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电磁学4-2


电磁学

4-2 电流的磁场 一、磁场及其描写

磁感强度

电流与磁铁之间,电流与电流之间以及磁场与磁场之间 都存在相互作用力,这种相互作用力叫磁相互作用。 磁相互作用也不是超距作用,而是通过磁场来实现的。 电流或磁铁在周围空间产生磁场,磁场对处在场内的电流或 磁铁有力的作用。实质上磁铁或电流所产生的磁场都是由运 动电

荷产生的。因此磁场对磁铁或电流的作用归根结底都是 磁场对运动电荷的作用。 磁相互作用可归结为: 激发 作用 运动电荷 磁场 运动电荷 激发 作用 运动电荷与静止电荷不同,静止电荷只产生电场,而运 动电荷除产生电场外,还产生磁场。静止电荷只受电场力的 作用,而运动电荷除受电场力作用外,还受磁场力的作用。
第四章 稳恒电流的磁场
1

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

稳恒电流的磁场亦称为静磁场或稳恒磁场。在静磁场 中,任意一点的磁感强度仅是空间坐标的函数,而与时间 无关。 我们曾把带电体看作由无数多个电荷元组成。

? 在静电场中计算任意带电体在某点的电场强度 E 时,

dq

? 1 dq ? dE ? e 2 r 4 π?0 r
? ? ? ?0 Idl ? er dB ? 4 π r2

? ? E ? ?dE

? 在稳恒磁场中为了求得任意电流所产生的磁场的磁感强 度 B ,我们可以把电流看成由无数个电流元连接而成。

? I dl

? ? B ? ?dB
2

第四章 稳恒电流的磁场

电磁学

4-2 电流的磁场
? ? ? ? ? 0 I 2 d l2 ? ( I1 d l1 ? er21 ) 得 由 d F21 ? 2 4π r21

磁感强度

? 电流为I的载流回路C所产生的磁场对电流元 I0 dl0的作用力为 ? ? ? ? ? ?0 I 0 d l0 I d l ? er F? I 0 d l0 ? ? ? C 4π r2 er

? 式中 ?r是从回路C上的电流 ? 元I d l 指向电流元 I 0 dl0 的矢 ? ? 径, e r 是沿 r 方向的单位矢
量。

C

? r ? I dl

? 对确定的载流回路,式中的积分值与 I 0 dl0 的大小和方向 ? 都无关,但与 I 0 dl0 所在位置有关。
第四章 稳恒电流的磁场
3

电磁学

4-2 电流的磁场
? 如果用 B表示这一积分所确定的值,即 ? ? ? ?0 I d l ? er B? 4 π ? r2
C

磁感强度

? er

? I 0 d l0

I dl

? r ?

? ? B 反映了 I0 dl0 所在处的磁场强弱,这磁场是由载流回路C ? 所产生的。我们把 B 称为磁场的磁感应强度。引入磁感应
强度之后,磁场对电流元的作用力可表示为

? ? ? F ? I 0 d l0 ? B

安培公式

? F 的方向垂直电流元和磁感应强度所组成的平面,并满
足右手螺旋定则。
第四章 稳恒电流的磁场
4

电磁学

4-2 电流的磁场
说明

磁感强度

? ? 磁感强度 B 在磁场中的地位与电场强度 E 在电场中的地 ? 位相当,因此把 B 称为磁场强度是适宜的,然而由于历史的 ? 原因,却把 B 称为磁感强度,而把磁场强度的名称给了另 一个物理量,这一物理量将在后面讨论。

? 在SI单位制中 B 的单位是特斯拉
1T ? 1 N? A ?1? m?1
在高斯单位制中用高斯 Gs ,

1T ? 104 Gs

第四章 稳恒电流的磁场

5

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

二、比奥-萨伐尔定律
1 毕奥-萨伐尔定律 C

? er
? I dl

? r

载流回路产生的磁场可以看成是回路上各电流元产生的磁

? ? ? ?0 I d l ? er 场的叠加,在公式中 B ? ? r 2 的被积函数可以看 4π
作是电流元所产生的磁场的磁感应强度。 ? 若 I d l 是闭合回路上任一电流元,则在离电流元为 ? 电流元产生的磁感应强度 d B为

? r 处该

? ? ? ?0 I d l ? er dB ? 4 π r2

比奥-萨伐尔定律

第四章 稳恒电流的磁场

6

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

毕奥—萨伐尔(Biot-Savart)定律是一条关于电流激 发磁场的基本定律,它是经过法国的物理学家毕奥和萨伐 尔等人在这方面所进行的大量实验和分析,后由拉普拉斯 从数学上证明而得到的。 ?

