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第1章 §1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.4(三)


1.2.4 平面与平面的位置关系(三) 两平面垂直的性质 自主学案
自学导引 1. 两个平面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们 交线 的直线垂直 于 另一个平面. 该定理用图形表示为:

该定理用符号表示为:α⊥β,α∩β=l,a?α, a⊥l?a⊥β.

2.如果两个平面互相垂直,那么经过第一

个平面内的 一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

图形表示为:

符号表示为:α⊥β,A∈α,A∈a,a⊥β?a?α. 3.已知平面α⊥平面β,a?α,a⊥β,那么 a∥α (a与α的位置关系).

对点讲练
知识点一 理解面面垂直的有关性质 例 1 若有平面α与β,且α∩ β=l,α⊥β,P∈α, P?l,则下列说法中错误的是________(填序号). ①过点 P 且垂直于α的直线平行于β; ②过点 P 且垂直于 l 的平面平行于 β; ③过点 P 且垂直于β的直线在α 内; ④过点 P 且垂直于 l 的直线不确定.

解析 如图 1 所示, 设过点 P 垂直于α的直线为 b, 过 l 上的任意一点 A 作直线 a,使 a⊥l,且 a?β.因为α ⊥β,所以 a⊥α.所以 a∥b.根据直线与平面平行的判 定定理可知 b∥β.所以①正确.

图 1

如图 2 所示,过点 P 作 a⊥l,垂足为 A.过点 A 作直线 b⊥l,且 a?α,b?β . 设过直线 a、b 的平面为 γ, 因为 a⊥l,b⊥l,a∩b=A, 所以 l⊥γ .又因为α⊥β,所以

γ与β所成二面角的平面角为

图 2

∠CAP,且∠CAP=90° .所以β ⊥γ .所以②不正确. 如图 3 所示,过点 P 在平面α内作直线 a⊥l.根据两平 面垂直的性质定理可知: β .又因为在同一个平面内 a⊥ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以③正 确.

如图 4 所示,过点 P 垂直于直线 l 的直线可能在平面

α内,也可能不在平面 α内.
过点 P 作直线 a⊥l 交 l 于点 A,过点 A 作直线 b⊥l, 且 a?α , β, b? 根据 α⊥β及线面垂直的性质定理, 可知 l⊥BP.因为 BP?α,所以④正确.

答案



点评

本题考查面面垂直的性质定理及其相关的结

论,深刻理解面面垂直的性质定理及其有关结论是解 决此类问题的关键.此类问题一般为填空题,对于正 确的命题可用相关结论画出图形进行证明,对于错误 的命题,可举反例进行说明.

变式训练 1 判断下列命题的真假. (1)两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们 交线垂直的直线,必垂直于另一个平面; (2)两个平面垂直,分别在这两个平面内且互相垂直 的两直线,一定分别与另一平面垂直; (3)两平面垂直,分别在这两个平面内的两直线互相 垂直.

解 (1)若该点在两个平面的交线上, 则命题是错误的,即此命题是假命题. (2)该命题注意了直线在平面内,但不 能保证这两条直线都与棱垂直,此命 题是假命题. (3)如图正方体中, 平面 A D D ′A ′⊥平面 A B C D , D ′ A ?平面 A D D ′A ′,A C ?平面 A B C D ,A D ′与 A C 所 成的角为 60° ,即 A D ′与 A C 不垂直,此命题是假命 题.

知识点二

面面垂直的性质定理的应用

例 2 如图所示,P 是四边形 A B C D 所在平面外的一点,A B C D 是∠D A B = 60°且边长为 a 的菱形.侧面 P A D 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABC D . (1)若 G 为 A D 边的中点,求证:B G ⊥平面 P A D ; (2)求证:A D ⊥P B .

证明

(1)由题知△P A D 为正三角形, 是 A D 的中点, G

∴P G ⊥A D . 又平面 P A D ⊥平面 A B C D , ∴P G ⊥平面 A B C D ,∴P G ⊥B G . 又∵四边形 A B C D 是菱形且∠D A B = 60°, ∴△A B D 是正三角形,∴B G ⊥A D . 又 A D ∩P G = G ,∴B G ⊥平面 P A D . (2)由(1)可知 B G ⊥A D ,P G ⊥A D . 所以 A D ⊥平面 P B G ,所以 A D ⊥P B .

