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2013高考数学常见难题大盘点:数列


2013 高考数学常见难题大盘点:数列
1. 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? x ? 1, ? , ? 是 方 程 f(x) = 0 的 两 个 根 (? ? ? ) , f '( x) 是 f(x) 的 导 数 ; 设 a1 ? 1 ,
an ?1 ? an ? f (an ) (n=1,2,??) f '(an )
<

br />(1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 an >a; 解析:(1)∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , ∴? ?
?1 ? 5 ?1 ? 5 ; ,? ? 2 2
1 1 5 an (2an ? 1) ? (2an ? 1) ? 2 an ? an ? 1 2 4 4 ? an ? ? an ? 2 an ? 1 2 an ? 1

(2) f '( x) ? 2 x ? 1 , an ?1

5 5 ?1 5 ?1 1 1 = (2an ? 1) ? 4 ? ,∵ a1 ? 1 ,∴有 基本不等式可知 a2 ? 时取等号), ∴ ? 0 ( 当且仅当 a1 ? 2 2 4 2an ? 1 2
a2 ? 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,??, an ? ? 0 同,样 a3 ? ? ? (n=1,2,??), 2 2 2

2.

已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 2a ? 1(a 是常数,且 a ? ?1 ) a n ? 2a n ?1 ? n 2 ? 4n ? 2 ( n ? 2 ) , ,数列 ?bn ?的 (1)证明: ?bn ?从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列; (3)当 a>0 时,求数列 ?a n ?的最小项。

首项 b1 ? a , bn ? a n ? n 2 ( n ? 2 ) 。

(2)设 S n 为数列 ?bn ?的前 n 项和,且 ?S n ? 是等比数列,求实数 a 的值; 分析:第(1)问用定义证明,进一步第(2)问也可以求出,第(3)问由 a 的不同而要分类讨论。 解: (1)∵ bn ? a n ? n 2 ∴ bn ?1 ? a n ?1 ? (n ? 1) 2 ? 2a n ? (n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) ? 2 ? (n ? 1) 2

? 2a n ? 2n 2 ? 2bn (n≥2)
由 a1 ? 2a ? 1得 a2 ? 4a , b2 ? a2 ? 4 ? 4a ? 4 , ∵ a ? ?1 ,∴ b2 ? 0 , 即 {bn } 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。

(4a ? 4)(2n ?1 ? 1) ? ?3a ? 4 ? (2a ? 2)2n 2 ?1 S (2a ? 2)2n ? 3a ? 4 3a ? 4 ? 2? 当 n≥2 时, n ? n ?1 Sn ?1 (2a ? 2)2 ? 3a ? 4 (a ? 1)2 n ?1 ? 3a ? 4
(2) Sn ? a ? ∵ {S n } 是等比数列, ∴ S n (n≥2)是常数, S n ?1

4 。 3 n?2 n (3)由(1)知当 n ? 2 时, bn ? (4a ? 4)2 ? (a ? 1)2 ,
∴3a+4=0,即 a ? ? 所以 an ? ?

? 2a ? 1
n

( n ? 1)

2 ?(a ? 1)2 ? n ( n ? 2) 所以数列 ?a n ?为 2a+1,4a,8a-1,16a,32a+7,??



显然最小项是前三项中的一项。
1

当 a ? (0, ) 时,最小项为 8a-1;

1 4

1 时,最小项为 4a 或 8a-1; 4 1 1 当 a ? ( , ) 时,最小项为 4a; 4 2 1 当 a ? 时,最小项为 4a 或 2a+1; 2 1 当 a ? ( , ??) 时,最小项为 2a+1。 2
当a ? 点评:本题考查了用定义证明等比数列,分类讨论的数学思想,有一定的综合性。 考点二:求数列的通项与求和 3. 已知数列 {an } 中各项为: 12、1122、111222、??、 11??????1 22 ??????2 ? ?? ? ?? ? ? ? ?
n个 n个

??

(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. (2)求这个数列前 n 项之和 Sn . 分析:先要通过观察,找出所给的一列数的特征,求出数列的通项,进一步再求和。 解: (1) an ?

1 n 2 (10 ? 1) ?10n ? ? (10n ? 1) 9 9

10n ? 1 10n ? 1 1 n n )?( ? 1) ? (10 ? 1) ? (10 ? 2) ? ( 3 3 9 10n ? 1 记:A = , 3
则 A= 33 ??????3 为整数 ? ?? ? ?
n

?

an = A (A+1) ,

得证

(2) ? an ?

1 2n 1 n 2 10 ? 10 ? 9 9 9

1 1 2 Sn ? (102 ? 104 ? ?????? ?102 n ) ? (10 ? 102 ? ??????10n ) ? n 9 9 9 1 ? (102 n? 2 ? 11?10n?1 ? 198n ? 210) 891
点评:本题难点在于求出数列的通项,再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积,解决此题需要一定的观察 能力和逻辑推理能力。
[来源:Z|xx|k.Com]

4. 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅱ)设 bn ?

an ?1 1 (n ? 2, n ? N ) . , an ? n 4 ?? 1? an?1 ? 2

1 an
2

,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n ;

(Ⅲ)设 c n ? a n sin

(2n ? 1)? 4 ,数列 ?c n ?的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ? N ? , Tn ? . 7 2

分析:本题所给的递推关 系式是要分别“取倒”再转化成等 比型的数列,对数列中不等式的证明通常是放缩 通项以利于求和。
2

解: (Ⅰ)? 又?