? ? ? ?0 Idl ? er dB ? 4 π r2 ? ? ? d B 的方向垂直 I d l 与?e r ? 所组成的平面并沿 I d l ? er
的方向。
的单位矢量。

Idl

? r
? dB

? dB

I

? e r是电流元指向考察点方向

P*?

?

r

? Idl

第四章 稳恒电流的磁场

7

电磁学

4-2 电流的磁场
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.

磁感强度

1
8
×

2
×3

? ? ? ?0 Idl ? r dB ? 4 π r3

7

? Idl

1、5点 : dB ? 0 3、7点 : dB

R
6 5
×

?

? 0 Idl
4 π R2

4

2、4、6、8 点 :

dB ?
第四章 稳恒电流的磁场

? 0 Idl
4πR

sin 45 0 2
8

电磁学

4-2 电流的磁场
磁场叠加原理

磁感强度

? 对任意形状载流导线,在空间P点产生的磁感应强度 B 等
于导线上所有电流元在该点所产生的磁感应强度的矢量和, ? ? 即

? 一般情况下,各电流元在所研究的场点产生的 d B 方向不 同,这时建立合适的坐标系,先求出沿各坐标轴的分量。

? ? ?0 Idl ? er B ? ?d B ? l 4 π ?l r 2

Bx ? ? d Bx
l

? 只有当各电流元在所研究的场点产生的 d B 方向都相同时, ? B ? ?直接计算 的大小。 dB 才能用 B l
第四章 稳恒电流的磁场
9

l ? ? ? ? B ? Bxi ? By j ? Bz k

By ? ? d By

Bz ? ? d Bz
l

电磁学

4-2 电流的磁场
2 毕奥-萨伐尔定律的应用 直线电流的磁场

例1 解

磁感强度 ? ? ? ?0 Idl ? er dB ? 4 π r2

dB ?

? 0 Idl sin ?
4π r2

z
D
? Id l
?
l

? dB 方向均沿 x 轴的负方向

?0 Idl sin ? B ? ? dB ? 4 π ?CD r 2 式中 l , r , ? 均为变量。

? r
R

I

? dB

x
C

o

*

y

P

第四章 稳恒电流的磁场

10

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

由图中几何关系有

z
D

?2

l ? ? R cot ?

,

r ? R / sin ?
2

? Id l ?
l

dl ? Rd? / sin ?

? r

I

? dB

x
C

o R
?1

*

P

y

?0 Idl sin ? B ? ? dB ? 4 π ?CD r 2 ?0 I ? 2 B? ??1 sin ?d? 4π R ?0 I ? (cos ?1 ? cos ? 2 )
4π R
11

第四章 稳恒电流的磁场

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

z
D

?2

?0 I B? (cos ?1 ? cos ? 2 ) 4π R ? B 的方向沿 x 轴的负方向
R

I

x
C

?1

o

*P

y

起点处和终点处电流元方 ? 向与矢径 r之间的夹角。

? 1和 ?2分别为载流直导线

第四章 稳恒电流的磁场

12

电磁学

4-2 电流的磁场
?0 I B? (cos ?1 ? cos ? 2 ) 4π R

磁感强度

无限长载流直导线

z
D

?2

?1 ? 0 ?2 ? π
π ?1 ? 2 ?2 ? π

BP ?

?0 I
2π R

半无限长载流直导线

BP ?

?0 I
4π R

I

x
C

o
?1

R

*P

y

P点位于导线延长线上

BP ? 0 ? ? ? ? ? d l // r ? I d l ? er ? 0
13

第四章 稳恒电流的磁场

电磁学

4-2 电流的磁场
无限长载流长直导线的磁场

磁感强度

B?

?0 I
2πr

I
B

I
X

B

电流与磁感强度成右螺旋关系

在实际过程中,我们不可能遇到真正的无限长直电流, 但是如果在闭合回路中有一段有限长的直电流,只要所考 察的场点离直电流的距离远比直电流的长度及离两端的 距离小,上式还是成立的.
第四章 稳恒电流的磁场

14

电磁学

4-2 电流的磁场
例2 求载流圆弧在圆心的磁场

磁感强度

z

? I dl
I

设真空有一段半径为R的载流圆 弧,其上通有电流 I,求圆心O 处的磁感强度。

? ? 解 任取一电流元 I d l ,它在圆心O处的磁感强度 d B 的
大小为

? ? ? ?0 Idl ? er dB ? 4 π r2

? dB

R
O

y

x

? d B 的方向垂直载流圆弧所在平面向外。
第四章 稳恒电流的磁场

π I d l sin ?0 2 ? ?0 I d l dB ? 4π R2 4 π R2

15

电磁学

4-2 电流的磁场 磁感强度 ? 由于所有电流元在O 点的 d B 方向都相同,所以O 点的磁 ? d 感应强度大小等于各电流元在O点的 B 的大小之和。即
B ? ?d B ? ?
L

?0 I d l
4πR
2

L

?

