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江苏省无锡一中2013-2014学年高二上学期期中考试数学文试题 Word版含答案


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江苏无锡一中 2013—2014 学年度上学期期中考试

高二数学文试题
一、填空题(本大题共有 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.命题:“ ?x ? 0 , x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的否定为: 2.抛物线 y ? ?2 x 的焦点坐标为


2


A1

D1 B1 D

C1


C B A

3.如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 BC1 与 AC 所 成角的大小为
2

. .

y2 4.双曲线 x ? ? 1 的渐近线方程为 4
5.“ 2 ? 2 ”是“ lg a ? lg b ”的
a b

条件. (填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”

或“既不充分又不必要”) 6.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上横坐标为 2 的点到右焦点的距离为 16 7



7.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 有正确命题的序号) ①若 l ? m, m ? ? ,则 l ? ? ;②若 l ? ? , l ∥ m ,则 m ? ? ; ③若 l ∥ ? , m ? ? ,则 l ∥ m ;④若 l ∥ ? , m ∥ ? ,则 l ∥ m . 8. 用长、宽分别是 12 与 8 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱的体积为
2 2

. (填写所



9.直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 相交于 M , N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取 值范围是
2


2

10.已知双曲线 2mx ? my ? 2(m ? 0) 的一条准线方程是 y ? 1 ,则实数 m ? 11.设 P, A, B, C 是球 O 表面上的四个点, PA, PB, PC 两两垂直,且 PA ? 1 , PB ? 2 ,



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PC ? 3 ,则该球的表面积为



12. 已 知 直 线 y ? x ? k 与 曲 线 x ? 1 ? y 2 有 且 仅 有 一 个 公 共 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 为 .

13.在 ?ABC 中,已知 BC ? 2, AB ? AC ? 1 ,则 ?ABC 面积的最大值是

??? ???? ?



14.已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 相交于 A, B 两点,且 OA ? OB(O 为 a2 b2
1 2 ] ,则 a 的最大值为 2 2


坐标原点),若椭圆的离心率 e ? [ ,

二、解答题(本大题共有 6 小题,满分 90 分.解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤) 15.已知 a ? 0 且 a ? 1 .设命题 p : 函数 y ? a 是定义在 R 上的增函数;命题 q : 关于 x 的方程
x

x 2 ? ax ? 1 ? 0 有两个不等的负实根.若“ p 或 q ”为真命题,“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的
取值范围.

16.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,E , F 分别是 A1 B, A1C 的中点, 点 D 在 B1C1 上, A1 D ? B1C . 求证: (1) EF ∥平面 ABC ; (2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C .
A B E C A1 D F B1 C1

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17.已知双曲线 C1 以点 A(0,1) 为顶点,且过点 B (? 3, 2) . (1)求双曲线 C1 的标准方程;

(2)求离心率为

2 ,且以双曲线 C1 的焦距为短轴长的椭圆的标准方程; 2

(3) 已知点 P 在以点 A 为焦点、 坐标原点为顶点的抛物线 C2 上运动, M 的坐标为 (2,3) , 点 求 PM ? PA 的最小值及此时点 P 的坐标.

18.如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(?2, 0) ,直角顶点 B (0, ?2 2) ,顶点 C 在 x 轴上, 点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2)求三角形 ABC 外接圆的方程; (3)若动圆 N 过点 P 且与 ?ABC 的外接圆内切, 求动圆 N 的圆心 N 所在的曲线方程.

19.如图,平面四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CD ? a , ?B ? 90 ? , ?BCD ? 135? ,沿对角 线 AC 将 ?ABC 折起,使平面 ABC 与平面 ACD 互相垂直. (1)求证: AB ? CD ; (2)在 BD 上是否存在一点 P ,使 CP ? 平面 ABD ,证明你的结论; (3)求点 C 到平面 ABD 的距离. B

A D
A D

B

C

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C

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20.在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆

x2 y 2 2 ,右顶点为 A ,直线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

BC 过原点 O ,且点 B 在 x 轴上方,直线 AB 与 AC 分别交
直线 l : x ? a ? 1 于点 E , F . (1)若点 B ( 2, 3) ,求 ?ABC 的面积; (2)若点 B 为动点,设直线 AB 与 AC 的斜率分别为 k1 , k2 . ①试探究 k1 ? k2 是否为定值.若为定值,请求出值;若 不为定值,请说明理由. ②求 ?AEF 的面积的最小值.

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参考答案
1. ?x ? 0, x ? x ? 2 ? 0
2

2. (?

3.

