当前位置:首页 >> 数学 >>

浙江省2016届高三数学专题复习 专题二 三角函数与平面向量 理


专题二

三角函数与平面向量
真题体验?引领卷

一、选择题 1.(2015?全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( A.- 3 2 B. D. 3 2 1 2 ) )

1 C.- 2

2.(2014?全国卷Ⅰ)若 tan α >0,则( A.s

in α >0 C.sin 2α >0

B.cos α >0 D.cos 2α >0
→ →

3.(2015?全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则(
→ 1→ 4→ A.AD=- AB+ AC 3 3 → 1→ 4→ B.AD= AB- AC 3 3 → 4→ 1→ C.AD= AB+ AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3

)

4.(2014?江西高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 3a=2b,则 2sin B-sin A 的值为( 2 sin A 1 A.- 9 C.1
2 2

) B. D. 1 3 7 2

5.(2014?四川高考)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角 等于 c 与 b 的夹角,则 m=( A.-2 C.1 ) B.-1 D.2

6. (2015?全国卷Ⅰ)函数 f(x)=cos(ω x+φ )的部分图象如图所示, 则 f(x)的单调递减区 间为( )

1

1 3? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 3? ? 1 C.?k- ,k+ ?,k∈Z 4? ? 4 1 3? ? D.?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4 4? ? 二、填空题 7.(2015?天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面 1 积为 3 15,b-c=2,cos A=- ,则 a 的值为________. 4 8.(2015?全国卷Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值 范围是________.

1 9.(2015?浙江高考)已知 e1,e2 是空间单位向量,e1?e2= ,若空间向量 b 满足 b?e1=2, 2

b?e2= ,且对于任意 x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则 x0
=__________,y0=________,|b|=________. 三、解答题 10.(2015?全国卷Ⅱ)在△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面 积的 2 倍. sin B (1)求 ; sin C (2)若 AD=1,DC= 2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

5 2

π? 2 2? 11.(2015?天津高考)已知函数 f(x)=sin x-sin ?x- ?,x∈R. 6? ?
2

(1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 3 4?

π? 2? 12.(2015?山东高考)设 f(x)=sin xcos x-cos ?x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f? ?=0,a=1,求△ABC 面积的 ?2? 最大值.

?A?

专题二 三角函数与平面向量 经典模拟?演练卷 一、选择题 1.(2015?德州模拟)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a?b=( A.1 C.3 B.2 D.5 )

2.(2015?吉林实验中学三模)已知向量 a=(sin θ ,-2),b=(1,cos θ ),且 a⊥b,则 sin 2θ +cos θ 的值为( A.1 1 C. 2
2

) B.2 D.3

π? ? 3. (2015?宁波三模)已知函数 f(x)=2sin?ω x- ?+1(x∈R)图象的一条对称轴为 x=π , 6? ? 其中 ω 为常数,且 ω ∈(1,2),则函数 f(x)的最小正周期为( 3π A. 5 9π C. 5 B. D. 6π 5 12π 5 )

3

π 4. (2015?河北质检)已知函数 f(x)=sin 2x 的图象向左平移 个单位后, 得到函数 y=g(x) 6 的图象,下列关于 y=g(x)的说法正确的是( )

? π ? A.图象关于点?- ,0?中心对称 ? 3 ?
π B.图象关于 x=- 轴对称 6 π? ? 5π C.在区间?- ,- ?上单调递增 6? ? 12

? π π? D.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3?
5.(2015?南昌调研)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) π +6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 9 3 B. 2 3 3 C. 2 ) D.3 3
2 2

? π? 6.(2015?湖州模拟)已知偶函数 f(x),当 x∈?0, ?时 f(x)=xsin x,设 a=f(cos 1), 2? ?
b=f(cos 2),c=f(cos 3),则 a,b,c 的大小关系为(
A.a<b<c C.c>b>a 二、填空题 π? π ? 7.(2015?杭州高级中学模拟)将函数 f(x)=2sin?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单 3 3ω ? ? B.c>a>b D.a>c>b )

? π? 位, 得到函数 y=g(x)的图象, 若 y=g(x)在?0, ?上为增函数, 则 ω 的最大值为________. 4? ?
→ → → → → → →

8.(2015?德州模拟)已知向量AB与AC的夹角为 60°,且|AB|=|AC|=2,若AP=λ AB+AC,
→ →

且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________. 9.(2015?嘉兴一中模拟)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ac=b -a ,
2 2

A= ,则 B=________.
三、解答题 10 . (2015? 武 汉 模 拟 改 编 ) 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x) = Asin(ω x + π? ? φ )?ω >0,|φ |< ?在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: 2? ? ω x+φ 0 π 2 π 3π 2 2π

π 6

4

x Asin(ω x+φ )
0

π 3 5

5π 6 -5 0

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ (θ >0)个单位长度, 得到 y=g(x)的图象. 若y =g(x)图象的一个对称中心为?