?0 I
4π R
2

?

L

0

dl ?

?0 IL
4π R
2

z
结论

? I dl
I

?0 I ? L B? ? ? ? 2R 2 π R 2R 2 π

?0 I

? R ? dB O

y

x
第四章 稳恒电流的磁场
16

电磁学

4-2 电流的磁场
例3 载流圆线圈轴线上的磁场 圆上任一电流元在场点P 的 磁感强度大小为

磁感强度



? ? ? ?0 Idl ? er dB ? 4 π r2

? Id l

R

?

r

?

? dB

? 0 Id l dB ? 4 π r2
由对称性分析

o
I

?

? ? dl ? r

x

*P

x

By ? 0

第四章 稳恒电流的磁场

17

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

B ? Bx ? ? dBx ? ? dB sin ?
? Id l

R

r
x
I

o

?

B?

? 0 IR
2

?0 I sin ? 2πR ? ? 2 ?0 d l 4πr *P x sin ? ? R r 2 2 2 r ?R ?x 2
2 3 2

?

? dB

B??

? 0 I sin?dl
4π r2

l

2( x ? R )

第四章 稳恒电流的磁场

18

电磁学

4-2 电流的磁场
讨论

磁感强度

(1)若线圈有 N 匝

B?

N ?0 IR2 2 x ? R )2 (
2 2 3

(2) x ? 0

R

r
x

?0 I B? 2R


o

I

*p

? B

(3) x ?? R

x

B?

? 0 IR2
3

2x ? 0 IS B? 2 π x3
为了描述圆电流的磁性质,引入磁矩的概念
第四章 稳恒电流的磁场

19

电磁学

4-2 电流的磁场
线圈磁矩

磁感强度

? ? m ? ISen
I

载流线圈磁矩的方向与线圈平面的法 线方向(由线圈中电流流向按右手螺 旋法则确定)相同.
对于任意形状的载流闭合平面回路, 其磁矩均可用上式表示. 引入磁矩后,在圆电流轴线上远处一 点的磁感强度

S

? en

? m

? m

? ? ? ?0m ? ?0 m e B? 或 B? 3 n 3 2π x 2π x

? en

I S

第四章 稳恒电流的磁场

20

电磁学

4-2 电流的磁场
课堂练习

磁感强度

1.求圆弧中心O出处磁感强度B

R
I

B?

?0 I
4R

I

R

B?0

O

R
O

I
R
O

R2 O R1
?0?I 1 1 B? ( ? ) 4? R1 R2
21

?

?0 I B? ? 2 R 2?R

?0 I

B?

?0 I
8R

第四章 稳恒电流的磁场

电磁学

4-2 电流的磁场
例4 载流直螺线管内部的磁场

磁感强度

直螺线管是指均匀的密绕在直圆柱面上的螺旋线圈。
如图所示,有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管,每单位长度有线圈n匝,通有电流 I . 设把螺线 管放在真空中,求管内轴线上一点处的磁感强度.

R

P

*
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×

x

第四章 稳恒电流的磁场

22

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

解 每匝可作平面线圈处理,长为dx的螺线管有ndx匝线 圈,可看作电流为Indx的一个圆形电流,在P点产生 的磁感强度

R

x1

P * o

r

? dB

?
x2 x
dx
B?

? 0 IR 2
2( x ? R )
2 2 3 2

× × × × × × × × × × × ×× ×

x
由圆形电流磁场公式得

dB ?

?0
2

?R

R 2 Indx
2

?x

2 3/ 2
23

?

