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(新课标人教版A)数学必修一:1章末


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要点归纳 1.在判断给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确定 性”,在表示一个集合时,要特别注意它的“互异性”、“无 序性”. 2. 对由条件给出的集合要明白它所表示的意义, 即元素指什么, 是什么范围.用集合表示不等式 (组)的解集时,要注意分辨是 交集还是并集, 结合数轴或 Venn 图的直观性帮助判断. 空集是 任何集合的子集,但因为不好用 Venn 图表示,容易被忽视.如 在关系式 B?A 中,易漏掉 B=?的情况.

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3. 函数与映射的联系与差异: 映射的原象集和象集可以是数集 也可以是其他集合,函数的定义域和值域是非空的数集.映射 是函数的推广,函数是映射的特例. 4.相同函数的判定方法:(1)定义域相同;(2)对应法则相同(两 者必须同时具备). 但是由于值域是由定义域和对应法则完全确 定的,因此,当定义域、对应法则、值域三者中有一个不相同 时,就可以判定不是同一个函数.

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5. 函数的定义域的求法: 列出使函数有意义的自变量的不等关 系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为:(1)分 母不为 0;(2)偶次根式中被开方数不小于 0;(3)对数的真数大 于 0,底数大于 0 且不等于 1;(4)零指数幂的底数不等于 0;(5) 实际问题要考虑实际意义等. 6.函数值域的求法:(1)观察法;(2)配方法(二次或四次);(3) 判别式法;(4)换元法;(5)函数的单调性法. 7.函数的解析式的求法:(1)定义法;(2)换元法;(3)待定系数 法;(4)配凑法;(5)消去法;(6)特殊值法.

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8.单调性的判定方法:(1)设 x1,x2 是所研究区间内任意两个 自变量, 且 x1<x2; (2)用作差比较法或作商比较法判定 f(x1)和 f(x2) 的大小;(3)确定所研究区间内函数的单调性. 9. 奇偶性的判定方法: (1)首先看定义域是否关于原点对称; (2) 判断 f(-x)与± f(x)的相等或不等.

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10.函数的图象的作法 (1)描点法:①列表;②描点;③用光滑曲线连线. (2)变换作图法: 向右平移a个单位 ①平移:y=f(x) ― ― → y=f(x-a); 向上平移b个单位 y=f(x) ― ― → y=f(x)+b.

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关于x轴对称 ②对称:y=f(x) ― ― → y=-f(x); 关于y轴对称 y=f(x) ― ― → y=f(-x); 关于原点对称 y=f(x) ― ― → y=-f(-x). 保留x轴上方图象,再把 ③翻折:y=f(x) ― ― → y=|f(x)|; x轴下方图象对称到上方 保留y轴右边的图象,再把 y=f(x) ― ― → y=f(|x|). y轴右边图象对称到y轴左边

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专题一

集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,在运 算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误,不等 式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示的集合 运算常用 Venn 图法,运算时特别注意对?的讨论,不要遗漏.

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【例 1】 已知集合 A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3} (1)若(?RA)∪B=R,求 a 的取值范围. (2)是否存在 a 使(?RA)∪B=R 且 A∩B=?. 解析 (1)∵A={x|0≤x≤2}, ∴?RA={x|x<0 或 x>2}. ∵(?RA)∪B=R.

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? ?a≤0, ∴? ? ?a+3≥2.

∴-1≤a≤0. (2)∵(?RA)∪B=R, ∴-1≤a≤0,而 a+3∈[2,3], ∴A?B,这与 A∩B=?矛盾.即这样的 a 不存在.

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专题二 函数的概念 函数的概念考查主要是对函数三要素:定义域、值域、对应法 则的考查,其中定义域是研究函数任何问题的前提条件,而求 函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点.

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【例 2】 求下列函数的定义域和值域: 3x+2 (1)y= (2)y=x+ 2x-1. x-2 解 (1)由 x-2≠0,得函数定义域为{x|x∈R,且 x≠2}, 3x+2 3?x-2?+8 8 ∵y= = =3+ , x-2 x-2 x-2 8 其中 ≠0, x-2 ∴y≠3, 3x+2 ∴y= 的值域是{y|y∈R,且 y≠3}, x-2
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1 (2)由 2x-1≥0,得 x≥ , 2
? 1? ? ? ? 即所求函数定义域为 x|x≥2?, ? ? ? ?