?5π ,0?,求 θ 的最小值. ? ? 12 ?

11.(2015?舟山中学调研)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 3acos A=ccos

B+bcos C.
(1)求 cos A 的值; 2 3 (2)若 a=2 3,cos B+cos C= ,求边 c. 3

1 ?π ? 2 12.(2015?杭州学军中学模拟)已知函数 f(x)= 3sin ω x?sin? +ω x? -cos ω x- 2 ?2 ? π (ω >0),其图象两相邻对称轴间的距离为 . 2 (1)求 ω 的值及 f(x)的单调增区间; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c= 7,f(C)=0,若向量 m=(1, sin A)与向量 n=(3,sin B)共线,求 a,b 的值.

专题二 三角函数与平面向量 专题过关?提升卷 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题
→ →

1.设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,EB+FC=(

)
5



A.AD


1→ B. AD 2 1→ D. BC 2
2

C.BC

2.已知向量 a=(2,1),b-a=(-3,k -3),则 k=2 是 a⊥b 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

)

2 3. 已知|a|=4, |b|=1, 且 〈a, b〉 = π, 当|a+xb|取得最小值时, 则实数 x 的值为( 3 A.1 C.2 B.-1 D.-2

)

4.已知 sin α -cos α = 3 A. 4 3 C.- 4

3 ? 2?π ,则 2cos ? -α ?=( 2 ?4 ? B. 5 4

)

5 D.- 4
→ →

5.(2015?山东高考)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则BD?CD=( 3 2 A.- a 2 3 2 C. a 4 3 2 B.- a 4 3 2 D. a 2

)

6.(2015?慈溪中学模拟)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,
→ → → →

0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是( A.[4,6] B.[ 19-1, 19+1] C.[2 3,2 7 ] D.[ 7-1, 7+1]


)





7.(2015?四川高考)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若点 M,N 满足BM=
6











3MC,DN=2NC,则AM?NM=( A.20 B.15 C.9

) D.6 )

8. 若 a, b, c 均为单位向量, 且 a?b=0, (a-c)?(b-c)≤0, 则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 B.1 C. 2 D.2 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题 π? π? π? 3 ? ? ? π? ? 9.已知 sin?θ + ?+sin?θ - ?= ,且 θ ∈?0, ?,则 cos?θ + ?=________. 3? 3? 3 2? 6? ? ? ? ?

π? ? 10.已知函数 f(x)=2cos(x+φ )?|φ |< ?,且 f(0)=1,f′(0)>0,将函数 f(x)的图象 2? ? π 向右平移 个单位,得函数 y=g(x)的图象,则函数 g(x)在[0,π ]上的最小值是________. 3 11.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P 是线段 BC 上一动点,Q 是线
→ → → → → →

段 DC 上一动点,DQ=λ DC,CP=(1-λ )CB,则AP?AQ的取值范围是________.





12.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE?BD=________. 13.(2015?南京模拟)已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ )(0≤φ <π ),它们的图象有一 π 个横坐标为 的交点,则φ 的值是________. 3





14.(2015?义乌中学二模)已知 G 为△ABC 的重心,令AB=a,AC=b,过点 G 的直线分别交
→ →

AB、AC 于 P、Q 两点,且AP=ma,AQ=nb,则 + =________. m n

1

1

15.(2015?湖北高考)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路
7

北测一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75° 的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=________m. 三、解答题 16.(2015?北京高考)已知函数 f(x)= 2sin cos - 2sin . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值.

x

x

2

x

17.(2015?广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=?

2? ? 2 ,- ?,n=(sin x, 2 ? ?2

? π? cos x),x∈?0, ?. 2? ?
(1)若 m⊥n, 求 tan x 的值; π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3

π 18.(2015?浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 A= , 4

b2-a2= c2.
(1)求 tan C 的值; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值.

1 2

8

19.如图,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90°,OP=2 2,点 M 在线段 PQ 上.

(1)若 OM= 5,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30°,问:当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小?并求 出面积的最小值.