第四章 稳恒电流的磁场

电磁学

4-2 电流的磁场
R

磁感强度

x1

P * o

r

? dB

?
x2 x
dx

× × × × × × × × × × × ×× ×

x
B ? ? dB ?
? 矢量 r 之间的夹角

?0 nI
2

?是螺线管的轴线与从P点到 d x 处小段线圈上任一点的

? ?R
x1

x2

R dx
2

2

?x

2 3/ 2

?

x ? Rcot?

dx ? ?R csc2 ?d? R2 ? x2 ? R2 csc2 ?
第四章 稳恒电流的磁场
24

电磁学

4-2 电流的磁场
R

磁感强度

x1

?1 r ? ? * ? P 2 dB

x2 x

× × × × × × × × × × × ×× ×

x
B??

dx
3 2

?0 nI
2

??

?2
1

?0 nI ?? 2

R csc ?d? 3 3 R csc ?d?

讨论

??

?2
1

sin ? d ?

(1)无限长的螺线管

?0 nI ?cos ? 2 ? cos ?1 ? B? 2
第四章 稳恒电流的磁场

?1 ? π, ? 2 ? 0 B ? ?0 nI
25

电磁学

4-2 电流的磁场
R

磁感强度

x1

?1 r ? ? * ? P 2 dB

x2 x

× × × × × × × × × × × ×× ×

x
(2)半无限长螺线管

dx
π ?1 ? , ? 2 ? π 2

π ?1 ? 0, ? 2 ? 2



B ? ?0 nI / 2
长直螺线管轴线的端点的磁感强度正好为中心处的一半.
第四章 稳恒电流的磁场

电磁学

4-2 电流的磁场
R

磁感强度

x1

?1 r ? ? * ? P 2 dB

x2 x

× × × × × × × × × × × ×× ×

x

dx
B

1 ? 0 nI 2

?0 nI
x

O
螺线管轴线上的磁场分布图.
第四章 稳恒电流的磁场

27

电磁学

4-2 电流的磁场


磁感强度

l ?? R

B ? ?0nI

实际上,L>>R时,螺线管内部的磁场近似均匀,大小 为 ? 0 nI 。
说明

上述例题表明,圆形线圈的磁场与长直导线磁场相比 有集中的趋势,圆形线圈的直径越是缩小,磁场越是集中. 螺线管的磁场则进一步集中,进一步加强,有均匀分布的 趋势.这些典型的载流体周围的磁场特点常用于工程实际 中,例如在无损检测技术中,样品需要磁化,很多场合既 要求磁场强,又要求磁场均匀,这就需要用载流长螺线管 来激发磁场.
第四章 稳恒电流的磁场
28

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

例5 半径为R的薄圆盘均匀带电,电荷面密度为? 。若 盘绕自身的中心轴线以角速度? 旋转,求轴线上离盘心 为 P 处的 z 点的磁感强度。

z
P

R

o

?

第四章 稳恒电流的磁场

29

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

解 带电圆盘转动产生的电流可看成有许多同心的圆电流 组成,取距盘心 r 处宽度为 d r的圆环作圆电流,电流为

? dI ? ? 2 π r d r ? ??r d r 2π

d I 在P点所产生的磁感强度为 ?0 d I r2 dB ? 2 2 32 2 (r ? z )
方向沿z轴的方向。整个旋转圆盘产生 的磁感强度为

B?

? 0 IR 2
2( x ? R )
2 2 3 2

z
P

?0?? r dr B? ? (r 2 ? z 2 )3 2 2 0
R 3

r o dr

?

? 0?? ? R ? 2 z
2

2

? ? ? 2z ? ? ? R2 ? z2 ? ?
2

?
30

第四章 稳恒电流的磁场

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

B?

? 0?? ? R 2 ? 2 z 2
2

? ? ? 2z ? ? ? R2 ? z2 ? ?

z
P

在盘心处

B?

? 0??
2

R

r o dr

?

第四章 稳恒电流的磁场

31

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

例6 一宽为 a 的薄长金属板中通有电流 I,电流沿薄 板方向均匀分布,求在薄板所在平面内距板的一边为 a 的P点处的磁感强度。 解 无限长载流薄板看作 由许多平行的无限长 载流直导线组成,取 宽度的 d x 窄条,通 过的电流为

dx

a

P

.

o

I dI ? dx a

x
I

a

x

第四章 稳恒电流的磁场

32

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

d I 在P点产生的磁感强度为

dx
dB ?

