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复数(基础+复习+习题+练习)


课题:复数
考纲要求:
(Ⅰ)复数的概念:①理解复数的基本概念;②理解复数相等的充要条件;③了解复数的代 数表示法及其几何意义; (Ⅱ))复数的四则运算:①会进行复数的代数形式的四则运算; ②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

教材复习 1. 虚数单位 i : ?1? 它的平方等于 ?1 ,即 i 2 ? ?1 ; ? 2 ? 实数

可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与-1 的关系: i 就是 ?1 的一个平方根,即方程 x2 ? ?1 的一个根,方程 x2 ? ?1 的另 一个根是 ?i . 3. i 的周期性: i 4n?1 ? i , i 4n?2 ? ?1 , i 4 n ?3 ? ?i , i 4 n ? 1 . 4. 复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部.全 体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示 5. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示, 即 z ? a ? bi(a, b ? R) , 把复数表示成 a ? bi
的形式,叫做复数的代数形式.

6. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,当且仅当 b ? 0 时, 复数 a ? bi(a, b ? R) 是实数 a ; 当 b ? 0 时, 复数 z ? a ? bi 叫做虚数; 当 a ? 0 且 b ? 0 时, z ? bi 叫做纯虚数;当且仅当 a ? b ? 0 时, z 就是实数 0

7. 复数集与其它数集之间的关系: N 苘Z Q 苘R C 8. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数 相等.这就是说,如果 a , b , c , d ? R ,那么 a ? bi ? c ? di ? a ? c , b ? d 9. 复平面、实轴、虚轴:复数 z ? a ? bi (a, b ? R ) 与有序实数 y 对 ? a, b ? 是一一对应关系.建立一一对应的关系.点 Z 的横坐标是 a , Z ? a, b? b 纵坐标是 b ,复数 z ? a ? bi(a, b ? R) 可用点 Z ? a, b? 表示,这个
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,

x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.
547 凡出言,信为先,

O

a x

对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为 ? 0, 0 ? , 它所确定的复数 不会学会,会的做对. 诈与妄,奚可焉.

是 z ? 0 ? 0i ? 0 表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数 z ? a ? bi ???? ? 复平面内的点 Z (a, b)
一一对应

10. 复数 z1 与 z2 的和的定义: z1 ? z2 ? ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? i 11. 复数 z1 与 z2 的差的定义: z1 ? z2 ? ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? i 12. 复数的加法运算满足交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 13. 复数的加法运算满足结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) 14. 乘法运算规则: 设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ( a 、 b 、 c 、 d ? R ) 是任意两个复数,那么它们的积

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.

z1z2 ? ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i

其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i 换成 ?1 ,并
2

且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. (1) z1 ? z2 z3 ? ? ? z1 z2 ? z3

15. 乘法运算律:

? 2 ? ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) ? 3? z1 ? z2 ? z3 ? ? z1z2 ? z1z3 3. 复数除法定义: 满足 ? c ? di?? x ? yi? ? ? a? bi ? 的复数 x ? yi ( x 、 y ? R )叫复数
a ? bi 除以复数 c ? di 的商,记为: (a ? bi) ? ? c ? di ? 或者

a ? bi c ? di

16. 除法运算规则: ①设复数 a ? bi ( a 、 b ? R ),除以 c ? di ( c , d ? R ),其商为 x ? yi ( x 、 y ? R ),
即 (a ? bi) ? ? c ? di ? ? x ? yi ∵ ? x ? yi ?? c ? di ? ? ? cx ? dy ? ? ? dx ? cy ? i ∴ ? cx ? dy ? ? ? dx ? cy ? i ? a ? bi

ac ? bd ? x? 2 , 2 ? cx ? dy ? a , ? ? c ? d 由复数相等定义可知 ? 解这个方程组,得 ? ?dx ? cy ? b. ? y ? bc ? ad . ? c2 ? d 2 ?
于是有: (a ? bi) ? ? c ? di ? ?
2

ac ? bd bc ? ad ? i c2 ? d 2 c2 ? d 2
2

②利用 ? c ? di ?? c ? di ? ? c ? d 于是将

a ? bi 的分母有理化得: c ? di

原式 ?

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) [ac ? bi ? (?di )] ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di )(c ? di ) c2 ? d 2

?

(ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i. c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2
548 凡出言,信为先,

不会学会,会的做对.

诈与妄,奚可焉.

∴( (a ? bi) ? ? c ? di ? ?

ac ? bd bc ? ad ? i c2 ? d 2 c2 ? d 2

点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有 理化思想方法,而复数 c ? di 与复数 c ? di ,相当于我们初中学习的
2 2

3 ? 2 ,它们之积为1 是有理数,而 ? c ? di ?? c ? di ? ? c ? d 是正实数.所以可以分母

3 ? 2 的对偶式

实数化. 把这种方法叫做分母实数化法.