20 . (2015? 瑞 安 中 学 调 研 ) 已 知 m = (

3 sin(2 π - x) , cos x) , n =

?sin?3π -x?,cos(π +x)?, ? ?2 ? ? ? ? ? ?
f(x)=m?n.
(1)求 y=f(x)的单调递增区间和对称中心; 1 (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若有 f(B)= ,b=7,sin A+sin 2

C=

13 3 ,求△ABC 的面积. 14

专题二 三角函数与平面向量

9

真题体验?引领卷 1 1.D [原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°= .] 2
?sin α >0, ? ?sin α <0, ? sin α 2.C [因 tanα = >0,所以? 或? sin 2α =2sin α cos α >0. cos α ?cos α >0 ?cos α <0, ? ?

故选 C.]
→ → → → → → → → → → 1→ 4→ 3.A [∵BC=3CD,∴AC-AB=3(AD-AC),即 4AC-AB=3AD,∴AD=- AB+ AC.] 3 3

2sin B-sin A 2b -a b 3 9 4.D [由正弦定理得 = ,由已知得 = ,代入上式得结果为 2? -1 2 sin A a2 a 2 4 7 = .] 2 5.D [由于 a=(1,2),b=(4,2), 所以 c=ma+b=(m+4,2m+2), 又由于 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,

2

2

2

2

a?c b?c 所以 cos〈a,c〉=cos〈b,c〉 ,也就是 = , |a||c| |b||c|
(m+4)+2(2m+2) 4(m+4)+2(2m+2) 则 = ,解得 m=2.] 5 20

T 5 1 6.D [由函数的图象知 = - =1,∴T=2, 2 4 4
1 1 1 1 1 3 因此 xA= - =- ,xB= + = . 4 2 4 4 2 4 1 3? ? 所以 f(x)的单调减区间为?2k- ,2k+ ?,k∈Z.] 4 4? ? 1 15 7.8 [∵cos A=- ,0<A<π ,∴sin A= , 4 4

S△ABC= bcsin A= bc?
∴bc=24,又 b-c=2,

1 2

1 2

15 =3 15, 4

∴b -2bc+c =4,b +c =52,由余弦定理得,

2

2

2

2

a2=b2+c2-2bccos A=52-2?24??- ?=64, 4
∴a=8.] 8.( 6- 2, 6+ 2) [如图,作△PBC,使∠B=∠C=75°,BC=2,

? 1? ? ?

10

作直线 AD 分别交线段 PB、PC 于 A、D 两点(不与端点重合),且使∠BAD=75°,则四边形

ABCD 就是符合题意的四边形.过 C 作 AD 的平行线交 PB 于点 Q,在△PBC 中,∠APC=30°,
由正弦定理, = ,则 BP= 6+ 2. sin 30° sin 75° 在△QBC 中,∠QCB=30°,∠BQC=75°,

BC

BP

BQ BC 4 由正弦定理, = ,则 BQ= = 6- 2. sin 30° sin 75° 6+ 2
所以 AB 的取值范围为( 6- 2, 6+ 2).] 9. 1 2 2 2 1 π 3 ? ?1 [∵e1? e2=|e1|? |e2|cos 〈e1, e2〉 = , ∴ 〈e1, e2〉 = .不妨设 e1=? , ,0?, 2 3 ?2 2 ?

e2=(1,0,0),b=(m,n,t).
1 3 ? ?b?e =2m+ 2 n=2, 3 5 由题意知? 解得 n= ,m= , 2 2 5 b?e =m= , ? ? 2
1 2

3 ? ?5 ∴b=? , ,t?. ?2 2 ? 3 3 ?5 1 ? ∵b-(xe1+ye2)=? - x-y, - x,t?, 2 2 ?2 2 ? 2 3 ?2 ? 3 ?5 x ? 2 2 2 2 2 ∴ |b - (xe1 + ye2)| = ? - -y? + ? - x? + t = x + xy + y - 4x - 5y + t + 7 = ?2 2 ? 2 ? ?2

?x+y-4? +3(y-2)2+t2.由题意知,当 x=x =1,y=y =2 时,?x+y-4? +3(y-2)2+ ? 0 0 ? 2 ? 2 ? ? ? 4 ? ? 4
t2 取到最小值.此时 t2=1,故|b|=
1 10.解 (1)S△ABD= AB?ADsin∠BAD, 2 2 2 ?5? +? 3? +t2=2 2.] ?2? ? ? ? ? ?2?