?
3

1 , 0) 2

4. y ? ?2 x 6. 8.

5.必要不充分 7.② 9. ? ?

5 2 288

?



192

?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

10. 14? 12. ? ?1,1? ? ? 2 14.
x

11. ?

4 3

?

?

13. 2

6 2

15. 已知 a ? 0 且 a ? 1 .设命题 p : 函数 y ? a 是定义在 R 上的增函数;命题 q : 关于 x 的方程 “ x 2 ? ax ? 1 ? 0 有两个不等的负实根.若“ p 或 q ”为真命题, p 且 q ”为假命题,求实 数 a 的取值范围. 解: p 真:依题意, a ? 1 ???????4 分 q 真:? x ? 0 1 ?a ? ?x ? ? 2 x ??0 ? ? a ? (法二: ? ? ? 0 ? a ? 2 )用韦达也可以 ???????6 分 ? 2 ? f (0) ? 0 ?

? p 或 q 为真, p 且 q 为假 ? p, q 一真一假 ? a ? 1 ?0 ? a ? 1 ?? 或? ?a ? 2 ? a ? 2

???????7 分 ???????11 分 ???????14 分

?1 ? a ? 2

16. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E , F 分别是 A1 B, A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,

A1 D ? B1C . 求证: (1) EF ∥平面 ABC ; (2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C .

A1 D B1

C1

F E

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A B

C

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证明: (1) ? E , F 分别是 A1 B, A1C 的中点

? EF / / BC 又? EF ? 平面ABC BC ? 平面ABC ? EF / / 平面ABC

?????3 分

???????6 分

(2)? 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1

? BB1 ? 平面A1 B1C1
又? A1 D ? 平面A1 B1C1

???????7 分 ???????9 分

? BB1 ? A1 D
又? A1 D ? B1C

B1C ? BB1 ? B1 B1C ? 平面BB1C1C BB1 ? 平面BB1C1C ? A1 D ? 平面BB1C1C
又? A1 D ? 平面A1 FD ???????12 分 ???????14 分

? 平面A1 FD ? 平面BB1C1C

17. 已知双曲线 C1 以点 A(0,1) 为顶点,且过点 B (? 3, 2) . (1)求双曲线 C1 的标准方程;

2 ,且以双曲线 C1 的焦距为短轴长的椭圆的标准方程; 2 (3) 已知点 P 在以点 A 为焦点、 坐标原点为顶点的抛物线 C2 上运动, M 的坐标为 (2,3) , 点 求 PM ? PA 的最小值及此时点 P 的坐标. 解: (1)依题意, a1 ? 1 ???????2 分
(2)求离心率为 设

y 2 x2 ? ? 1(b1 ? 0) 1 b12
2 2

将 (? 3, 2) 代入,得 b12 ? 1 双曲线标准方程为: y ? x ? 1 (2)由(1)知, c ? 2
2 1

???????4 分

? b2 ? 2 ?b ? 2 c2 a 2 ? b2 1 ? e2 ? 2 ? ? a a2 2 2 ?a ? 4 x2 y 2 y 2 x2 ? 1或 ? ?1 ? 椭圆标准方程为: ? 4 2 4 2 2 (3)依题意,抛物线标准方程为: x ? 4 y 设点 P 到准线 y ? ?1 的垂线段为 PH ? ( PM ? PA) min ? ( PM ? PH ) min ? 4
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???????9 分

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此时, P (2,1)

???????14 分

18.如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(-2,0),直角顶点 B(0,- 2 2) ,顶点 C 在 x 轴上,点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2)求三角形 ABC 外接圆的方程; (3)若动圆 N 过点 P 且与 ?ABC 的外接圆内切, 求动圆 N 的圆心 N 所在的曲线方程. 解 : ( 1 ) ∵ kAB= - 2 , AB ⊥ BC , ∴ 2 kCB= 2 , ???????????2 分 2 ∴直线 BC 方程为:y= 2 x-2 2. ???????????4 分 (2)直线 BC 与 x 轴交于 C,令 y=0,得 C(4,0),∴圆心 M(1,0) ,?????7 分 又∵AM=3,∴外接圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 9 . ????????10 分 (3)∵P(-1,0),M(1,0), ∵圆 N 过点 P(-1,0),∴PN 是该圆的半径. 又∵动圆 N 与圆 M 内切,∴MN=3-PN,即 MN+ PN=3. ?????12 分 ∴点 N 的轨迹是以 M、P 为焦点,长轴长为 3 的椭圆, ?????14 分
2 2