设 u= 2x-1,则 u≥0, u2+1 ∴x= 2 , u2+1 1 2 1 1 ∴y= 2 +u=2u +u+2=2(u+1)2, 1 ∵u≥0,∴y≥ . 2 ∴函数 y=x+
? 1? ? ? ? 2x-1的值域为 y|y≥2?. ? ? ? ?
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专题三

函数的性质

函数性质的研究包括:函数的单调性、奇偶性、周期性及对称 性,从命题形式上看:抽象函数、具体函数都有,其中函数单 调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取 值范围是高考的重点,利用函数的奇偶性、对称性研究函数的 图象是难点.

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ax2+2 5 【例 3】 已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(2)=3. 3x+b (1)求实数 a,b 的值; (2)判断函数 f(x)在(-∞,0)上的单调性,并加以证明. 解 (1)由已知 f(x)是奇函数,

∴对定义域内任意 x,都有 f(-x)=-f(x), a?-x?2+2 ax2+2 即 = , 3?-x?+b -3x+b ∴(ax2+2)(3x+b)=(-3x+b)(-ax2-2), ∴3ax3+abx2+6x+2b=3ax3-abx2+6x-2b,
? ?ab=-ab, 由恒等式的性质,得? ? ?2b=-2b.

∴b=0.
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a×22+2 5 5 ∵f(2)= ,∴ = ,∴a=2. 3 3 3×2 2x2+2 即 a=2,b=0,此时 f(x)= . 3x 2x2+2 2 2 (2)由(1)知 f(x)= 3x =3x+3x, f(x)在(-∞,-1]上是增函数,在(-1,0)上是减函数, 证明如下: 对任意的 x1<x2<0,有 f(x1)-f(x2)

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?2 2 ? ?2 2? =?3x1+3x ?-?3x2+3x ? ? ? 1? 2?

2 2? 1 1 ? =3(x1-x2)+3?x -x ? ? 1 2? 2 2 x2-x1 =3(x1-x2)+3·x x 1 2
? 1 ? 2 ?1- ? = (x1-x2)· x1x2? 3 ?

x1x2-1 2 =3(x1-x2)· x x . 1 2

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①当 x1<x2≤-1 时,x1-x2<0,x1x2>1, ∴x1x2-1>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 所以函数 f(x)在(-∞,-1]上是增函数. ②当-1<x1<x2<0 时, x1-x2<0,0<x1x2<1, ∴x1x2-1<0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以函数 f(x)在(-1,0)上是减函数.

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专题四 函数图象及其应用 函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通 过函数的图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性 等.反之,掌握好函数的性质,有助于正确画出图象. 【例 4】 设函数 f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3). (1)证明:f(x)是偶函数; (2)指出函数 f(x)的单调区间, 并说明在各个单调区间上 f(x)是增 函数还是减函数; (3)求函数的值域.

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(1)证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x), 即 f(-x)=f(x),且定义域[-3,3]关于原点对称, ∴f(x)是偶函数. (2)解 当 0≤x≤3 时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2; 当-3≤x<0 时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2. 即
2 ? ??x-1? -2,0≤x≤3, f(x)=? 2 ? ??x+1? -2,-3≤x<0.

根据二次函数的作图方法,可得函数图象,如图所示. 函数 f(x)的单调区间为[-3,-1],(-1,0], (0,1],(1,3].f(x)在区间[-3,-1],(0,1]上 为减函数,在(-1,0],(1,3]上为增函数.
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(3)解

当 0≤x≤3 时,函数 f(x)=(x-1)2-2 的最小值为 f(1)=

-2,最大值为 f(3)=2; 当-3≤x<0 时, 函数 f(x)=(x+1)2-2 的最小值为 f(-1)=-2, 最大值为 f(-3)=2.故函数 f(x)的值域为[-2,2].

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专题五

数形结合思想

数形结合思想是数学重要的思想方法之一,数形结合能将抽象 的问题直观化,形象化,能使问题灵活直观地获解,使问题化 难为易,化抽象为具体,数形结合就是根据数与形之间的对应 关系, 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要方法, 数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,变抽象思维为形 象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵 活性的有机结合.