2

2

S△ADC= AC?ADsin∠CAD.
因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以 AB=2AC. sin B AC 1 由正弦定理可得 = = . sin C AB 2

1 2

11

(2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知

AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD?DCcos∠ADC.
故 AB +2AC =3AD +BD +2DC =6, 由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1. π? ? 1-cos?2x- ? 3? 1-cos 2x ? 11.解 (1)f(x)= - 2 2 1?1 3 1 3 ? 1 = ? cos 2x+ sin 2x?- cos 2x= sin 2x- cos 2x 2?2 4 4 2 ? 2 π? 1 ? = sin?2x- ? 6? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2
2 2 2 2 2

π? ? π ? π π? ? π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数,且 f ?- ? 6? ? 3 ? 6 4? ? 3? 1 1 3 ? π? ?π ? =- ,f ?- ?=- ,f ? ?= , 4 2 ? 6? ?4? 4 3 1 ? π π? 所以 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 3 4? π ?? 1 1? ? 12.解 (1)f(x)= sin 2x- ?1+cos?2x+ ?? 2 ?? 2 2? ? 1 1 1 1 = sin 2x- + sin 2x=sin 2x- . 2 2 2 2 π π π π 由 2kπ - ≤2x≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 2 4 4 π 3π π 3π 由 2kπ + ≤2x≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 2 4 4 π ? π ? 所以 f(x)的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?(k∈Z); 4 ? 4 ? 单调递减区间是?

?π +kπ ,3π +kπ ?(k∈Z). ? 4 ?4 ?

1 1 ?A? (2)由 f? ?=sin A- =0,得 sin A= , 2 2 2 ? ? 由题意知 A 为锐角,所以 cos A=
2 2 2

3 . 2

由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 可得 1+ 3bc=b +c ≥2bc,
2 2

12

1 2+ 3 即 bc≤2+ 3,当且仅当 b=c 时等号成立.因此 bcsin A≤ . 2 4 所以△ABC 面积的最大值为 2+ 3 . 4 经典模拟?演练卷 1.A [∵|a+b|= 10,|a-b|= 6, ∴a +b +2a?b=10,a +b -2a?b=6, 两式相减得:4a?b=4,∴a?b=1,故选 A.] 2.A [由 a⊥b,知 a?b=0,∴sin θ -2cos θ =0,则 tan θ =2. 2sin θ cos θ +cos θ 2tan θ +1 2 故 sin 2θ +cos θ = = =1.] 2 2 2 sin θ +cos θ tan θ +1 3.B [∵f(x)的图象关于直线 x=π 对称, π π 2 ∴ω π - =kπ + ,则 ω =k+ ,k∈Z. 6 2 3 5 又 1<ω <2,因此取 k=1,则 ω = , 3 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π 6π = .] ω 5
2 2 2 2 2

π? ? 4.C [依题意,y=g(x)=sin?2x+ ?, 3? ? π 令 2x+ =kπ ,k∈Z,A 不满足,A 错误, 3 π π ? π? 当 x=- 时,g?- ?=sin 0=0,则图象不关于 x=- 对称,B 错. 6 6 6 ? ? 5π π π π 当- ≤x≤- 时,- ≤2x+ ≤0,因此 C 正确.] 12 6 2 3 5.C [由 c =(a-b) +6 得 c =a +b -2ab+6. 由余弦定理得 c =a +b -ab,∴ab=6, 1 1 3 3 3 ∴S= absin C= ?6? = .] 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

? π? 6.B [当 x∈?0, ?时,f′(x)=sin x+xcos x>0. 2? ? ? π? ∴f(x)在区间?0, ?上是增函数, 2? ? ? π ? 由 f(x)为偶函数,得 y=f(x)在区间?- ,0?上是减函数. ? 2 ?
∵cos 1=-cos(π -1),则 f(cos 1)=f[cos(π -1)] 又 y=cos x 在区间[0,π ]上是减函数,且 3>π -1>2, 则-1<cos 3<cos(π -1)<cos 2<0,
13

所以 f(cos 3)>f[cos(π -1)]>f(cos 2),即 c>a>b.]

