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高中数学必修5练习题--等差数列原创新人教[1] (1)


高中数学必修⑤练习题----等差数列
班级__________ 姓名_________ 学号____ 评分_______

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设数列 2 , 5,2 2 , 11 , ……则 2 5 是这个数列的 A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 ( )

2.若

a≠b,数列 a,x1,x 2 ,b 和数列 a,y1 ,y2 , y3,b 都是等差数列,则 A. 2 3 B. 3 4

x2 ? x1 ? y 2 ? y1

(

)

C.1

D. 4 3 ( D.675 ( D. a=-2,b=-5 ( ) ) )

3. 等差数列{an}中, 若a3+a4+a5+a6+a7=450 ,则前9项和S9= A.1620 B.810 C.900

4.在-1 和 8 之间插入两个数 a,b, 使这四个数成等差数列, 则 A. a=2,b=5 B. a=-2,b=5 C. a=2,b=-5

5.首项为 ?24 的等差数列, 从第 10 项开始为正数, 则公差 d 的取值范围是 A. d >

8 3

B. d >3

C.

8 ≤ d <3 3

D.

8 < d ≤3 3

6.等差数列 {an } 共有 2 n 项,其中奇数项的和为 90,偶数项的和为 72,且 a2n ? a1 ? ?33, 则该数列的公差为 A.3 B.-3 C.-2 D.-1 ( ) ( )

7. 在等差数列 {an } 中, 则在 S n 中最大的负数为 a10 ? 0, a11 ? 0, 且 a11 ?| a10 | , A. S17 B. S18 C. S19 D. S 20

8.等差数列{an}中,a1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下的10项的平均值 是4, 则抽取的是: A.a11 9. 设 函 数 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 (
4

( B.a10 C.a9 f(n+1)= D.a8 f(1)=2, 则

)

f(x) 满 足

2 f (n) ? n * (n ∈ N ) 且 2

f(20) 为

10.已知无穷等差数列{a n},前 n 项和 S n 中,S 6 <S 7 ,且 S 7 >S 8 ,则 A.在数列{a n }中 a7 最大;
1

)

B.在数列{a n }中,a 3 或 a

最大;

C.前三项之和 S 3 必与前 11 项之和 S 11 相等;

D.当 n≥8 时,a n <0.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
* 11.集合 M ? m m ? 6n, n ? N , 且 m ? 60

?

? 中所有元素的和等于_________.
? an , 则

12 、 在 等 差 数 列 {an } 中 , a3 ? a7 ? a1 0 ?8, a 4 ? a1 1 ? ? 记 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? 14.

S13 ? _____
13、已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1 ,则 a16 的值是 .

14.等差数列{an}、 {bn}、 {cn}与{dn}的前 n 项和分别记为 Sn、Tn、Pn、Qn.

S n 5n ? 1 = , Tn 3n ? 1

f ( n) ?

an c 5n ? 2 P f (n) ; n = , g ( n) ? n .则 的最小值= g (n) bn d n 3n ? 2 Qn

三、解答题: 15.(12 分)(1)在等差数列 {an } 中, d ? ? , a7 ? 8 ,求 an 和 Sn ; (2)等差数列 {an } 中, a4 =14,前 10 项和 S10 ? 185.求 an ;

1 3

16.(13 分)一个首项为正数的等差数列{an}, 如果它的前三项之和与前 11 项之和相等, 那么 该数列的前多少项和最大?

17.(13 分)数列{an}中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 (1)求数列的通项公式;(2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ?

? | an | ,求 Sn 。

2

18.(14 分)一种设备的价值为 a 元, 设备维修和消耗费用第一年为 b 元, 以后每年增加 b 元, 用 t 表示设备使用的年数,且设备年平均维修、消耗费用与设备年平均价值费用之和为 y 元,当 a=450000,b=1000 时,求这种设备的最佳更新年限(使年平均费用最低的 t)

19.(14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=

1 . 2

(1)求证:{

1 }是等差数列;(2)求 an 表达式; Sn
2 2 2

(3)若 bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b2 +b3 +…+bn <1.

20.(14 分)已知数列 a1 , a 2 , ? , a30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;
3

a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列; a 20 , a 21 , ? , a30 是公差为 d 2 的等差数列( d ? 0 ).
(1)若 a 20 ? 40 ,求 d ;(2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a10 ? a20 ? a30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a30 , a31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,……,依次类推,把已知 数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例), 并进行研究, 你能得到什 么样的结论?

高中数学必修⑤练习题(2)----等差数列(B)参考答案 BDBA DBCA BD 11.270 12.286 13.22 14. 15 11

15. (1) an ? ? n ?
? a ? 14 (2)由 ? 4 ∴ ? S10 ? 185

1 3

31 1 61 , Sn ? ? n2 ? 3 6 6
?a1 ? 3d ? 14, ? ? 1 10a1 ? ?10 ? 9 ? 9d ? 185, ? ? 2

? a1 ? 5 ? ?d ? 3

? an ? 3n ? 2

16.由 S3 ? S11 ,得 d ? ?