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3 1 2 【例 5】 对于任意 x∈R,函数 f(x)表示-x+3,2x+2,x -4x +3 中的较大者,则 f(x)的最小值是________. 解析 首先应理解题意,“函数 f(x)表示

3 1 2 -x+3,2x+2,x -4x+3 中的较大者” 是指对某个区间而言,函数 f(x)表示-x+3, 3 1 2 2x+2,x -4x+3 中最大的一个. 如图, 分别画出三个函数的图象, 得到三个交点 A(0,3), B(1,2), C(5,8).
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从图象观察可得函数 f(x)的表达式: ?x2-4x+3 ? ?-x+3 f(x)=?3 1 ?2x+2 ? 2 ?x -4x+3 ?x≤0?, ?0<x≤1?, ?1<x≤5?, ?x>5?.

f(x)的图象是图中的实线部分,图象的最低点是点 B(1,2),所以 函数 f(x)的最小值是 2. 答案 2

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命题趋势 从课改区近几年高考信息统计可以看出,本部分命题呈现以下 特点: (1)考查题型以选择题、填空题为主,分值为 5 分,属容易题或 中档题. (2)函数及函数的基本性质是高考的知识点之一,重点考查函数 的基本性质(单调性、奇偶性为主),注意在知识交汇点处命题.

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高考真题 1 . (2011· 大纲全国 ) 设集合 U = {1,2,3,4} , M = {1,2,3} , N = {2,3,4},则?U(M∩N)=( A.{1,2} B.{2,3} ).

C.{2,4} D.{1,4}

解析 ∵M={1,2,3},N={2,3,4},∴M∩N={2,3}. 又∵U={1,2,3,4},∴?U(M∩N)={1,4}. 答案 D

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2.(2011· 课标全国)已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P= M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 解析 B.4 个 C .6 个 ). D.8 个

∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}

∴M∩N 的子集共有 22=4 个. 答案 B

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3.(2011· 北京高考)已知集合 P={x|x2≤1},M={a},若 P∪M =P,则 a 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[-1,1] ).

B.[1,+∞) D.(-∞,-1)∪[1,+∞)

解析 由 P∪M=P,有 M?P,∴a2≤1, ∴-1≤a≤1,故选 C. 答案 C

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5.(2011· 陕西高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2) =f(x),则 y=f(x)的图象可能是( ).

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解析 由 f(-x)=f(x)可以得到 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,排 除 A 和 C;由 f(x+2)=f(x),得 y=f(x)的最小正周期为 2,排除 D,故选 B. 答案 B

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6.(2009· 陕西高考)定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈ f?x2?-f?x1? [0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则( x2-x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) 解析 B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) ).

f?x2?-f?x1? 对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有 <0, x2-x1

即 x2-x2 与 f(x2)-f(x1)异号, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数,又 f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-2)=f(2),∴f(3)<f(-2)<f(1).故选 A. 答案 A
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7. (2009· 辽宁高考)已知偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上单调增加, 则满足
?1? f(2x-1)<f?3?的 ? ? ?1 2? B.?3,3? ? ?

x 的取值范围是(
?1 2? D.?2,3? ? ?

).

?1 2? A.?3,3? ? ?

?1 2? C.?2,3? ? ?

1 解析 法一 当 2x-1≥0,即 x≥ 时,∵f(x)在[0,+∞)上单 2 1 2 1 2 1 调递增,∴2x-1< ,即 x< ,∴ ≤x< .当 2x-1<0,即 x< 时, 3 3 2 3 2 由于
?1? ? 1? f(x)是偶函数,f(x)在(-∞,0]上单调递减,f?3?=f?-3?, ? ? ? ?

1 1 1 1 2 ∴2x-1>-3,即3<x<2.综上所述,可得3<x<3.
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法二 根据函数的奇偶性和单调性作示意图.数形结合可知, 由
?1? 1 1 1 2 ? ? f(2x-1)<f 3 ,得-3<2x-1<3,解得3<x<3.故选 ? ?

A.

答案 A

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