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第1讲集合的含义与基本关系


第1讲
【知识点回顾】

集合的含义与基本关系

一.集合的有关概念 1.集合 ①定义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,每个对象叫做集合的元素。 ②表示方法 列举法:将集合中的元素一一列举出来,用大括号括起来,如{a,b,c} 描述法:将集合中的元素的共同属性表示出来,形式为:P={x∣P(x)}. 如: {x y ?

x ? 1},{ y y ? x ? 1},{( x, y) y ? x ? 1}

图示法:用文氏图表示题中不同的集合。 ③分类:有限集、无限集、空集。 ④几何元素三要素 确定性: a ? A或a ? A 必居其一, 互异性:不写{1,1,2,3}而是{1,2,3},集合中元素互不相同, 无序性:{1,2,3}={3,2,1} 2.常用数集 复数集 C 实数集 R 整数集 Z 自然数集 N 正整数集 N (或 N+) 有理数集 Q 3.元素与集合的关系: a ?
?

A或a ? A

4.集合与集合的关系: ①子集:若对任意 x ? A 都有 x ? B [或对任意 x ? B 都有 x ? A ] 则 A 是 B 的子集。 记作: A ? B或B ? A

A ? B, B ? C ? A ? C

②真子集:若 A ? B ,且存在 x0 ? B, 但x0 ? A ,则 A 是 B 的真子集。 记作: A B[或“ A ? B且A ? B ”] A B,B C A C

③ A ? B且B ? A ? A ? B ④空集:不含任何元素的集合,用 ? 表示,对任何集合 A 有 ? ? A ,若 A ? ? 则 ? 注: a ? {a} A

? ? {0} ? ? {?}

5.子集的个数 若 A ? {a1 , a2 ,?an },则 A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为 2 个,
n

2 -1 个和 2 -2 个。 二.集合的运算 1.有关概念

n

n

①交集: A ? B ? {x x ? A且x ? B}

②并集: A ? B ? {x x ? A或x ? B}

③全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个 全集,通常用 U 表示。 ④补集: CU A ? {x x ?U且x ? A}

A
A B

B
A B A
B

A

B

A B

U CUA

A

【例题解析】 题型 1. 正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例 1.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则 M∩N=( )
2

A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或 y=2}

D.{y|y≥1}

思路启迪:集合 M、N 是用描述法表示的,元素是实数 y 而不是实数对(x,y),因此 M、N 分别表示函数 y=x +1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求 M∩N 即求两函数值域的交集.
2

解:M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}. ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选 D.
? x ? 1, y ? x 2 ? 1, ? x ? 0, 点评:①本题求 M∩N,经常发生解方程组 ? 或? 得? ?

? y ? x ? 1.

? y ? 1,

? y ? 2.

从而选 B 的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而 忽视了集合的元素是什么.事实上 M、N 的元素是数而不是点,因此 M、N 是数集而不是点 集. ②集合是由元素构成的, 认识集合要从认识元素开始, 要注意区分{x|y=x +1}、 {y|y=x
2 2

+1,x∈R}、{(x,y)|y=x +1,x∈R},这三个集合是不同的.
2

例 2.若 P={y|y=x ,x∈R},Q={y|y=x +1,x∈R},则 P∩Q 等于( )
2 2

A.P

B.Q

C.
2

D.不知道
2

思路启迪:类似上题知 P 集合是 y=x (x∈R)的值域集合,同样 Q 集合是 y= x +1(x∈R) 的值域集合,这样 P∩Q 意义就明确了. 解: 事实上, P、 Q 中的代表元素都是 y, 它们分别表示函数 y=x2,y= x2+1 的值域, 由 P={y|y ≥0},Q={y|y≥1},知 Q P,即 P∩Q=Q.∴应选 B.

例 3. 若 P={y|y=x ,x∈R},Q={(x,y)|y=x ,x∈R},则必有( )
2 2

A.P∩Q= ?