?0 d I
2 π(2a ? x)
a

a

P

.

o

x
I

a

x
?0 I
2πa

Bp ? ? d B ? ?
0

?0 I d x
2 π a ( 2a ? x )

?

ln 2

方向:

?
33

第四章 稳恒电流的磁场

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

例7(例4.2-4 )电流均匀地通过无限长的平面导体薄板, 无限长载流导体薄 求到薄板的距离为x 处的磁感强度。

解 设导体板宽为2a ,通过宽 为单位长度的狭条的电流为i。 取oxy 平面与导体板重合,x 轴与板垂直,如图所示。在 板上任取一宽度为dy ,位于 y到y + dy之间内的狭条。
这狭条可作为无限长载流直 导线处理,其上电流为idy, 它在考察点P的磁感强度为

板的磁场可看作很 多无限长载流直导 线的磁场的叠加

z
y?d y

?a

y
o

? R ? dB

a

y

dB ?

?0 i d y
2π R
第四章 稳恒电流的磁场

i

P

x
34

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

? 方向与 R 垂直。把 d B分解成沿

x 和 y 方向的两个分量
z
y?d y

d Bx ? d B sin ? d By ? d B cos ?

y
R

? dB

o

?

x

?a

y
o

? R ? dB

a

y

i

P

x

第四章 稳恒电流的磁场

35

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

z
y
y?d y

R

? d B?

? dB

?a

y
o

i

? R ? dB P x

a

y
R

?

x

相对z 轴对称的两狭条 所产生的磁场的合成。

? 由于对称性,与z 轴对称的任意两狭条在P点的磁场 d B ? 和 d B? 的x 分量相互抵消,因此, P点的磁感强度由各
狭条在P点产生的磁场的 y 分量叠加而成,即
第四章 稳恒电流的磁场

36

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

y
R

? d B?

? dB

?
R
B ? ? d By ? ?
由图可知:

x
?0i cos ?
2π R dy

x ? R cos ?

,
2

y ? xtg?

d y ? x d ? cos ?
第四章 稳恒电流的磁场
37

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

? 0i ? 0i B? ? d ? ? π ?0 2? ? ?
0

?0

a ? ? 0 ? tg x ? 0i ?1 a ?B ? tg π x
?1

即 x 轴上任意点的磁场与该点到薄板的距离有关。若 薄板是无限宽的,即 a ? ? ,则

1 B ? ? 0i 2
第四章 稳恒电流的磁场
38

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

无限大的载流导体板产生的磁场是均匀磁场,与考察点的 ? 位置无关。磁感强度 B 与载流平面平行,其方向与板中的 ? 电流方向垂直,板两侧的磁感强度 B 的方向相反。
? ? ? ?

i

? B

? ? ?

? B

俯 视 图

无限大载流平板的磁场的分布
第四章 稳恒电流的磁场

39

电磁学

4-2 电流的磁场
三、载流导线在磁场中受到的力

磁感强度

? ? ? d F ? I dl ? B
安培定 律的微 分形式

? Idl

? dF

? Idl

? dF

?? B

? B
安培定 律的积 分形式
40

有限长载流导线所受的安培力

? ? ? F ? ? Idl ? B
l

第四章 稳恒电流的磁场

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

? 设直导线长为 l ,通有电流 I ,置于磁感强度为 B 的 ? 均匀磁场中,导线与 B的夹角为? 。 z ?
F
? I
l

? B

x

F ? ? d F ? ? I d lB sin ? ? IlB sin ? L
l 0

合力作用在长直导线中点,方向沿z 轴正向。

第四章 稳恒电流的磁场

41

电磁学

4-2 电流的磁场
如果导线不是直导线,或磁场不是均匀磁场

磁感强度

? 上式积分是矢量积分,如果导线上各电流元所受 d F 的方 ? 向不一致,计算时应建立坐标系,先求d F 沿各坐标轴投影
的积分

? ? ? d F ? I dl ? B ? ? ? F ? ? I dl ? B
L

Fx ? ? d Fx
L

Fy ? ? d Fy
? ? ? ? F ? Fx i ? Fy j ? Fz k
第四章 稳恒电流的磁场
L

Fz ? ? d Fz
L

然后求

42

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度
? B

例8 求如图不规则的平面 载流导线在均匀磁场中所受 ? 的力,已知 B 和 I . 解

y

? dF ?

? 取一段电流元 Idl ? ? ? dF ? Idl ? B

I

? Idl
P

dFx ? dF sin ? ? BIdl sin ?
0

o

L

x

dFy ? dF cos? ? BIdl cos?
Fx ? ? dFx ? BI ? dy ? 0
Fy ? ? dFy ? BI ? dx ? BIl
0

0 l

? ? ? F ? Fy ? BIli

第四章 稳恒电流的磁场

43

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度
? B

y
? ? ? F ? Fy ? BIli

? dF ?