2 a1 ,知{ an}是递减的等差数列. 13

∵S3=S11,∴ a4+a5+…+a11=0.又∵ a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8, ∴4(a7+a8)=0,即 a7+a8=0.由此必有 a7>0,a8<0.故前 7 项和最大. 17.(1) an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ∴ an?2 ? an?1 ? an?1 ? an
4

∴ {an?1 ? an } 为常数列,∴{an}是以 a1 为首项的等差数列, 设 an ? a1 ? (n ?1)d , a4 ? a1 ? 3d ,∴ d ? (2)∵ an ? 10 ? 2n ,令 an ? 0 ,得 n ? 5 。 当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 。 ∴当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ?

2?8 ? ?2 ,∴ an ? 10 ? 2n 。 3

? | an | ? a1 ? a2 ? ? an 。

? a5 ? (a6 ? a7 ?

? an )

? T5 ? (Tn ? T5 ) ? 2T5 ? Tn , Tn ? a1 ? a2 ?
当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ?
2 ? ?9n ? n , (n ? 5) ∴ Sn ? ? 2 ? ?n ? 9n ? 40, (n ? 5).

? | an | ? a1 ? a2 ?

? an ? Tn 。

18.设此设备使用了 t 年,由题意,设备维修、消耗费用构成以 b 为首项,b 为公差的等差 数列,因此年平均维修、消耗费用为

b ? 2b ? ? ? tb b ? (t+1)(元) t 2

年平均价值费用为

a 元,于是有 t

y?

b(t ? 1) a b b a 900 ? ? ? t ? ? 500 ? 500(t ? ) 2 t 2 2 t t
t

对于 ? (t)=t+ 900 , 可以证明当 0<t≤30 时, ? (t)为减函数, t≥30 时 ? (t)为增函数, ∴当 t=30 时 ? (t)有最小值,即 y 取最小值,∴当 t=30 时年平均费用最低,∴这种设备 的最佳更新年限是 30 年. 19.(1) ∵an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),而 an =Sn-Sn-1, ∴Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0(n≥2),∴

1 1 ? ? 2 (n≥2)。 Sn Sn?1

∴{

1 1 1 }是以 ? ? 2 为首项,2 为公差的等差数列。 Sn S1 a1
1 1 . ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n , S n ? 2n Sn

(2)由(1)知,

5

?1 ,n ?1 ? 1 1 ?2 ? 当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 。∴ an ? ? 2n 2(n ? 1) ? 1 ? 1 , n ? 2. ? ? 2n 2(n ? 1)
(3)当 n≥2 时,bn=2(1-n)an= 2(1 ? n)[
2 bn ?

1 1 1 ? ]?? 。 2n 2(n ? 1) n
.b2 +b3 +
2 2

1 1 1 1 ? ? ? 2 n n(n ? 1) n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 2 +bn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? 1? ? 1. 1 2 2 3 n ?1 n n
∴ 20.(1) a10 ? 10. a 20 ? 10 ? 10d ? 40, ? d ? 3 . (2) a30 ? a20 ? 10d 2 ? 10 1 ? d ? d 2



?

?

(d ? 0) ,

a10 ? a20 ? a30 ? a10 ? a20 ? a20 ? 10d 2 ? 10 ? 3 ? 2d ? d 2 ? ? 10[2 ? (d ? 1)2 ]
当 d ? ( ? ?, 0 ) ? ( 0, ? ? ) 时, a10 ? a20 ? a30 ?? 20, ? ? ? . (3)所给数列可推广为无穷数列 ? a n ? , 其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1, 公差为 1 的等差数列, 当 n ? 1 时,数列 a10n , a10n?1 , ?, a10 ( n?1) 是公差为 d n 的等差数列. 研究的问题可以是: 试写出 a10 ? a20 ? 取值范围. 研究的结论可以是:由 并求 a10 ? a20 ? ? a10(n?1) 的 ? a10( n?1) 关于 d 的关系式,

a10 ? a20 ? a30 ? a40 ? a10 ? a20 ? a30 ? a30 ? 10d 3 ? 10 ? 4 ? 3d ? 2d 2 ? d 3 ? ,
依次类推可得

a10 ? a20 ?

? a10( n ?1) ? 10 ? ?(n ? 1) ? nd ?

? n ? 1 d (1 ? d n ?1 ) ? ], d ? 1, ?10[ ? dn? (1 ? d ) 2 ? ? ? 1? d ? 5(n ? 1)(n ? 2), d ? 1. ?

因为 S n ?1 ? a10 ? a20 ?

? a10( n ?1) ? 10 ? ?(n ? 1) ? nd ? ? d n ?1 ? ?

? dn? ?,

2 dSn ?1 ? 10 ? ?(n ? 1)d ? nd ?

2 当 d ? 1 时, (1 ? d ) S n ?1 ? 10 ? ?(n ? 1) ? (d ? d ?

? d n ?1 ) ? ?

n ? 1 d (1 ? d n?1 ) ? d (1 ? d n?1 ) ? ,即 S ? 10[ ? ], d ? 1 ; (1 ? d ) Sn?1 ? 10 ?(n ? 1) ? n ?1 1? d (1 ? d )2 1? d ? ? ?

6

当 d ? 1 时, Sn ?1 ? 10 ? (n ? 1) ? n ? 当 d ? 0 时, a10 ? a20 ?

? 1? ? 10 ?

(n ? 1)(n ? 2) ? 5(n ? 1)(n ? 2) . 2

? a10(n?1) 的取值范围为 (10n ? 10, ? ? ) 等.

7


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