? π? 7.2 [依题意 g(x)=2sin ω x,∵y=g(x)在?0, ?上为增函数, 4? ?
πω π ∴0≤ω x≤ ≤ ,则 ω ≤2,故 ω 的最大值为 2.] 4 2

















8.1 [由BC=AC-AB且AP⊥BC,AP=λ AB+AC,
→ → → → → →

∴AP?BC=(λ AB+AC)?(AC-AB)=0.
→ 2 → 2 → →

因此AC -λ AB +(λ -1)AB?AC=0,(*)
→ → → →

又〈AB,AC〉=60°,|AB|=|AC|=2. 故(*)式化为 4-4λ +(λ -1)?2?2cos 60°=0,解之得 λ =1.] π 9. 3
2

[由余弦定理,a =b +c -2bccos A.
2 2 2 2

2

2

2

∴a -b =c - 3bc.又 ac=b -a , ∴ 3bc=ac+c ,即 a= 3b-c. 由正弦定理,得 sin A= 3sin B-sin C 3 ?5 ? 1 又 sin C=sin? π -B?= cos B+ sin B 2 ?6 ? 2 1 1 3 3 1 从而 = 3sin B- cos B- sin B= sin B- cos B. 2 2 2 2 2 π π π ? π? 1 ∴sin?B- ?= ,在△ABC 中,B- = ,则 B= .] 6? 2 6 6 3 ? π 10.解 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω =2,φ =- .数据补全如下表: 6 ω x+φ 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13 π 12 0
2

x Asin(ω x+φ )

π? ? 且函数表达式为 f(x)=5sin?2x- ?. 6? ? π? ? (2)由(1)知 f(x)=5sin?2x- ?,根据图象变换,得 6? ? π? ? g(x)=5sin?2x+2θ - ?.

?

6?

14

因为 y=sin x 的对称中心为(kπ ,0),k∈Z. π kπ π 令 2x+2θ - =kπ ,解得 x= + -θ ,k∈Z. 6 2 12 由于函数 y=g(x)的图象关于点? 令

?5π ,0?成中心对称, ? ? 12 ?


2

π 5π kπ π + -θ = ,得 θ = - ,k∈Z. 12 12 2 3

π 由 θ >0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 6 11.解 (1)由正弦定理及 3acos A=ccos B+bcos C 得 3sin Acos A=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C) ∵B+C=π -A,∴3sin Acos A=sin A. 1 又 sin A>0,从而 cos A= . 3 1 (2)∵A∈(0,π ),cos A= , 3 2 2 ∴sin A= , 3 2 3 又∵cos B+cos C= , 3 2 3 ∴cos[π -(A+C)]+cos C= , 3 整理得 cos C+ 2sin C= 3,① 又 sin C+cos C=1,② 由①,②联立,得 sin C= 6 , 3 2 3? 2 2 3 6 3
2 2



a c asin C = ,得 c= = sin A sin C sin A

=3.

1+cos 2ω x 1 12.解 (1)f(x)= 3sin ω xcos ω x- - 2 2 = π? 3 1 ? sin 2ω x- cos 2ω x-1=sin?2ω x- ?-1. 6? 2 2 ?

π 因为函数图象两相邻对称轴间的距离为 . 2 ∴f(x)的最小正周期 T=π , 2π 又 T= , 2ω π? ? ∴ω =1,从而 f(x)=sin?2x- ?-1, 6? ?
15

π π π 令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 π π 得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 6 3 π π? ? ∴函数 f(x)的单调增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ? π? π? ? ? (2)由(1)知:f(x)=sin?2x- ?-1 所以 sin?2C- ?=1, 6 6? ? ? ? π π 11 因为 0<C<π ,所以- <2C- < π , 6 6 6 π π π 所以 2C- = ,即 C= , 6 2 3 由已知 m∥n 可得 sin B-3sin A=0, 在△ABC 中,由正弦定理得 b-3a=0,① 由余弦定理得 c =a +b -2abcos C,又已知 c= 7, 所以 7=a +b -ab,② 由①②联立,解得 a=1,b=3. 专题过关?提升卷
→ → → → 2 2 2 2 2

1.A [EB+FC=-(BE+CF) 1→ 1→ 1→ 1→ =-( BA+ BC+ CA+ CB) 2 2 2 2
→ 1→ 1→ 1 → → =-( BA+ CA)= (AB+AC)=AD,故选 A.] 2 2 2

2.A [由 a=(2,1),b-a=(-3,k -3),得 b=(-1,k -2). 又 a⊥b?a?b=-2+k -2=0, ∴k=±2,故“k=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.] 2 3.C [∵|a|=4,|b|=1, 〈a,b〉= π , 3 2 2 2 ∴a =16,b =1,a?b=|a||b|?cos π =-2. 3 则|a+xb| =a +x b +2xa?b=16+x -4x=(x-2) +12≥12 当且仅当 x=2 时,|a+xb| 有最小值. ∴x=2 时,|a+xb|取得最小值.] 4.B [由 sin α -cos α = 3 3 1 ,得 1-sin 2α = ,∴sin 2α = , 2 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

5 ? ?π ? 2?π 因此 2cos ? -α ?=1+cos 2? -α ?=1+sin 2α = .] 4 ?4 ? ?4 ?