3 5 x2 y 2 ∴a=2,c=1,b2=a2-c2=4,∴轨迹方程为 ? ? 1. 9 5

???????16 分

4 4 19. 如图,平面四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CD ? a , ?B ? 90 ? , ?BCD ? 135? ,沿对 角线 AC 将 ?ABC 折起,使平面 ABC 与平面 ACD 互相垂直. (1)求证: AB ? CD ; (2)在 BD 上是否存在一点 P ,使 CP ? 平面 ABD ,证明你的结论; (3)求点 C 到平面 ABD 的距离. B
A D

A
B C

D

(1) 证明:? AB=BC, ?B ? 90 ? 即 AB ? BC ? ?ACD ? 90 ? 即 CD ? AC , 又? 平面 ABC ? 平面 ACD, 平面 ABC ? 平面 ACD=AC, CD ? 平面 ACD

C

? CD ? 平面ABC ? AB ? 平面ABC ,? CD ? AB
(2)存在,P 为 BD 中点. 证明:? BC=CD,? CP ? BD , 由(1)知, CD ? AB
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???????3 分 ???????4 分 ???????6 分 ???????7 分

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又? AB ? BC

BC ? CD ? C , BC ? 平面BCD,

CD ? 平面BCD, ???????8 分 ? AB⊥平面 BCD 又? CP ? 平面BCD ???????10 分 ? AB ? CP , ? AB ? BD ? B, AB ? 平面ABD, BD ? 平面ABD , ???????12 分 ? CP ? 平面 ABD (3)由(1)知, CD ? 平面ABC 又? BC ? 平面ABC ???????14 分 ? CD ? BC 2 又? BC=CD= a ,P 为 BD 中点 ? CP ? a 2 由(2)知, CP ? 平面 ABD 2 a ????16 分 ? 点 C 到平面 ABD 的距离即 CP 的长,为 2 (证法二)? AB⊥平面 BCD, BD ? 平面BCD ,
? AB ? BD , BD ? AD 2 ? AB 2 ? 2a , 1 2 2 ???????13 分 ? S ?ABD ? AB ? BD ? a , 2 2 ???????14 分 ? CD ? 平面ABC , 1 1 ?VD ? ABC ? CD ? S ?ABC ? a 3 . 3 6 1 2 2 设点 C 到平面 ABD 的距离为 h ,则 VC ? ABD ? h ? S ?ABD ? a , 3 6 2 所以 h ? ???????16 分 a. 2 x2 y 2 2 20. 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右顶点为 A , a b 2 直线 BC 过原点 O ,且点 B 在 x 轴上方,直线 AB 与 AC 分 别交直线 l : x ? a ? 1 于点 E , F . (1)若点 B ( 2, 3) ,求 ?ABC 的面积; (2)若点 B 为动点,设直线 AB 与 AC 的斜率分别为 k1 , k2 .
①试探究 k1 ? k2 是否为定值.若为定值, 请求出值; 若不 为定值,请说明理由. ②求 ?AEF 的面积的最小值.

? 2 3 ? a 2 ? b2 ? 1 ?a 2 ? 8 ? 解: (1)依题意, ? 2 ,得 ? 2 2 2 ?b ? 4 ?c ? a ?b ? 1 2 2 ?a a 2 ? ? A(2 2, 0)
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? S ?ABC ? S ?AOB ? S ?AOC ? 2 6
(2)①由 e ?

???????4 分

2 得 a 2 ? 2b 2 2 BC : x ? my ,设 B( x0 , y0 ) ,则 C (? x0 , ? y0 ) 设

? k1 ?

y0 y0 , k2 ? x0 ? a x0 ? a

? k1 ? k2 ?

2 y0 y2 ? 2 20 2 2 x0 ? a 2 m y0 ? 2b

? x ? my ? ? ? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 2b 1 ? k1 ? k2 ? ? 为定值 2 ② AB : y ? k1 ( x ? a )

? y2 ?

2b 2 m2 ? 2
???????10 分

?x ? a ?1 ? y ? k1 ( x ? a ) ?? 即 E (a ? 1, k1 ) 同理, F (a ? 1, k2 ) ?? ? x ? a ?1 ? y ? k1 1 1 ? S ?AEF ? EF ? (a ? 1 ? a ) ? k1 ? k2 2 2 2 1 1 2 2 时取等 ? k1 ? k2 ? k12 ? k2 ? 1 ? k12 ? 2 ? 1 ? 2 当且仅当 k12 ? 2 即 k1 ? ? 2 4k1 4k1
此时 S min ?

2 2

??????????16 分

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