B.P

Q

C.P=Q

D.P

Q

思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论 P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的 y=x2,x∈R 相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P 集合是函数值域集合,Q 集合是 y=x2,x∈R 上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物. 解:正确解法应为: P 表示函数 y=x2 的值域,Q 表示抛物线 y=x2 上的点组成的点集,因此 P∩Q= ? .∴应选 A. 例 4 若 A ? {x | x 2 ? 1},B ? {x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0} ,则 A ? B = ( A.{3} 思路启迪: 解:应选 D. 点评:解此类题应先确定已知集合. 题型 2.集合元素的互异性 集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常 被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合 元素互异性的认识. 例 5. 若 A={2,4, a 3-2 a 2- a +7},B={1, a +1, a 2-2 a +2,- 1 ( a 2-3 a -8), a 3
2

) D.{-1}

B.{1}

C. ?

A ? {x | x ? ?1, x ? 1},B ? {x | x ? ?1, x ? 3},? A ? B ? ??1?.

+ a 2+3 a +7},且 A∩B={2,5},则实数 a 的值是________. 解答启迪:∵A∩B={2,5},∴ a 3-2 a 2- a +7=5,由此求得 a =2 或 a =±1. A={2,4,5}, 集合 B 中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查. 当 a =1 时, a -2 a +2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去 a =1.
2

当 a =-1 时,B={1,0,5,2,4},与 A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去 a =-1. 当 a =2 时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时 A∩B={2,5},满足题设. 故 a =2 为所求. 例 6. 已知集合 A={ a , a +b, a +2b}, B={ a , a c, a c }. 若 A=B, 则 c 的值是______.
2

思路启迪:要解决 c 的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的 两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式. 解:分两种情况进行讨论. (1)若 a +b= a c 且 a +2b= a c ,消去 b 得: a + a c -2 a c=0,
2 2

a =0 时,集合 B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故 a ≠0.

∴c -2c+1=0,即 c=1,但 c=1 时,B 中的三元素又相同,此时无解.
2

(2)若 a +b= a c 且 a +2b= a c,消去 b 得:2 a c - a c- a =0,
2 2

∵ a ≠0,∴2c -c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又 c≠1,故 c=- 1 .
2

2

点评: 解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解, 这需要解题后进行检验和修正. 例 7.已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x - a x+ a -1=0},且 A∪B=A,则 a 的值
2 2

为______. 思路启迪:由 A∪B=A ? B ? A 而推出 B 有四种可能,进而求出 a 的值. 解: ∵ A∪B=A, ? B ? A, ∵ A={1,2},∴ B= ? 或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}. 若 B= ? ,则令△<0 得 a ∈ ? ; 若 B={1},则令△=0 得 a =2,此时 1 是方程的根; 若 B={2},则令△=0 得 a =2,此时 2 不是方程的根,∴ a ∈ ? ; 若 B={1,2}则令△>0 得 a ∈R 且 a ≠2,把 x=1 代入方程得 a ∈R,把 x=2 代入方程得 a =3. 综上 a 的值为 2 或 3. 点评:本题不能直接写出 B={1,a -1},因为 a -1 可能等于 1,与集合元素的互异性矛盾, 另外还要考虑到集合 B 有可能是空集,还有可能是单元素集的情况.

【专题训练】 一.选择题: 1.设 M={x|x +x+2=0}, a =lg(lg10),则{ a }与 M 的关系是( ) A、{ a }=M B、M ? ? {a} C、{ a } ? ?M D、M ? { a }
2

2.已知全集 U =R,A={x|x- a |<2},B={x|x-1|≥3},且 A∩B= ? ,则 a 的取值范围是( ) A、 [0,2] A、 M ? ?N B、 (-2,2)
2

C、 (0,2]
2

D、 (0,2)

3.已知集合 M={x|x= a -3 a +2, a ∈R},N={x|x=b -b,b∈R},则 M,N 的关系是( ) B、M ? ?N C、M=N D、不确定

4. 设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1}, B={x|x∈Z, 且|x|≤5}, 则 A∪B 中的元素个数是 ( ) A、11 B、10 C、16 D、15

5.集合 M={1,2,3,4,5}的子集是( ) A、15 B、16 C、31 D、32

6 集合 M={x|x= kx ? ? ,k∈Z},N={x|x= k? ? ? ,k∈Z},则(
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)

2

4

4

2

A M=N
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B M N
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C M N
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D M∩N= ?
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7 已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠ ? ,若 A∪B=A,则(
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)

A -3≤m≤4
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B -3<m<4
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C 2<m<4
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D 2<m≤4
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8.集合 M= ? x x 2 ? 2 x ? a ? 0, x ? R? ,且 ? ? M .则实数 a 的取值范围是( ) ? A. a ? -1 B. a ? 1 C. a ? -1 D.a ? 1

9.满足{ a ,b} U M={ a ,b,c,d}的所有集合 M 的个数是( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

10.若命题 P:x ? A A. x ? A B

B ,则 ? P 是( ) B. x? A 或 x ? B C. x ? A 且 x ? B D. x ? A B

11.已知集合 M={ a 2 , a }.P={- a ,2 a -1} ;若 card(M P)=3,则 M P= ( ) A.{-1} B.{1} C.{0} D.{3}

12.设集合 P={3,4,5}.Q={4,5,6,7}.令 P*Q= ?? a, b ? a ? p, b ? Q? ,则 P*Q 中元素的个数 是 ( ) A. 3 二.填空题: 13.已知 M={ m | m ? 4 ? Z },N={x| x ? 3 ? N} ,则 M∩N=__________.
2 2

B. 7

C. 10

D. 12

14.非空集合 p 满足下列两个条件: (1)p ? (2)若元素 a ∈p,则 6- a ? {1,2,3,4,5}, ∈p,则集合 p 个数是__________. 15.设 A={1,2} ,B={x|x ? A}若用列举法表示,则集合 B 是
2007 2008 b ? 2 16.含有三个实数的集合可表示为 ? ? ?a, ,1? ? ?a , a ? b,0? ,则 a ? b

. .

? a ?

三.解答题: 17.设集合 A={(x,y)|y= a x+1},B={(x,y)|y=|x|},若 A∩B 是单元素集合,求 a 取值范 围.

18.设 A={x|x +px+q=0}≠ ? ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若 A∩M= ? ,A∩N=A, 求 p、q 的值.

2

19.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求 M∩N.

2

20.已知全集 U =R,且 A ? x x 2 ? x ? 12 ? 0 , B ? x x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,求 ?CU A?

?

?

?

?

?CU B? .

1. (2011 年江西)若全集 U={1,2,3,4,5,6}, M={2,3}, N={1,4}, 则集合{5,6}等于( A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) 2.(2011 年湖南)设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则 N=( ) A.{1,2,3} B.{1,3,5}

)

C.{1,4,5} D.{2,3,4}
?1? 3.已知集合 A={1,2a},B={a,b},若 A∩B=?2?,则 A∪B 为( ? ?

)

1? ?1 ? ? A.?2,1,b? B.?-1,2?
? 1? ? C.?1,2? ? ? ? ? 1 ? ? D.?-1,2,1? ? ? ?

4.已知全集 U=R,集合 M={x|-2≤x-1≤2}和 N={x|x=2k-1,k=1,2,?}的关系 的韦恩(Venn)图如图 K1-1-1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )

图 K1-1-1 A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.无穷多个 5.(2011 年广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x、y 为 实数,且 y=x},则 A∩B 的元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ? ? 1 y= ,x>2 ?,则?UP=( 6.(2011 年湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P=?y? ) x ? ? ? 1 ? A.? ?2,+∞? 1? B.? ?0,2? C.(0,+∞) 1 ? D.(-∞,0)∪? ?2,+∞? 7. (2011 年上海)若全集 U=R, 集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0}, 则?UA=________________. 2 8.(2011 年北京)已知集合 P={x|x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 ____________. 9.(2011 年安徽合肥一模)A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},求 A∩B =B 的概率.

10.(2011 届江西赣州联考)已知函数 y=ln(2-x)[x-(3m+1)]的定义域为集合 A,集合

? x-?m2+1? ? <0?. B=?x| x-m ? ? (1)当 m=3 时,求 A∩B; (2)求使 B?A 的实数 m 的取值范围.


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