I

? Idl
P l

o

x

结论 任意形状载流导线所受安培力可等效为从起点到终点 连成的直导线通过相同的电流时所受的安培力。

第四章 稳恒电流的磁场

44

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

四、平面载流回路在磁场中受到的力和力矩 ? 如图所示,在匀强磁场 B 中,有一刚性的长方形平面载流线 圈,边长分别为l 1和l 2 ,电流为I,设线圈的平面的法线与 磁场的方向成任意角? ,对边ab 、cd与磁场垂直。

ab ? l2 bc ? l1 ? ? F1 ? BIl2 F1 ? ? F2 ? ? F3 ? ? F4 ? 4 ? F ? ? Fi ? 0
i ?1

? F3

a
? F1

d c ?

I b
? F4

?

? F2

? B

en

第四章 稳恒电流的磁场

45

电磁学

4-2 电流的磁场

? ? F1、F2 这两个力大小相
等、方向相反,但不在同 一条直线上。因而形成一 力偶矩,使线圈受到磁场 的力偶矩的作用。从俯视 图可看出,它们对轴的磁 力矩大小为

a
? F1

磁感强度 ? F3 d ?

I b
? F4

?

F2

? B

c ?

en
c,d

? ? F1l1 cos? ? BIl2l1 sin ?
? ? BIS sin ? a,b ? ? ? ? ? ? ? ISen ? B ? m ? B ? ? 线圈有N匝时 m ? NISen ?
? F1

? F2

? ?

?

? B

en

? ? ? m? B

?

第四章 稳恒电流的磁场

46

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

? ? 可以证明,此式不仅对矩形线圈成 ? ? IS ? B 立,对于均匀磁场中的任意形状的 平面线圈都成立。 讨论 ? ? ? ? ? ? e (1) en与 B 同向 (2) n与 B 方向相反 (3)en与 B 方向垂直 ?
稳定平衡
× × × ×I × × × × × × × × × × × ×

不稳定平衡

力矩最大

. . . .

I

? F . .
. . . . . .

. . .

. . .

I

?× ×F ×
× ×

? ? 0 ,? ? 0

× ?

×

B

×

F

. ?

? ?F
B

.B .

? ? π,? ? 0
第四章 稳恒电流的磁场

π ? ? ,? ? ? max 2
47

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

? 结论: 均匀磁场中,任意形状刚性闭合平面通电线圈 所受的力和力矩为

? F ? 0,

? ? ? ? m? B ?

如把载流线圈放置在不均匀的磁场中,载流线圈除 受力矩作用之外,还会受到一个力的作用,力矩的作用 使线圈偏转,力的作用使线圈从磁场较弱处移向较强处。 可以证明,合力的大小与线圈的磁矩和磁感强度的梯度 成正比。 磁电式检流计俗称表头,它就是利用永久磁铁对载流 线圈施加磁力矩的作用后,能使线圈转动的道理而制成的。

第四章 稳恒电流的磁场

48

电磁学

4-2 电流的磁场
课堂练习

磁感强度

一半圆形闭合线圈,半径 R= 0.1m ,通有电流 I= 10 A, 放在均匀磁场中,磁场方向与线圈平面平行,大小为0.5 T, 如图所示。求线圈所受力矩。

I o

? B

第四章 稳恒电流的磁场

49

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

? ? m ? IS
解 线圈磁矩大小

? ? ? ? IS ? B ?

π 2 m ? IS ? I R ? 0.157 A . m 2 2
方向:

?
I o

磁力矩大小

? B

? ? mB ? 0.0758 N . m
方向:竖直向下
第四章 稳恒电流的磁场

50

电磁学

4-2 电流的磁场

磁感强度

在讲匀强磁场对载流线圈的作用力矩时,教材是 以在均匀磁场中放置一刚性矩形线圈,并以两边中点的 连线为转轴进行讨论,然后得出:

? ? ? ? m? B ?

上题结果是如何选择转轴的?
任意形状的载流线圈,在均匀磁场中所受到的合磁力 为零,所以作用在线圈上的磁力矩是力偶矩。因力偶矩与 ? ? 参考点的选择无关,故它对任何一个垂直于 en ? B平面的 ? 转轴,其力矩都相同( en为线圈平面法向单位矢量)。载 流线圈在均匀磁场中受到合磁力为零,因而线圈不发生平 动,仅在磁力矩作用下发生转动,而且磁力矩总是力图使 ? 线圈的磁矩 m 转到和外磁场一致的方向上来。
第四章 稳恒电流的磁场
51


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