16

5.D [如图所示,由题意,得 BC=a,CD=a,∠BCD=120°.

BD2=BC2+CD2-2BC?CD?cos 120°=a2+a2-2a?a??- ?=3a2,
→ → → → 2

? 1? ? 2?

∴BD= 3a.∴BD?CD=|BD||CD|cos 30°= 3a ?

3 3 2 = a .] 2 2

→ 2 2



6. D [由|CD|=1 知, 点 D 是以 C 为圆心, 1 为半径的圆上的动点, 设 D(x, y), 则(x-3) +y =1.|OA
→ → 2 2 →

+ OB + OD | =
2

(x-1) +(y+ 3) 表 示 点 D 到 点 P(1 , - 3 ) 的 距 离 , 又 | PC | =
→ 2

(3-1) +(0+ 3) = 7,因此 7-1≤|PD|≤ 7+1,故选 D.]
→ → 3→ → → → 1→ 1→ 7.C [AM=AB+ AD,NM=CM-CN=- AD+ AB 4 4 3 → → → → 1 → 1 → ∴AM?NM= (4AB+3AD)? (4AB-3AD) 4 12 → → 1 1 2 2 2 2 = (16AB -9AD )= (16?6 -9?4 )=9.] 48 48

8.B [法一 由题意知 a =b =c =1, 又 a?b=0, ∵(a-c)?(b-c)=a?b-a?c-b?c+c ≤0, ∴a?c+b?c≥c =1, ∴|a+b-c| =a +b +c +2a?b-2a?c-2b?c =3-2(a?c+b?c)≤1, ∴|a+b-c|≤1. 法二 设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), 则 x +y =1,a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y), 则(a-c)?(b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y) =x +y -x-y=1-x-y≤0,即 x+y≥1. 又 a+b-c=(1-x,1-y), ∴|a+b-c|= (1-x) +(1-y)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

17

= (x-1) +(y-1) = 3-2(x+y)≤1.] 3 2- 3 9. 6 π? π? 3 ? ? [由 sin?θ + ?+sin?θ - ?= ,得 3? 3? 3 ? ?

2

2

π π π π 3 sin θ cos +cos θ sin +sin θ cos -cos θ sin = . 3 3 3 3 3 π 3 3 ∴2sin θ cos = ,则 sin θ = . 3 3 3 6 ? π? 2 又 θ ∈?0, ?,∴cos θ = 1-sin θ = . 2 3 ? ? π? π π 3 2- 3 ? 因此 cos?θ + ?=cos θ cos -sin θ sin = .] 6? 6 6 6 ? 10.-1 [由 f(x)=2cos(x+φ ),得 f′(x)=-2sin(x+φ ).

∴f(0)=2cos φ =1,且 f′(0)=-2sin φ >0, 1 因此 cos φ = ,且 sin φ <0, 2 π π π 所以 φ =2kπ - ,k∈Z,又|φ |< ,则 φ =- , 3 2 3

f(x)=2cos?x- ?, 3

? ?

π?

?

? 2 ? 根据图象平移变换,知 g(x)=2cos?x- π ?. ? 3 ?
2π 2π π 又 0≤x≤π ,知- ≤x- ≤ . 3 3 3

? 2 ? ? 1? ∴g(x)的最小值为 2cos?- π ?=2??- ?=-1.] ? 3 ? ? 2?
→ →

11.[0,2] [建立如图所示的直角坐标系,则 D(0,1),C(1,1),设 Q(m,n),由DQ=λ DC
→ →

得,(m,n-1)=λ (1,0),即 m=λ ,n=1,又 B(2,0),设 P(s,t),由CP=(1-λ )CB得, (s-1,t-1)=(1-λ )(1,
→ → 2 → →

-1),即 s=2-λ ,t=λ ,所以AP?AQ=λ (2-λ )+λ =-λ +3λ ,λ ∈[0,1],AP?AQ ∈[0,2].]

→ → → → → 1→ ? ? 12.2 [法一 AE?BD=?AD+ AB ?? AD-AB 2 ? ?

