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2010湖北荆州中学高一数学上学期


2010-2011 高一数学集合与函数单元测试
班级 姓名 学号 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题只有一项是符合要求的) 1、 已知集合 A= x y ? x , x ? Z ,B= y y ? x , x ? Z ,则 A 与 B 的关系是( )
2 2

?

?

>
?

?

A

A? B

B

AB? A

C

B? A

D

A? B ? ?

2、设全集 U ={1,2,3,4,5}, A ? CU B ? ?1,2? ,则集合 CU A ? B 的子集个数为( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

3、设 A={ x | 0 ? x ? 2 }, B={ y | 0 ? y ? 2 }, 下列各图中能表示从集合 A 到集合 B 的映射是

3 2 1 0
( )

y

3 2 1
1 2 3 A. x

y
3 2 1

y

3 2 1

y

0

1 2 3 B.

x

0

1 2 3 C.

x

0

1 2 3 D.

x

4、已知函数 f ( x) ? ax 2 ? x ? c ,且 f ( x) ? 0 的解集为(-2,1)则函数 y ? f (? x) 的图 象为( )

? 1 ?x ? , x ? A ? 1? ?1 ? 5、设集合 A= ?0, ? , B= ? ,1? , 函数 f(x)= ? 若 x0 ? A, 且 f [ f 2 ? 2? ?2 ? ?2 ?1 ? x ? , x ? B, ?
(x 0 )] ? A ,则 x 0 的取值范围是( A. ? 0, ? 4 )

? ?

1? ?

B. ?

? 1 1? , ? ? 4 2?

C. ?

?1 1? , ? ?4 2?

D. ?0, ? 8

? 3? ? ?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数” , 那么函数解析式为 y ? 2 x ? 1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有
2





A.10 个

B.9 个

C.8 个

D.4 个

1

7、函数 y ?

1 ? x2 是 x ?1 ? x ? 2
B.偶函数 C.非奇非偶函数





A.奇函数

D.是奇函数又是偶函数

8、已知 y = f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在( 0 , + ? )上是减函数,如果 x1 < 0 , x2 > 0 , 且| x1 | < | x2 | , 则有( ) A.f (-x1 ) + f (-x2 ) > 0 B. f ( x1 ) + f ( x2 ) < 0 C. f (-x1 ) -f (-x2 ) > 0 D. f ( x1 ) -f ( x2 ) < 0 9、 设函数 f ( x) ? 解的个数为 (A). 1

?

x 2 ? bx ? c, x ? 0, 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f ( x) ? x 的 2, x ? 0.
(B)2 (C)3 (D)4 ( )

二、填空题:本答题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 11、设 f(x)是定义在(0,+?)上的减函数,那么 f(2)与 f(a2+2a+2)的大小关系是 _____ 12、满足条件{0,1}∪A={0,1}的所有集合 A 的个数是 个

(x 13、已知 f ( x) ? ?1   ? 0) ,则不等式 x ? ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 5 的解集是 ? (x ??1   ? 0)

15、已知 f ( x) ? ?

( x ? 9) ?x ? 3 , 则f (7) ? ? f [ f ( x ? 4)]( x ? 9)

第一章
一、选择题: 题号 答案 二、填空题 11、 14 1 2 3

《集合与函数概念》单元测试题答卷
4 5 6 7 8 9 10

; ;

12 15



13

三、解答题: (满分 75 分,要求写出详细的解题过程)

2

y
17.(本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 . (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)在右边所给的坐标第中画出该函数的图象; (3)写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间(不要求证 明).

x O

20. (本小题共 12 分)某企业为适应市场需求,准备投入资金 20 万元生产 W 和 R 型两种 产品。经市场预测,生产 W 型产品所获利润 yW (万元)与投入资金 xW (万元)成正比 例关系,且当投入资金为 6 万元时,可获利润 1.2 万元。生产 R 型产品所获利润 yR (万 元)与投入资金 xR (万元)满足关系 y R ?

5 xR 。为获得最大总利润,问生产 W、R 4

型产品各应投入资金多少万元?获得的最大总利润是多少?(精确到 0.01 万元)

3

21、 (满分 14 分) 若非零函数 f (x) 对任意实数 a, b 均有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (1)求证: f ( x) ? 0 时,解不等式 f ( x ? 3) ? f (5 ? x ) ?
2

; (2)求证: f (x) 为减函数

(3)当 f ( 4) ?

