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2.4 函数的奇偶性教案


函数的奇偶性
一.知识点 1.定义: 设 y=f(x),x∈A,如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? f ( x) ,则称 y=f(x)为偶函数。 设 y=f(x),x∈A,如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 y=f(x)为奇函数。 如果函数 f ( x ) 是奇函数或偶函数,则称函数 y= f ( x ) 具有奇偶性。 2.性质: ①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称, ②y=f(x)是偶函数 ? y=f(x)的图象关于 y 轴对称, y=f(x)是奇函数 ? y=f(x)的图象关于原点对称, ③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间 上单调性相同, ④偶函数无反函数,奇函数的反函数还是奇函数, ⑤若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和

1 1 f ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] 2 2
⑥奇± 奇=奇 偶± 偶=偶 奇× 奇=偶 偶× 偶=偶 奇× 偶=奇[两函数的定义域 D1 ,D2,D1∩D2 要关于原点对称] ⑦对于 F(x)=f[g(x)]:若 g(x)是偶函数,则 F(x)是偶函数 若 g(x)是奇函数且 f(x)是奇函数,则 F(x)是奇函数 若 g(x)是奇函数且 f(x)是偶函数,则 F(x)是偶函数 ⑧奇函数在定义域内若有零:则 f(0)=0 3.奇偶性的判断 1.定义①看定义域是否关于原点对称, ②看 f(x)与 f(-x)的关系。 2.看图形的对称性。 二.应用举例 关于从定义出发 例 1.判断下列函数的奇偶性、 ① f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 1? x

非奇非偶函数

② f ( x) ?

lg(1 ? x 2 ) x2 ? 2 ? 2

偶函数

? x 2 ? x ( x ? 0) ③ f ( x) ? ? 2 ?? x ? x ( x ? 0)
④ f ( x) ?

奇函数

3 ? x2 ? x2 ? 3
2

既是奇函数又是偶函数 a=0 时偶函数,a≠0 时非奇非偶函数

⑤ f ( x) ? x ? x ? a ? 2

例 2.定义在实数集上的函数 f(x),对任意 x,y∈R,有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且 f(0)≠0 ①求证:f(0)=1 ②求证:y=f(x)是偶函数 2 证:①令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=2f (0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令 x=0,则 f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数

变式: 定义在 R 上的函数 y=f(x),对任意 x1,x2 都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2), 判断函数 y=f(x)的奇偶性并证明。 解:令 x1=x2=0 则 f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0 令 x1=x x2= -x 则 f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)= - f(x) ∴y=f(x)是奇函数 关于数形结合和性质 2 例 3.已知函数 f(x),当 x<0 时,f(x)=x +2x-1 ①若 f(x)为 R 上的奇函数,能否确定其解析式?请说明理由。 ②若 f(x)为 R 上的偶函数,能否确定其解析式?请说明理由。

? x 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) ? 答案:①可确定, f ( x) ? ? 0 ( x ? 0) ? ? x 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) ?
②不可确定,∵x>0 时,虽可确定 f(x)=x -2x-1,但 x=0 时,f(0)取任意实数都可以。 变式一: 变式二:已知函数 f ( x) ?
2

a ? 2x ? a ? 2 是定义在实数集上的奇函数,求函数的解析式。 2x ?1

分析:用 f(-x)=-f(x) (x∈R)较繁,用 f(0)=0 可较方便地求得 a=1, f ( x) ? 综合提高与应用。

2x ? 2 再验证 2x ?1

练习:已知 f(x)是定义在R上的偶函数,且在 [0,??) 上为减函数,若 f ( a 2 ? a ? 2 ) ? f (2a ? 1) ,求实 数 a 的取值范围。 简 解 : f(x) 是 R 上 的 偶 函 数 且 在 [0,??) 上 为 减 函 数 , ∴ 由 f ( a 2 ? a ? 2 ) ? f (2a ? 1) 有 :

a ? a ? 2 ? f (2a ? 1)
2

? a2 ? a ? 2 ? 0 解得 a≤-1 或 a≥2. ?? 2 2 ?a ? a ? 2 ? (2a ? 1)

三.小结 1.定义域关于原点对称是函数是奇(偶)函数的必要不充分条件; 2.y=f(x)是奇(偶)函数 ? y=f(x)的图象关于原点( y 轴)对称 3.F(x)=f[g(x)]的奇偶性 4.若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则 f ( x) ? 5.函数奇偶性的判断与应用。 四.作业

1 1 [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] 2 2

备例 1.已知 g(x)是奇函数, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ? x) ? g ( x) ? 2 且f (?3) ? 5 ,求 f(3)
2 x

1 8

简解: ?

? ? f ( x) ? log2 ( x 2 ? 1 ? x) ? g ( x) ? 2 x x ?x 相加得: f ( x) ? 2 ? 2 ? f (? x) 2 ?x ? ? f (? x) ? log2 ( x ? 1 ? x) ? g ( x) ? 2

? f (3) ? 23 ? 2 ?3 ? f (?3) ? 3
备例 2.f(x)是定义在 (??,?10] ? [10,??) 上的奇函数,且 f(x)在 [10,??) 上的的单调递减

①判断 f(x)在 (??,?10] 上的单调性,并用定义证明, ②若 a>0 且 a≠1,有 f [?(a x ? 1) 2 ? a x ] ? f (a 2 x ? 6a x ? 10) ? 0 ,求 x 的取值范围。 解答见书 备例 3:


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