(

1 AB +0=2 - ?2 =2. )=AD -1 2 2
→ → 2 2 2 2

法二 以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),

E(1,2).
18





∴AE=(1,2),BD=(-2,2).
→ →

从而AE?BD=1?(-2)+2?2=2.] π 13. 6 π π ? π ? 1 ∴2π +φ =2kπ +π 或 [根据题意, 将 x= 代入可得 cos =sin?2? +φ ?= , 3 3 3 6 ? ? 2 3

2 5 π +φ =2kπ + π ,k∈Z. 3 6 π 又∵φ ∈[0,π ),∴φ = .] 6
→ → → → → → 2 1 1 ?1 ? b GQ 14. 3 [由 G 为重心, 得AG= ? (a+b)= (a+b). ∴PG=AG-AP=? -m?a+ , =AQ- 3 2 3 ?3 ? 3

AG=?n- ?b- a, 3



? ?

1?

?

1 3

又 P、G、Q 三点共线, 1 1 -m 3 3 ∴ = ,即 m+n=3mn. 1 1 - n- 3 3 1 1 因此 + =3.]

m n

15.100 6

[如图所示,在△ABC 中,AB=600,∠BAC=30°,

∠ACB=75°-30°=45°.

19

由正弦定理,得

= , sin∠BAC sin∠ACB

BC

AB

sin 30° ∴BC=600? =300 2. sin 45° 在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°, ∴CD=BC?tan∠CBD=300 2?tan 30°=100 6.] 16.解 (1)因为 f(x)= 2 ? π? =sin?x+ ?- , 4? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π . (2)因为-π ≤x≤0,所以- 3π π π ≤x+ ≤ . 4 4 4 2 2 sin x- (1-cos x) 2 2

π π 3π 当 x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值. 4 2 4 2 ? 3π ? 所以 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值为 f?- ?=-1- . 4 2 ? ? 17.解 (1)因为 m=? 所以 m?n=0,即 所以 tan x=1. π 1 (2)因为|m|=|n|=1,所以 m?n=cos = , 3 2 即 2 2 1 ? π? 1 sin x- cos x= ,所以 sin?x- ?= , 4? 2 2 2 2 ? 2? ? 2 ,- ?,n=(sin x,cos x),m⊥n. 2 2 ? ?

2 2 sin x- cos x=0,所以 sin x=cos x, 2 2

π π π π 因为 0<x< ,所以- <x- < . 2 4 4 4 π π 5π 因此 x- = ,故 x= . 4 6 12 π 1 2 1 1 2 2 2 2 18.解 (1)由 A= ,b -a = c 及正弦定理得 sin B- = sin C. 4 2 2 2 π 3 2 所以-cos 2B=sin C.又由 A= ,得 B+C= π . 4 4 3 ?3 ? ∴2B= π -2C,则 cos 2B=cos? π -2C?=-sin 2C. 2 2 ? ? 从而 sin 2C=sin C,即 2sin Ccos C=sin C. 又 sin C≠0,故 tan C=2. 2 5 5 (2)由 tan C=2,C∈(0,π )得 sin C= ,cos C= , 5 5
2 2

20

?π ? 又因为 sin B=sin(A+C)=sin? +C?, ?4 ?
3 10 所以 sin B= , 10 由正弦定理,c=

bsin C 2 2 = b.① sin B 3

1 π 又 S△ABC= bcsin A=3,A= , 2 4 所以 bc=6 2,② 联立①,②可求 b=3. 19.解 (1)在△OMP 中,∠OPM=45°,OM= 5,OP=2 2, 由余弦定理得,OM =OP +MP -2?OP?MP?cos 45°, 得 MP -4MP+3=0, 解得 MP=1 或 MP=3. (2)设∠POM=α ,0°≤α ≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM= 同理 ON= , sin(45°+α ) . sin(75°+α ) = , sin∠OPM sin∠OMP
2 2 2 2

OM

OP

OPsin 45° OPsin 45°

1 故 S△OMN= ?OM?ON?sin∠MON 2 1 OP sin 45° = ? 4 sin(45°+α )sin(75°+α ) = = sin(45°+α )[ = 1 sin(45°+α )sin(45°+α +30°) 1 3 1 sin(45°+α )+ cos(45°+α )] 2 2 1 3 1 α 2 sin (45°+α )+ sin(45°+α )cos(45°+ ) 2 2 2 1 3 1 [1-cos(90°+2α )]+ sin(90°+2α ) 4 4 1 3 3 1 + sin 2α + cos 2α 4 4 4
2 2





21



. 3 1 + sin(2α +30°) 4 2

1

因为 0°≤α ≤60°,30°≤2α +30°≤150°,所以当 α =30°时,sin(2α +30°)的最 大值为 1,此时△OMN 的面积取到最小值,即∠POM=30°时,△OMN 的面积的最小值为 8- 4 3.