17. 共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复 数。虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

典例分析:
考点一 复数的概念

问题 1. ?1?

( 06 四川)复数 ?1 ? i ? 的虚部为 A. 3 B. ?3 .
3

C. 2 D. ?2

? 2 ? ( 07 全国Ⅰ)设 a 是实数,且 1 ? i ?

a

1? i 1 3 B. 1 C. D. 2 是实数,则 a ? A. 2 2 2

? 3? ( 2013 安徽文)设 i 是虚数单位,若复数 a ?
A. ?3 B. ?1 C. 1

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为 3?i D. 3

? 4 ? ( 2013 湖南)复数 z ? i ?1? i ? ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

? 5? ( 2013 安徽)设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 z
A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i

zi +2=2z ,则 z ?

不会学会,会的做对.

549 凡出言,信为先,

诈与妄,奚可焉.

考点二 复数相等的应用

问题 2. ?1? ( 06 湖北)设 x 、 y 为实数,且

x y 5 ? ? ,则 x ? y ? 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

? 2 ? ( 2011 江西文)若 ( x ? i)i ? y ? 2i, x, y ? R ,则复数 x ? yi =
A. ?2 ? i B. 2 ? i C . 1 ? 2i D. 1 ? 2i

? 3? ( 2012 上海)若1 ?
A. b ? 2, c ? 3

2i 是关于 x 的实系数方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则 B. b ? ?2, c ? 3 C. b ? ?2, c ? ?1 D. b ? 2, c ? ?1

考点三 复数的运算

问题 3. ?1? ( 2013 全国大纲) ?1+ 3i ? ?
3

A. ?8

B. 8

C . ? 8i

D. 8i

? 2 ? ( 2012 上海)计算: 1 ? i ?

3?i

( i 为虚数单位).

? 3? ( 2013 浙江)已知 i 是虚数单位,则 (?1 ? i)(2 ? i) ?
A. ? 3 ? i B. ? 1 ? 3i C. ? 3 ? 3i

D. ? 1 ? i

? 4 ? ( 2012 安徽)复数 z 满足: ( z ? i)(2 ? i) ? 5 ;则 z ?
A. ?2 ? 2i B. ?2 ? 2i C. ? ? ?i

D. ? ? ?i

考点四 复数的模
不会学会,会的做对.
550 凡出言,信为先,

诈与妄,奚可焉.

问题 4. ?1? ( 2013 新课标Ⅱ文)

2 ? 1? i

A. 2 2

B. 2

C.

2

D. 1

? 2 ? ( 2013 辽宁)复数的 z ? i ? 1 模为
走向高考:

1

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

1. ( 2013 福建)已知复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应
的点位于

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2. ( 07 全国Ⅱ)设复数 z 满足

1 ? 2i ? i ,则 z ? A. ?2 ? i B. ?2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i z

3. ( 07 北京)

2

?1 ? i ?

2

?
1 2 1 2 1 i D. 2 1 ? i 2

4. ( 07 福建)复数

1 等于 (1 ? i) 2

A.

B. ?

C.

5. ( 07 安徽)若 a 为实数,

2 ? ai ? ? 2i ,则 a 等于 1+ 2i
C. 2 2
B. ? 1 ? i

A.

2

B. ? 2

D.

?2 2
C. 1 ? i D. ? 1 ? i

2i3 6. ( 07 天津)是虚数单位, ? A. 1 ? i 1? i

7. ( 07 四川)复数

1? i 3 ? i 的值是 1? i

A. 0

B. 1

C. ?1

D. i

不会学会,会的做对.

551 凡出言,信为先,

诈与妄,奚可焉.

8. ( 07 江西)化简

2 ? 4i 的结果是 A. 2 ? i B. ?2 ? i C. 2 ? i D. ?2 ? i (1 ? i ) 2

? 2i ? 9. ( 07 湖南)复数 ? ? 等于 A. 4i ? 1+i ?

2

B. ? 4i

C. 2i

D. ? 2i

10. ( 07 湖北)复数 z ? a ? bi,a,b ? R ,且 b ? 0 ,若 z 2 ? 4bz 是实数,则有序实数 对 (a,b) 可以是 (写出一个有序实数对即可)

11. ( 07 上海, 9 )对于非零实数 a 、 b ,以下四个命题都成立:
① a?

1 ?0; a

② (a ? b) ? a ? 2ab ? b ;
2 2 2
2 ④ 若 a ? ab ,则 a ? b .

③ 若 | a | ? | b | ,则 a ? ?b ;

那么,对于非零复数 a 、 b ,仍然成立的命题的所有序号是

12. ( 07 浙江)已知复数 z1 ? 1 ? i , z1 z2 ? 1 ? i ,则复数 z2 ?

13. ( 06 上海)若复数 z 同时满足 z - z = 2i , z = iz ( i 为虚数单位) ,则 z =

不会学会,会的做对.

552 凡出言,信为先,

诈与妄,奚可焉.


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