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二项式定理练习题


二项式定理练习题 一、选择题: 1.在 ?x ? 3 ? 的展开式中, x 的系数为
10

6


6 C. ? 9 C 10



A. ?

27 C 10

6

4 B. 27 C 10

>4 D. 9 C 10

2. 已知 a ? b ? 0 , b ? 4 a , ? a ? b ? n 的展开式按 a 的降幂排列,其中第 n 项与第 n+1 项相等,那么正整 数 n 等于 A.4 3.已知( a ?
3

( B.9
1 a
2 n



C.10

D.11 )

) 的展开式的第三项与第二项的系数的比为 11∶2,则 n 是 (

A.10 B.11 C.12 10 4.53 被 8 除的余数是 A.1 B.2 C.3 6 5. (1.05) 的计算结果精确到 0.01 的近似值是 A.1.23 B.1.24 C.1.33 6.二项式 ? 2 ?
? x ? 1
4

D.13 ( D.7 ( D.1.34 ) )

? ? x ?

n

(n ? N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项 ( ) D.4
2

数是 A.1
1 3 1

B.2
n

C.3

7.设(3x +x 2 ) 展开式的各项系数之和为 t,其二项式系数之和为 h,若 t+h=272,则展开式的 x 项的系 数是 A. 1
2
2 6

( B.1
5



C.2

D.3 ( )

8.在 (1 ? x ? x ) 的展开式中 x 的系数为 A.4 9. ( 3
1 x

B.5
5 1 x n

C.6

D.7

?

) 展开式中所有奇数项系数之和等于 1024,则所有项的系数中最大的值是

( A.330
4 5



B.462
4

C.680

D.790 ( D.45
5 2

10. ( x ? 1) ( x ? 1) 的展开式中, x 的系数为 A.-40 B.10 C.40



11.二项式(1+sinx)n 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的一项的值为 内的值为 ? ? A. 或
6

,则 x 在[0,2π ]

( B.
?
6


?
3



5? 6

3

C.

?
3



2? 3

D.



5? 6

12.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7 的展开式中,含 x4 项的系数是等差数列 an=3n-5 的 A.第 2 项 B.第 11 项 C.第 20 项 D.第 24 项





二、填空题: 13. ( x ?
2

1 2x

) 展开式中 x 的系数是

9

9

.

14.若 ?2 x ?
3

3

?

4

4 2 2 ? a 0 ? a 1 x ? ? ? ? ? a 4 x ,则 ? a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 1 ? a 3 ? 的值为__________.

15.若 ( x ? x ) 的展开式中只有第 6 项的系数最大,则展开式中的常数项是
n

?2

.

16.对于二项式(1-x)

1999

,有下列四个命题:
1000

①展开式中 T 1000 = -C 1999

x

999



②展开式中非常数项的系数和是 1; ③展开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项; ④当 x=2000 时,(1-x)
1999

除以 2000 的余数是 1.

其中正确命题的序号是__________. (把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题: 17.若 ( 6 x ?
1
6

) 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.

n

x

(1) 求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项,为什么?

18.已知(

1 4

? 2 x ) 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37,求展式中二项式系数最大的项的系数.

n

19. 是否存在等差数列 ?a n ? , a 1 C 0 ? a 2 C 1 ? a 3 C 2 ? ? ? ? ? a n ?1 C n ? n ? 2 n 对任意 n ? N * 都成立?若存在, 使 n n n n 求出数列 ?a n ? 的通项公式;若不存在,请说明理由.

20.某地现有耕地 100000 亩,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有量比现在提高 10%。 如果人口年增加率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少亩(精确到 1 亩)?

21.设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n ? N ),若其展开式中,关于 x 的一次项系数为 11,试问:m、n 取何值时, f(x)的展开式中含 x2 项的系数取最小值,并求出这个最小值.

22.规定 C x ?
m

x ( x ? 1) ? ( x ? m ? 1) m!

,其中 x∈R,m 是正整数,且 C x ? 1 ,这是组合数 C n (n、m 是正
0
m

整数,且 m≤n)的一种推广. (1) 求 C ? 15 的值;
Cx
1 x 3 2

3

(2) 设 x>0,当 x 为何值时, (3) 组合数的两个性质; ①Cn ? Cn
m n?m

(C )

取得最小值?

.
m

②Cn ? Cn
m

m ?1

? C n ?1 .
m

是否都能推广到 C x (x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若 不能,则说明理由.


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