点评

证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判

定定理,再一种方法是利用面面垂直的性质定理,本 题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利 用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要 注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中 一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.

变式训练 2 如图所示,四棱锥 P —A B C D 的底面是边长为 a 的菱形,∠B C D = 120°, 平面 P C D ⊥平面 A B C D ,P C = a,P D = 2 a, E 为 P A 的中点.求证:平面 E D B ⊥平面 ABC D .
证明 设 A C ∩B D = O ,

连接 E O , 则 E O ∥P C . ∵P C = C D = a, P D = 2 a,

∴P C 2+ C D 2= P D 2, ∴P C ⊥C D . ∵平面 P C D ⊥平面 A B C D ,C D 为交线, ∴P C ⊥平面 A B C D , ∴E O ⊥平面 A B C D . 又 E O ?平面 E D B , 故有平面 E D B ⊥平面 A B C D .

知识点三 例3

线线、线面、面面垂直的综合应用

平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,

AE⊥平面 PBC,E 为垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角 三角形. 证明 (1)在平面 A B C 内取一点 D ,
作 D F ⊥A C 于 F . ∵平面 P A C ⊥平面 A B C ,且交线 为 AC , ∴D F ⊥平面 P A C ,P A ?平面 P A C , ∴D F ⊥A P .

作 D G ⊥A B 于 G . 同理可证 D G ⊥A P . D G 、D F 都在平面 A B C 内,且 D G ∩D F = D , ∴P A ⊥平面 A B C . (2)连接 B E 并延长交 P C 于 H . ∵E 是△P B C 的垂心,∴P C ⊥B E . 又已知 A E 是平面 P B C 的垂线,∴P C ⊥A E . ∴P C ⊥面 A B E . C ⊥A B . ∴P 又∵P A ⊥平面 A B C ,∴P A ⊥A B . 又 P C ∩P A = P ,∴A B ⊥平面 P A C . ∴A B ⊥A C ,即△A B C 是直角三角形.

点评

证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限

于一个方面,有时需考虑多种情况的综合. 在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的 直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面 内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面 垂直,进而转化为线线垂直.

变式训练 3

在三棱锥 P —A B C 中,P A ⊥平面 A B C ,

平面 P A B ⊥平面 P B C . 求证:B C ⊥A B . 证明 在平面 P A B 内,作 A D ⊥P B 于 D .
∵平面 P A B ⊥平面 P B C , 且平面 P A B ∩平面 P B C = P B , ∴A D ⊥平面 P B C . 又 B C ?平面 P B C ,∴A D ⊥B C . 又∵P A ⊥平面 A B C ,B C ?平面 A B C , ∴P A ⊥B C ,∴B C ⊥平面 P A B . 又 A B ?平面 P A B ,∴B C ⊥A B .

课堂小结 1.“如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一 点垂直于第二个平面的直线, 在第一个平面内”可 作为面面垂直的一个性质定理. 2.运用两个平面垂直的性质定理时,一般需要作辅助 线, 其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面 内作交线的垂线,这样,就把面面垂直转化为线面 垂直或线线垂直.

3.无论从判定还是从性质来看,线线垂直、线面垂直 和面面垂直都是密切相关的,面对复杂的空间图 形,要善于发现它们之间的内在联系,找出解决问 题的切入点,垂直关系的转化为:

课时作业
一、填空题

1 1.过平面α的一条斜线可作________个平面与平面 α
垂直.
2.平面α⊥平面β,a?α,b?β,且 b∥α,a⊥b,

a⊥β 则 a 和β的位置关系是________.