1 16

1 4

4

参考答案
一、选择题:CDBDC 二、填空题:
2

BBCCB

11. f(2)> f(a +2a+2) ; 14. 2010 ; 三、解答题:

12. 4 ; 15. 6

13.

2 ? ??,? ;

16、解:? A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4,5,6? ?????2 分 (1)又? B ? C ? ?3?

? A ? ( B ? C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4,5,6? ??6 分
(2)又? B ? C ? ?1,2,3,4,5,6? 得 CA (B ? C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0?

? A ? CA ( B ? C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0?

?????12 分

17、解: A={-3, 2}

1 时,B= ? , B ? A 成立 ???????4 分 4 1 1 ⑵ 当△=0,即 a ? 时,B={ ? }, B ? A 不成立?????8 分 4 2 1 ⑶ 当△>0,即 a ? 时,若 B ? A 成立 则:B={-3, 2} 4
⑴ 当△<0,即 a ? ∴ a= -3x2=-6 ???????????????12 分

18、解: (1)由已知方程 f(x)=0 的两根为-3 和 2(a<0) 由韦达定理得

?8 ? b ? a ? ?1 ? a ? ?3 ? ?? ? ? ? a ? ab ? ?6 ?b ? 5 ? a ?
从而 f ( x) ? ?3x ? 3x ? 18 ????????????????6 分
2
2 (2) f ( x) ? ?3( x ? x ? ) ? 18

1 4

3 1 2 3 = ? 3( x ? ) ? 18 4 2 4
5

而 x ? [0,1] 对称轴 x ? ?

1 , 从而 f ( x)在[0,1] 上为减函数 2

所以,当 x ? 0时, f max ( x) ? 18,当x ? 1 , f min ( x) ? 12 时 故所求函数 f (x) 的值域为[12,18]??????????12 分

19、 (1)当 x<0 时,-x>0, f (? x) ? ?( x)2 ? 2(? x) ? ? x2 ? 2 x 又 f(x)为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ? ? x2 ? 2 x ,∴

f(x)=x2+2x,∴m=2
y=f(x)的图象如右所示

?????4 分 ?????6 分

?? x 2 ? 2 x ? (2)由(1)知 f(x)= ?0 ? x2 ? 2x ?

( x ? 0) ( x ? 0) ,?8 分 ( x ? 0)

由图象可知, f ( x ) 在[-1,1]上单调递增,要使 f ( x ) 在[-1,|a|-2]上单调递

增,只需 ?

?| a | ?2 ? ?1 ?| a | ?2 ? 1

?????10 分 ?????12 分

解之得 ?3 ? a ? ?1或1 ? a ? 3

20、 (1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f ( x ) 万元,B 产品的利润为 g ( x) 万元, 由题设 f ( x ) = k1 ? x , g ( x) = k2 ? x ,.

1 1 5 5 ? k1 ? ,又 g (4) ? ? k 2 ? 4 4 4 2 1 5 x , ( x ? 0) 从而 f ( x ) = x, ( x ? 0) , g ( x) = 4 4
由图知 f (1) ?

?????6 分

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10- x 万元,设企业的利润为 y 万元 Y= f ( x ) + g (10 ? x) = 令 10 ? x ? t , 则y ? 当t ?

x 5 1 0 ? 10 ? x , 0 ? x ? ( 4 4

) ,

10 ? t 2 5 1 5 25 ? t ? ? (t ? ) 2 ? , (0 ? t ? 10), 4 4 4 2 16

5 25 , ymax ? 4 ,此时 x ? 10 ? =3.75 2 4
?????12 分

? 当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,
企业获得最大利润约为 4 万元。

6

21、解: (1) f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? 0
2

x 2

x 2

x 2

又若 f(x0)=0, 则 f(x)=f(x- x0+ x0)=f(x-x0)f(x0)=0 与已经矛盾, 故 f(x)> 0 ??????????4 分 (2)设 x1 ? x2 则 x1 ? x2 ? 0 又 ∵ f (x) 为非零函数

? f ( x1 ? x2 ) ?

f (x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) f (x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x2 ) f ( x2 )

=

f ( x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x2 )
??????????9 分
2

f (x) 为减函数
(3)由 f (4) ? f (2) ?

1 1 ,由( ) f (2) ? 1 ? 16 4

原不等式转化为 f ( x ? 3 ? 5 ? x 2 ) ? f (2) ,结合(2)得:

x ? 2 ? x2 ? 2 ? 0 ? x ? 1
故不等式的解集为 ?x | 0 ? x ? 1?; ??????????14 分

7


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