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函数零点存在性定理


1.函数零点的概念? 对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0的实数x0 叫做函数 y ? f ( x) 的零点,记作 x0 。 2.方程的根与函数的关系? 方程f(x)=0有实数根 函数 y ? f ( x) 的图象与x轴有交点 函数 y ? f ( x) 有零点

2 f ( x ) ? x ? 2x ? 3 ,求该函数的零点。

已知函数

解:(1)方程法:解方程f(x)=0,得到y=f(x) 的零点为-1和3; (2)图像法:画出函数y=f(x)的图像, 函数y=f(x)的零点就是f(x)图像与x轴交点的横 坐标-1和3。

探究: (1)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象:
-4 1 f (?2) ? ______ ○ 5 , f (1) ? _____,

(<或>) ; < f ( ?2) · f (1) _____0
-1 . 在区间(-2,1)上有零点____

2 f (2) · f (4) ____0 ○ (<或>) ; <
3 在区间(2,4)上有零点______ .

探究2:

观察上面的函数的图象,并回答以下问题:

①f(a)f(b)_____0 < (<或>);在区间(a,b)上______( 有 有/无)零点. < ② f(b)f(c) _____ 0(<或>);在区间(b,c)上______( 有/无)零点. 有 < 有 ③ f(a)f(d) _____ 0(<或>);在区间(a,d)上______( 有/无)零点.

函数零点的存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在c∈ (a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0的根.

思考1:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线,且函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 那么当f(a)· f(b)<0一定成立吗? 思考2:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线,那么当 f(a)· f(b)>0时,函数y=f(x)在区间 (a,b)内一定没有零点吗?

例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数。 解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1)和图象 (图3.1—3)
表3-1

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表3-1和图3.1—3可知, 即f(2)· f(3)<0, f(2)<0,f(3)>0,

y
14 12 10
8 6 4 2 0

这说明这个函数在区间(2,3) 内有零点。 由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数,所以它 仅有一个零点。

-2 -4 -6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

推论:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断且单调递增(或单调递减)的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有且只有 一个零点。
y

0 a

b x

一.求函数零点问题:
2,(0,1),(1,2) 1.函数的 f ( x) ? 2x ? 3x2 ? 6x 零点的个数及大致区间分别为____________.
x 2,(0,1),(1,2) 。 2.函数 f ( x) ? 2 x log 0 .5 ? 1 的零点个数及大致区间分别为___________

3.若a<b<c,则函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) ? ( x ? b)(x ? c) ? ( x ? c)(x ? a) 的两个零 点分别位于区间( A )。 A. 和 内 B. ?? ?, a ? 和 内 (a, b) ( b , c) (a, b) C. 和 ?c,???内 D. ?? ?, a ? 和?c,??? 内 ( b , c) 4.已知函数 f ( x) 是定义域为R的奇函数,且f ( x) 在 上有一个零 (0, ? ?) 点,则 f ( x)的零点个数为( C )。 A.1 B.2 C.3 D.无法确定

二.求解有关参数问题:
? 2 ,x ? 2 ? , 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个 1.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ( x ? 1 ) ,x ? 2 ?
(0,1) 不同的实根,则实数k 的取值是________ 。
2 2.讨论函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a ?1 的零点个数。

当a ? ?2时,函数无零点; 解: 当a ? ?2或a ? ?1时,函数有2个零点; 当a ? ?1时,函数有 3个零点; 当 ? 2 ? a ? ?1时,函数有4个零点。

1.函数零点的存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在c∈ (a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0的根。 2.推论:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断且单 调递增(或单调递减)的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么 函数y=f(x)在区间(a,b)内有且只有一个零点。 3.求函数零点和有关参数问题:数形结合法。

同步导练:函数零点的存在性定理


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