3.已知三条不重合的直线 m、n、l,两个不重合的平 面α, β,有下列命题: ①若 m∥n,n?α ,则 m∥α; ②若 l⊥α ,m⊥β且 l∥m,则α∥ β; ③若 m? α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β; ④若α ⊥β ,α∩β=m,n?β,n⊥m,则 n⊥α . 其中正确的命题是________(填序号). ②④

4.下列命题中错误的是________(填序号). ① ①如果平面 α⊥ β,那么 α内所有直线都垂直于 平面β ; ②如果平面 α⊥ β,那么 α内一定存在直线平行 于平面 β; ③如果平面 α不垂直于平面 β ,那么α 内一定不 存在直线垂直于平面β ; ④如果平面 α⊥平面 γ,平面 β ⊥平面 γ , α∩

β=l,那么 l⊥γ.

5.如图所示,平面α⊥平面β,A∈ α, B∈ β,AB 与两平面α、 β所成的 π π 角分别为 和 .过 A、B 分别作两 4 6 平面交线的垂线,垂足分别为 A′、B′,则 AB∶A′B′ 等于________.

解析 如图:
π , 由已知得 A A ′⊥面β,∠A B A ′= 6 π

B B ′⊥面α,∠B A B ′= 设 A B = a,则 B A ′= 在 Rt△B A ′B ′中, A ′B ′=
3 2

4



a,B B ′=

2 2

a,

AB 2 1 a,∴ A?B? ? 1 . 2

答案

2:1

6. 如图, 四边形 ABCD 中, AD∥BC, AD=AB, ∠BCD =45° ,∠BAD=90° .将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD, 构成三棱锥 A-BCD.则在三棱锥

④ A-BCD 中,下列命题正确的是________(填序号).

①平面ABD⊥平面ABC

②平面ADC⊥平面BDC
③平面ABC⊥平面BDC ④平面ADC⊥平面ABC

7.如图,两个正方形 ABCD 和 ADEF 所在平面互相垂直,设 M、N 分别 是 BD 和 AE 的中点,那么①AD ⊥MN;②MN∥平面 CDE;③MN ∥CE;④MN、CE 异面. 其中结论正确的是________(填序号). ①②③

8.已知三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB, SAC,SBC 两两互相垂直,底面 ABC 上一点 P 到三个面 SAB、 SAC,SBC 的距离分别为 2,1,

3 6,则 PS 的长度为________.

二、解答题 9.在四棱锥 A—BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC⊥底 面 BCDE,BC=2,CD= 2, AB=AC. 证明:AD⊥CE.
证明 如图所示,作 AO⊥BC,垂足为 O,连接 OD, 由于 AO⊥BC 且平面 ABC⊥平面 BCDE, 所以 AO⊥底 面 BCDE,且 O 为 BC 中点,



Rt△O C D ∽Rt△C D E , 从而∠O D C =∠C E D ,于是 C E ⊥O D . 又∵C E ⊥A O ,A O ∩O D =O ∴C E ⊥平面 A O D ∵A D ?平面 A O D ,∴A D ⊥C E .

OC CD 1 知, ? ? CD DE 2

10.如图所示,已知△BCD 中, ∠BCD=90° ,BC=CD=1, AB⊥平面 BCD,∠ADB=60° , E、F 分别是 AC、AD 上的动 AE AF 点,且AC=AD=λ(0<λ<1). (1)求证:不论 λ 为何值,恒有平面 BEF⊥平面 ABC; (2)当 λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

(1)证明

因为 AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD,

所以 AB⊥CD. 因为 CD⊥BC 且 AB∩BC=B,所以 CD⊥平面 ABC. AE AF 又AC=AD=λ(0<λ<1),所以不论 λ 为何值, 恒有 EF∥CD.所以 EF⊥平面 ABC. 又 EF?平面 BEF,所以不论 λ 为何值,恒有平面 BEF⊥平面 ABC.

(2)解

由(1)知,EF⊥平面 ABC,BE?平面 ABC,

所以 BE⊥EF. 假设平面 BEF⊥平面 ACD,则 BE⊥平面 ACD, AC?平面 ACD,所以 BE⊥AC. 因为 BC=CD=1,∠BCD=90° ,∠ADB=60° , 所以 BD= 2,AB= 2tan 60° 6. = 所以 AC= AB2+BC2= 7. 6 2 由 AB =AE· AC,得 AE= . 7 AE 6 6 所以 λ=AC= .故当 λ= 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7 7


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