在复平面上,设 A(?1, 0) , B(1, 0) , C (0,1) ,则当 Z 为 ?ABC 的费马点时,| z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 取
解:由椭圆方程

3 2 3 2 3 ? ? ? 1? 3 . 3 3 3 3 2 6.设 a , b , c 是实数,若方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个非负实根构成公差为 1 的等差数列, 则 a ? b ? 3c 的最大值是 . 3 2 解:设三个根为 ? ? 1 , ? , ? ? 1 ,则 x ? ax ? bx ? c ? ( x ? ? ? 1)( x ? ? )( x ? ? ? 1) ,右边展开与左边比 2 较得 ? a ? 3? ,b ? (? ?1)? ? ? (? ? 1) ? (? ? 1)(? ?1) ? 3? ?1 ,?c ? (? ? 1)? (? ? 1) , 消去 ? 得 a ? 0 且
得最小值,最小值为 1 ?

a2 a3 a a3 a 2 a 2 ? 2a ? 0 得 a ? ?2 或 a ? 0 . ? 1, c ? ? ,故 a ? b ? 3c ? g (a) ? ? ? 1 ,设 g '(a) ? 9 3 3 3 27 3 5 所以 g (a ) 在 ? ??, ?2? 递增,在 ? ?2,0 ? 递减,所以 (a ? b ? 3c) max ? g ( ?2) ? ? 9 7.设 O 是 ?ABC 的内心, AB ? 5 , AC ? 6 , BC ? 7 , OP ? xOA ? yOB ? zOC , 0 ? x, y, z ? 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 . 解:如图,根据向量加法的几何意义,知点 P 在图中的三个平形四边形及其内部运动, 所以动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于 ?ABC 面积的 2 倍,即 12 6 b?
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是 解:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有 C 个三角形,其中直角三角形有 12 ? C
3 8
3 12 ? C4 6 ? . 3 C8 7

.
3 4 个,所求“构成直

角三角形”的概率是

三、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 .

解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数.又 a5,a6,a7 成等比数列, 所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. ??????4 分

当 n≤6 时,an =n-4,由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2,
?n-4,n≤4, ? 所以,当 n≥5 时,an =2n-5. 故 an =? n-5 ?2 , n≥5. ?

???????8 分

(2) 由(1)知,数列 ?an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,? 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

???????12 分

当 m≥5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 .故所求 m= 1,或 m=3. ???????16 分 10. 已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c, g ? x ? ? 3 x 2 ? 2ax ? b 及△ ABC 满足下列条件: (1) ?A, ?B, ?C 成等差数列;(2) tan B 为方程 f ? x ? ? 0 的一个根, (3) tan A, tan C 为方程 g ? x ? ? 0 的两个不相等的实根;(4) f (tan A) ? f (tan C ) ? 0 求 f ? x ? , g ? x ? 及 ?A, ?B, ?C 的度数

11.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 做直线 l 与抛物线交于 A, B (1)求证:△ AOB 不是直角三角形;
2

(2)当 l 斜率为

1 时,抛物线上是否存在点 C 使得△ ABC 为直角三角形,若存在,求出所有的点 C ;若 2

不存在,说明理由

2015 全国高中数学联赛模拟试题 06 加试 一(本题满分 40 分) 如图, 在△ ABC 中,AB ? AC , O 是△ ABC 的外接圆, 过点 A 作 O 的切线交 BC 延长线于点 D , 过点 B, C 作 BC 的两条垂线分别与 AB, AC 的中垂线交于点 E , F . 求证: D, E, F 三点共线

二、(本题满分 40 分)

已知无穷正数数列 an 满足:(1)存在 m ? R ,使得 ai ? m ? i ? 1,2,

? ?

?;
1 , i? j

(2)对任意正整数 i , j ? i ? j ? 均有 ai ? a j ? 求证: m ? 1

三、(本题满分 50 分)

设 a, b, c, d ? N 满足: bc ? ad ? 1 ,集合 A ? ?1, 2, 3,

, a ? c ? 1? , B ? ?ia i ? N ? ,

如果 k ? A ? B ,求证: ? k ? ? ? k ? (其中 x 表示不超过 x 的最大整数) a c

?b ? ? ?

?d ? ? ?

? ?

四、(本题满分 50 分)

? p ? i 1 ? i ? n? 均为 mod n 的完全剩余系
i

求所有的自然数 n , 使得存在 ?1,2,

, n? 的一个置换 ? p1 , p2 ,

集合 ? pi ? i 1 ? i ? n? 和 , pn ? 满足:


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