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2014届新课标高中数学(文)第一轮总复习第12章第66讲 互斥事件的概率[2014高考数学]


“至多”“至少”选取 的概率
【例1】 在一只袋子中装有4个红玻璃球,3个绿玻 璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次 只取一个,试求: (1)取得两个绿球的概率; (2)至少取得一个红球的概率.

【解析】记4个红玻璃球为a1,a2,a3,a4, 3个绿 玻璃球为b1,b2,b3 .第一次抽取有7种结果,对 第一次抽取的每种结果,第二次抽取时又

有6 种结果,故共有7 ? 6=42种结果.

?1? 记“取得两个绿球”为事件A,则A有(b1,b2 ),
(b1,b3 ), 2,b1 ), 2,b3 ), 3,b1 ), 3,b2 )6种可能, (b (b (b (b 6 1 所以P ? A ?= = . 42 7 ? 2 ? 记“至少取得一个红球”为事件B,则事件B是 事件A的对立事件. 1 6 所以P ? B ?=1-P ? A ?=1- = . 7 7

从袋中取球问题是概率中的重要 题型,通过枚举法或画树形图找出随 机事件的结果的个数,利用等可能性 事件求出概率,再通过互斥事件的概 率加法公式达到求解的目的.在求解 时,要注意灵活运用公式.

【变式练习1】 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人 数相应的概率如下:

排队人数 0 0.1 概率

1 0.16

2 0.3

3 0.3

4 5人及5人以上 0.1 0.04

求: (1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?

【解析】记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等 候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排 队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5 人排队等候”为事件F. 则事件A、B、C、D、E、F互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C, 所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+ 0.16+0.3=0.56. (2)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F, 所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+ 0.1+0.04=0.44.

互斥事件的概率
【例2】 小张在一次射击中射中10环、9环、8环、7 环 、 7 环 以 下 的 概 率 分 别 为 0.24 、 0.28 、 0.19、0.16、0.13,计算小张在一次射击中: (1)射中10环或9环的概率; (2)射中不够8环的概率.

【 解 析 】 记 “ 射 中 10 环 ” 、 “ 射 中 9 环”、“射中8环”、“射中7环”、 “射中7环以下”的事件分别为A、B、 C、D、E,则 (1)射中10环或9环的概率为P(A+B)= P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52; (2)射中不够8环的概率为P(D+E)=P(D) +P(E)=0.16+0.13=0.29.

要注意理解各个事件之间的关 系,分清哪些是互斥的,哪些不互 斥.在将一个事件拆分为n个互斥 事件时,要做到不重不漏.

【变式练习2】 高一军训时,某同学射击1次,命中10 环 , 9 环 , 8 环 的 概 率 分 别 是 0.13,0.28,0.31.求: (1)射击1次,至少命中8环的概率; (2)射击1次,命中不足9环的概率.

【解析】设事件 " 射击1次,命中k 环"为事件Ak 由题意知P ? A10 ?=0.13,P ? A9 ?=0.28,P ? A8 ?=0.31. (k ? N且k ? 10)且事件Ak (k=0,1, 2, , 两两互斥. ? 10)

?1? 记“射击1次,至少命中8环 的事件为B,那么 当A10 A9或A8之一发生时,事件B就发生,故P ? B ? =P( A10+A9+A8 )=P ? A10 ?+P ? A9 ?+P ? A8 ?
=0.13+0.28+0.31=0.72.

? 2 ? “射击1次命中不足9环 的事件A是“射击1次
命中9环或10环 的对立事件 A 故P ? A ?=1-P( A 1-[ P ? A10 ?+P ? A9 ?] = =1-0.41=0.59.

互斥事件及应用
【例3】 一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑 球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个 球.求: (1)取出的1个球是红球或黑球的概率; (2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.

【解析】方法1: ? 从12个球中任取1球得红球有 ?1 5种取法,得黑球有4种取法,则得红球或黑球 共有5+4=9种不同取法. 又从12个球中任取一个球,共有12种取法, 9 3 所以任取1球得红球或黑球的概率为P= = . 1 12 4 ? 2 ? 从12个球中任取1球得红球有5种取法,得黑 球有4种取法,得白球有2种取法,从而得红球 5 ? 4 ? 2 11 或黑球或白球的概率为P2= = . 12 12

方法2: (利用互斥事件求概率) 记事件A1={任取1球为红球};A2={任取1球为黑球}; A3={任取1球为白球};A4={任取1球为绿球},则 5 4 2 1 P ? A1 ?= ,P ? A2 ?= ,P ? A3 ?= ,P ? A4 ?= . 12 12 12 12 根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥. 由互斥事件的概率加法公式,得