?3 ? 20. 解 (1)f(x)=m?n= 3sin(2π -x)?sin? π -x?+cos x? cos(π +x)= 3sin xcos ?2 ?
x-cos2x
= π? 1 3 1 1 ? sin 2x- cos 2x- =sin?2x- ?- . 6? 2 2 2 2 ?

π π π 令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z. 2 6 2 π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 6 3 π π? ? ∴函数 y=f(x)的单调增区间是?kπ - ,kπ + ?,k∈Z, 6 3? ? π kπ π 令 2x- =kπ ,得 x= + ,k∈Z, 6 2 12 ∴函数 y=f(x)的对称中心是?

?kπ +π ,-1?,k∈Z. 2? ? 2 12 ?

π? 1 1 1 ? (2)由 f(B)= ,得 f(B)=sin?2B- ?- = , 6? 2 2 2 ? π? π π 11π ? ∴sin?2B- ?=1,又 0<B<π ,∴- <2B- < , 6 6 6 6 ? ? π π π 则 2B- = ,所以 B= . 6 2 3 由正弦定理得:sin A+sin C=

a+c sin B, b

13 3 a+c 3 即 = ? ,所以 a+c=13. 14 7 2 由余弦定理 b =a +c -2accos B 得:b =(a+c) -2ac-2accos B, 则 49=169-3ac,∴ac=40. 1 1 3 所以 S△ABC= acsin B= ?40? =10 3. 2 2 2
2 2 2 2 2

22


相关文章:
浙江省2016届高三数学专题复习 专题二 三角函数与平面...
浙江省2016届高三数学专题复习 专题二 三角函数与平面向量 _数学_高中教育_...0, ?上为增函数, 则ω 的最大值为___. 4? ? →→→ 8.(2015?德州模拟...
浙江省2016届高三数学专题复习 回扣三 三角函数与平面...
浙江省2016届高三数学专题复习 回扣三 三角函数与平面向量 _数学_高中教育_...? [回扣问题 2]函数 y=sin?-2x+ ?的递减区间是___. 3? ? 陷阱盘点...
...专题复习演练:专题二+第2讲+三角函数与平面向量过关...
2016届高考数学()二轮专题复习演练:专题二+第2讲+三角函数与平面向量过关提升(浙江专用)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。专题二 三角函数与平面向量专题过关?...
...专题复习演练:专题二+第3讲+三角函数与平面向量模拟...
2016届高考数学()二轮专题复习演练:专题二+第3讲+三角函数与平面向量模拟演练(浙江专用)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。专题二 三角函数与平面向量经典模拟...
...专题复习演练:专题二+第4讲+三角函数与平面向量真题...
2016届高考数学()二轮专题复习演练:专题二+第4讲+三角函数与平面向量真题体验(浙江专用)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。专题二 三角函数与平面向量真题体验...
...(理)专题复习检测:专题二 三角函数与平面向量 过关...
2016届高三数学()专题复习检测:专题二 三角函数与平面向量 过关提升_高三数学...求 2 的值. cos x-sin xcos x 19.(本小题满分 16 分)(2015· 浙江...
【合集】浙江省2016届高三数学(文)专题复习:专题二 三...
【合集】浙江省2016届高三数学(文)专题复习:专题二 三角函数与平面向量_数学_高中教育_教育专区。【合集】浙江省 2016 届高三数学(文)专题复习检测 (真题体验+...
...专题复习演练:专题二 第4讲 三角函数与平面向量真题...
2016届高考数学()二轮专题复习演练:专题二 第4讲 三角函数与平面向量真题体验(人教版含答案)(浙江专用)_总结/汇报_实用文档。专题二 三角函数与平面向量真题...
【合集】浙江省2016届高三数学(文)专题复习:专题二 三...
【合集】浙江省2016届高三数学(文)专题复习:专题二 三角函数与平面向量_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【合集】浙江省 2016 届高三数学(文)专题复习检测 (真...
...专题复习演练:专题二 第1讲 三角函数与平面向量(人...
2016届高考数学()二轮专题复习演练:专题二 第1讲 三角函数与平面向量(人教版含答案)(浙江专用)_资格考试/认证_教育专区。专题二 三角函数与平面向量真题体验?...
更多相关标签: