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江苏省江阴市2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)


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2013-2014 学年第一学期高二期中考试数学试题
考试时间:120 分钟 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1.直线 x ? 3 y ? a ? 0(a ? R, a为常数) 的倾斜角是 ▲ . 总分:160 分

2.过点(0

,1),且与直线 2x+y-3=0 平行的直线方程是______▲______ . 3.已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 0 , l2 : (2a ? 1) x ? ay ? a ? 0 互相垂直,则实数 a 的值是▲ 4.已知空间点 A( x,1,2)和点B(2,4) 3, ,且 AB ? 2 6 ,则点 A 到的平面 yoz 的距离是 ▲ .
2 2

5. C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的标准方程为 圆 _____▲_____ . 6.已知 a、b 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,a ? ? ,则 a∥ ? ②若 a、b 与 ? 所成角相等,则 a∥b ③若 ? ⊥ ? 、 ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ④若 a⊥ ? , a⊥ ? ,则 ? ∥ ? 其中正确的命题的序号是_______▲_________ . 7. 直线 l : y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2ax ? a ? 2a ? 4 ? 0 恒有交点,则实数 a 的取值范围 是 ▲ . 8.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , ?ABC ? 90 ? , PA ? AB ? BC ? 1 , 则 PC 与底面 ABC 所成角的正切值为 ▲ . ... P
2 2 2

9 . 已 知 x, y 满 足 0 ? x ? ▲ .

4 ? y2 , 则

y?2 的取值范围是 x ?3 A
(第 8 题)

C

B

10.空间四个点 P、A、B、C 在同一球面上,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC=a,那么这 个球的表面积是 ▲ . 11.设圆 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? r ( r ? 0) 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离等于 1,则圆半径 r 的取值范围_____▲_______ .
2 2 2

12 . 圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 4ax ? 4a 2 ? 4 ? 0 和 圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 2by ? b2 ? 1 ? 0 相 内 切 , 若

a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则

1 1 ? 2 的最小值为 2 a b

_▲________ .

13.如图,一个圆锥形容器的高为 a ,内装有一定量的水. 如果将容器倒置,这时所形成的圆锥的高恰为 则图 2-①中的水面高度为 ▲

a (如图 2-②) , 2
. a

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2-①

2-②

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14.直线 tx ? y ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,若 OA ? OB ? AB ,则实数 t 的范围 ▲

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知直线经过点 A(1, 2) ,求分别满足下列条件的直线方程: (1)倾斜角的正弦为

5 ; 13

(2)与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为 4.

16.已知圆 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 (a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 . 当直线 l 被圆 C 截得的弦长 为 2 2 时, 求(1) a 的值; (2)求过点 (3,5) 并与圆 C 相切的切线方程.

17.如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD , AD ? BD ,点 E , F 分别是 AB , BD 的中 点. (1) EF∥平面 ACD (2)求证:平面 EFC ⊥平面 BCD ; (3)若平面 ABD ⊥平面 BCD ,且 AD ? BD ? BC ? 1 ,求三棱锥 B ? ADC 的体积.

18. (本题为选做题,文科生做第 1 道,理科生做第 2 道) 1.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相 切. (1)求圆的标准方程; (2)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点,求实数 a 的取值范围; (3) 在(2)的条件下,是否存在实数 a ,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 p (?2, 4) ,

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2.已知⊙ O : x 2 ? y 2 ? 1 和定点 A(2,1) ,由⊙ O 外一点 P (a, b) 向⊙ O 引切线 PQ ,切点为

Q ,且满足 PQ ? PA .
(1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的⊙ P 与⊙ O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙ P 方程.

19.如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 、 E 分别是棱 BC 、 AB 的中点,点 F 在棱 CC1 上, 已知 AB ? AC , AA1 ? 3 , BC ? CF ? 2 . (1)求证: C1 E // 平面 ADF ; (2)设点 M 在棱 BB1 上,当 BM 为何值时,平面 CAM ? 平面 ADF ? C D E A B A1 B1 F C1

(第1 题) 20.如图,已知圆 O 的直径 AB=4,定直线 L 到圆心的距离为 4,且直线 L⊥直线 AB。点 P 是 圆 O 上异于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别交 L 与 M、N 点。 试建立适当的直角坐标系,解决下列问题: (1)若∠PAB=30°,求以 MN 为直径的圆方程; (2)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点。
y M P

A

O

B

x

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N

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2013-2014 学年第一学期高二期中考试数学试题参考答案
1.

?

6

(300 )

2. 2 x ? y ? 1 ? 0 3. 0或1 4.2 或 6 5. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

6. ①④

3? 7. ? ?1,
8.

2 2

2 9. ? 0,?
10. 3? a 2 11. 4 ? r ? 6 12. 9 13. (1 ?
3

7 )a 2

14. ? ?

? ? ?

14 5 ? ? 5 14 ? ,? , ??? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? ?
5 12 5 , 得 cos ? ? ? , tan ? ? ? ? 13 13 12

? 15. (1) 解: 设直线的倾斜角为 ? , ? ? 0, ? ? , sin ? ? 由
当 tan ? ?

5 5 时,由点斜式方程得: y ? 2 ? ( x ? 1)即5 x ? 12 y ? 19 ? 0 12 12 5 5 当 tan ? ? ? 时,由点斜式方程得: y ? 2 ? ? ( x ? 1)即5 x ? 12 y ? 29 ? 0 12 12
综上:直线方程为 5 x ? 12 y ? 19 ? 0 或 5 x ? 12 y ? 29 ? 0 …………………………………7 分 (2)设直线在 x, y 轴上的截距为 a, b ? a ? 0, b ? 0 ? ,可设直线方程为

x y ? ?1 a b

?1 ? 2 ab ? 4 ?a ? 2 x y ? 由题意得 ? 得? ,? 直线方程为 ? ? 1 ,即: 2 x ? y ? 4 ? 0 ……14 分 2 4 ? 1 ? 2 ? 1 ?b ? 4 ?a b ?
16.解: (1)依题意可得圆心 C (a,2), 半径r ? 2 ,
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则圆心到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离 d ?

a?2?3 12 ? (?1) 2

?

a ?1 2

.………2 分

由勾股定理可知 d 2 ? (

2 2 2 ) ? r 2 ,………4 分 2

代入化简得 a ? 1 ? 2 . 解得 a ? 1或a ? ?3 ,又 a ? 0 ,所以 a ? 1 .………………6 分 (2)由(1)知圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 , 又 (3,5) 在圆外,

? ①当切线方程的斜率存在时,设方程为 y ? 5 ? k ( x ? 3) .
由圆心到切线的距离 d ? r ? 2 可解得 k ?

5 12

? 切线方程为 5 x ? 12 y ? 45 ? 0 .……9 分
②当过 (3,5) 斜率不存在,易知直线 x ? 3 与圆相切.………10 分 综合①②可知切线方程为 5 x ? 12 y ? 45 ? 0 或 x ? 3 .………………14 分

17.证明: (1)∵EF 是△BAD 的中位线 所以 EF∥AD(2 分) 又 EF?平面 ACD,AD? 平面 ACD ∴EF∥平面 ACD……………………(5 分) (2)∵EF∥AD,AD⊥BD ∴BD⊥EF, 又∵BD⊥CF∴BD⊥面 CEF, 又 BD? 面 BDC ∴面 EFC⊥面 BCD……………………(10 分) (3)因为面 ABD⊥面 BCD,且 AD⊥BD 所以 AD⊥面 BCD 由 BD=BC=1 和 CB=CD 得△BCD 是正三角形 所以 S ?BCD ?

1 3 3 1 1 3 3 ? 1? ? , VB ? ACD ? VA? BCD ? ? s?BCD ? AD ? ? ?1 ? 2 2 4 3 3 4 12
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…………15 分 18.1.解(1)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) . 由于圆与直线 4x+3y-29=0 相切,且半径为 5, 所以|4m?29| 5 =5,即|4m-29|=25. 即 4m-29=25 或 4m-29=-25, 解得 m=27 2 或 m=1, 因为 m 为整数,故 m=1, 故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25;……………………(5 分) 2) 此时,圆心 C(1, 0)与该直线的距离 d ? r ? 5

?d ?

a ?1 ? 0 ? 5 a ?1
2

?

a?5 a ?1
2

? 5 ? a ? 5 ? 5 a2 ? 1

? a 2 ? 10a ? 25 ? 25a 2 ? 25
?12a 2 ? 5a ? 0 即: a ?

5 或a ? 0 ……………………(10 分) 12

(2)设符合条件的实数 a 存在, ∵a≠0,则直线 l 的斜率为 ? a ,l 的方程为 y ? ? a ( x ? 2) ? 4 ,即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 . 由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上. 所以 1+0+2-4a=0,解得 a ? 经检验 a ?