?1? 取出1球为红球或黑球的概率为
5 4 3 P( A1+A2 )=P ? A1 ?+P ? A2 ?= ? = . 12 12 4 ? 2 ? 取出1球为红球或黑球或白球的概率为 5 4 2 11 P( A1+A2+A3 )=P ? A1 ?+P ? A2 ?+P ? A3 ?= ? ? ? . 12 12 12 12

解决此类问题,首先应结合互斥 事件和对立事件的定义分析出是不是 互斥事件和对立事件,再决定使用哪 一个公式,不要由于乱套公式而导致 出错.同时,要注意分类讨论和等价 转化两种数学思想和方法的运用.

【变式练习3】 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、 1 绿球.从中任取一球,得到红球的概率是 , 3 5 得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿 12 5 球的概率也是 .试求得到黑球、得到黄球、 12 得到绿球的概率各是多少?

【解析】从袋中任取一球,记事件“得到红球”、 “得到黑球”、得到黄球”、得到绿球”分别为A、 “ “ 5 B、C、D,则有P ( B+C )=P ? B ?+P ? C ?= ; 12 5 P (C+D )=P ? C ?+P ? D ?= ;P ( B+C+D )= 12 1 2 1 1 1-P ? A ?=1- ? ,解得P ? B ?= ,P(C)= , 3 3 4 6 1 P ? D ?= . 4 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率 1 1 1 分别是 、 、 . 4 6 4

1.某人在打靶中,连续射击3次,事件 “至少有一次中靶”的互斥事件是3 次都不中靶,该互斥事件是对立事件 吗?答 是 _______(是,否)

2.掷一枚骰子,设事件A表示事件“出 现3点”,事件B表示事件“出现偶数 2 点”,则P(A+B)等于________ 3
1 1 【解析】由题意,知P ? A ?= ,P(B)= . 6 2 又事件A与事件B是互斥事件, 2 故P( A+B )=P ? A ?+P ? B ?= . 3

3.某城市有甲,乙两种报纸供居民订阅,记 事件A“只订甲报”,事件B“至少订一种报”, 事件C“至多订一种报”,事件D“不订甲报”, 事件E“一种报都不订”,则下列5对事件中, ② 是 互 斥 事 件 的 是 ______ , 是 对 立 事 件 的 是 ② _______ . ①A与C; ②B与E; ③B与D; ④B与C; ⑤C与E 【解析】①A与C不是互斥事件;②B与E是 对立事件;③B与D不是互斥事件;④B与C 不是互斥事件;⑤C与E不是互斥事件.

4.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽 1 取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 ,取 4 1 到方块(事件B)的概率是 ,问: 4 ?1? 取到红色牌(事件C )的概率是多少?

? 2 ? 取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

【解析】1?因为取到红心(事件A)与取到方块(事 ? 件B)不能同时发生,所以事件A与事件B是互斥 事件,且有C=A+B, 1 所以P ? C ?=P ? A ?+P ? B ?= . 2 ? 2 ?因为取一张牌时,取到红色牌(事件C )与取 到黑色牌(事件D)不可能同时发生,所以事件 C与事件D是互斥事件.又由于两者中必有一 个发生,所以事件C与事件D是对立事件,所 1 以P ? D ?=1-P ? C ?= . 2

5.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来 越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两 小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、乙两人互相独立来该租车 点租车骑游(各租一车一次). 设甲、 乙不超过两小时还车的概 1 1 率分别为4、2;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别 1 1 为2、4;两人租车时间都不会超过四小时.

(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的 概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率.

【解析】(1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四
小时还车为事件 A、B, 1 1 1 1 1 1 则 P(A)=1-4-2=4,P(B)=1-2-4=4. 答:甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概 1 1 率分别为4、4.

(2)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元为事件 C, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 则 P(C)=(4×2)+(4×4+2×2)+(2×4+4×2+4×4)=4. 3 答:甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率为4.

1.求复杂的互斥事件的概率,一般有两种方法: 一是直接求解法,即将所求事件的概率分解 成一些彼此互斥的事件的概率的和,分解后的每 个事件概率的计算通常为等可能性事件的概率计 算,这时应注意事件是否互斥,是否完备; 二是间接求解法,先求出此事件的对立事件 的概率,再用公式P ? A ?=1-P ( A).若解决 "至多"、 "至少"型的题目,用后一种方法就显得比较方便.

2.解题时注意“互斥事件”与 “对立事件”的区别与联系,搞清 楚“互斥事件”与“等可能性事件” 的差异.


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