3 . 4

3 ,直线 ax-y+5=0 与圆有两个交点,……………………(14 分) 4 3 故存在实数 a ? ,使得过点 P(-2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB……………………(15 分) 4
2. (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有 PQ ? OP ? OQ
2 2 2

又由已知 PQ ? PA ,故 PQ 2 ? PA 2 .即: (a 2 ? b 2 ) ? 12 ? (a ? 2) 2 ? (b ? 1) 2 . 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . ……………………(5 分 (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

6 4 2 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a ? 12a ? 8 = 5(a ? ) 2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ min ? 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5. 5 5 5

……………………(10 分

(3)设圆 P 的半径为 R ,? 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,

? R ? 1 ? OP ? R ? 1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ? 1 .

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而 OP ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 5(a ? ) 2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

3 6 时, OP ? 3 5. 此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 . min 5 5 5 5 得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . ……………………15 分 5 5 5
解法 2:圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值为圆心 O 到直线
2

y

l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的
交点 P0.
O

A
P0
2

x P
l

r =

3 2
2

+ 1

2

-1 =

3 5 -1. 5

Q

又 l’:x-2y = 0,

6 ? 6 3 ?x ? 5 , x ? 2 y ? 0, 解方程组 ? ,得 ? .即 P0( , ). ? ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 19.解: (1)连接 CE 交 AD 于 O ,连接 OF . 因为 CE,AD 为△ABC 中线, 所以 O 为△ABC 的重心,
CF CO 2 ? ? . CC1 CE 3

……………………15 分

从而 OF//C1E.………………………………………………4 分 OF ? 面 ADF, C1 E ? 平面 ADF , 所以 C1 E // 平面 ADF .…………………………………………7 分 (2)当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF . 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 由于 B1B ? 平面 ABC,BB1 ? 平面 B1BCC1,所以平面 B1BCC1 ? 平面 ABC. 由于 AB=AC, D 是 BC 中点,所以 AD ? BC .又平面 B1BCC1∩ 平面 ABC=BC, 所以 AD ? 平面 B1BCC1. 而 CM ? 平面 B1BCC1,于是 AD ? CM.…………………10 分 因为 BM =CD=1,BC= CF=2,所以 Rt?CBM ≌ Rt?FCD ,所以 CM ? DF. …12 分 DF 与 AD 相交,所以 CM ? 平面 ADF .

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CM ? 平面 CAM,所以平面 CAM ? 平面 ADF .………………………15 分 当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF .…………………………………16 分

20.建立如图所示的直角坐标系,⊙O 的方程为 x ? y ? 4 ,直线 L 的方程为 x ? 4 。
2 2

(1)∵∠PAB=30°,∴点 P 的坐标为 (1, 3) ,∴ l AP : y ?

3 ( x ? 2) ,lBP : y ? ? 3( x ? 2) 。 3

将 x=4 代入,得 M (4, 2 3), N (4, ?2 3) 。∴MN 的中点坐标为(4,0) ,MN= 4 3 。∴以 MN 为直径的圆的方程为 ( x ? 4) ? y ? 12 。
2 2

同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是 ( x ? 4) ? y ? 12 。………………6 分
2 2
2 2 2 2 (2)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,∴ x0 ? y0 ? 4 ( y0 ? 0 ) ,∴ y0 ? 4 ? x0 。

∵ lPA : y ?

y0 y0 6 y0 , ( x ? 2), lPB : y ? ( x ? 2) ,将 x=4 代入,得 yM ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

yN ?

4 x0 ? 4 6 y0 2 y0 2 y0 6 y0 2 y0 ? ? 。∴ M (4, 。MN 的中点坐 ), N (4, ) ,MN= x0 ? 2 x0 ? 2 y0 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2
4( x0 ? 1) )。 y0
/

标为 (4, ?

4( x0 ? 4) 2 16( x0 ? 1) 2 4 ? ? 以 MN 为直径的圆 O 截 x 轴的线段长度为 2 2 2 y0 y0 y0

2 12 ? 3 x0

?

4 3 4 3 2 4 ? x0 ? y0 ? 4 3 为定值。∴⊙ O / 必过⊙O 内定点 (4 ? 2 3, 0) 。 y0 y0
…………16 分

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