1 2 1 1 ,? ? (?1) n ? ? (?1) n ? (?2)[ ? (?1) n ?1 ] , an a n ?1 an a n ?1

?1 1 n? ? (?1) ? 3 ,?数列 ? ? ?? 1? ? 是首项为 3 ,公比为 ? 2 的等比数列. a1 ? an ?

(?1) n ?1 1 . ? (?1) n ? 3(?2) n ?1 , 即 a n ? an 3 ? 2 n ?1 ? 1
(Ⅱ) bn ? (3 ? 2 n ?1 ? 1) 2 ? 9 ? 4 n ?1 ? 6 ? 2 n ?1 ? 1.

1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) ? 6? ? n ? 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 9 . 1? 4 1? 2 (2n ? 1)? (Ⅲ)? sin ? (?1) n?1 , 2 n ?1 (?1) 1 ? cn ? ? . n ?1 n n ?1 3(?2) ? (?1) 3? 2 ?1 1 1 1 1 当 n ? 3 时,则 Tn ? ? ? ??? 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 1 [1 ? ( 1 ) n ? 2 ] 1 1 1 1 1 11 12 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 n ?1 4 7 3? 2 28 1? 1 3? 2 3? 2 2 11 1 1 n?2 11 1 47 48 4 ? ? [1 ? ( ) ] ? ? ? ? ? . 28 6 2 28 6 84 84 7 4 ? T1 ? T2 ? T3 , ?对任意的 n ? N ? , Tn ? . 7 Sn ? 9 ?
明要用到放缩的办法,这将到下一考点要重点讲到。 考点三:数列与不等式的联系 5. 已知 ? 为锐角,且 tan? ?

点评:本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 ?a n ? 的通项 a n ,第三问不等式的证

2 ?1,

函数 f ( x) ? x 2 tan 2? ? x ? sin(2? ? ⑴ 求函数 f (x) 的表达式; ⑵ 求证: a n ?1 ? a n ;

?
4

) ,数列{an}的首项 a1 ?

1 , a n ?1 ? f (a n ) . 2

分析:本题是借助函数给出递推关系,第(2)问的不等式利用了函数的性质,第(3)问是转化成可以裂项 的形式,这是证明数 列中的不等式的另一种出路。 解:⑴ tan 2? ?

2 tan ? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2

又∵ ? 为锐角

∴ 2? ?

?
4

∴ sin(2? ? ∵ a1 ?

?
4

) ?1

f ( x) ? x 2 ? x
∴ a 2 , a3 , ? a n 都大于 0

2 ⑵ a n ?1 ? a n ? a n 2 ∴ an ? 0

1 2

∴ a n ?1 ? a n

点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(3)问不等式的证明更具有一般性。
? 6. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 n ? N

?

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
3

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 4 (Ⅲ)证明:

b1 ?1

4 b2 ?1 4 b3 ?1 ? 4 bn ?1 ? (a n ? 1) bn ,证明: ?bn ? 是等差数列;

1 1 1 2 ? ?? ? ? ?n ? N ? ? a2 a3 an ?1 3

分析:本例(1)通过把递推关系式转化成等比型的数 列;第(2)关键在于找出连续三项间的关系;第(3) 问关键在如何放缩。 解: (1)? a n?1 ? 2a n ? 1 ,? a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) 故数列 {a n ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。

? an ? 1 ? 2 n , an ? 2 n ? 1
(2)? 4
b1 ?1

4 b2 ?14 b3 ?1 ? 4 bn ?1 ? (a n ? 1) bn ,? 4

( b1 ?b2 ???bn ?n )

? 2 nbn

2(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2n ? nbn ① 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ?b n?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ②
②—①得 2bn ?1 ? 2 ? (n ? 1)bn ?1 ? nbn ,即 nbn ? 2 ? (n ? 1)bn ?1 ③

? (n ? 1)bn ?1 ? 2 ? nbn ? 2 ④
④—③得 2nbn ?1 ? nbn ? nbn ?1 ,即 2bn?1 ? bn ? bn ?1 所以数列 {bn } 是等差数列

1 1 1 1 1 ? n ?1 ? n ?1 ? a n 2 ? 1 2 ? 2 2 a n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 设S ? ,则 S ? ? ??? ? ( ? ??? ) ? ? (S ? ) a 2 a3 a n ?1 a 2 2 a 2 a3 an a2 2 a n ?1 2 1 2 1 2 S? ? ? ? ? a 2 a n ?1 3 a n ?1 3
(3)? 点评:数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了,而且不容易把握,对于这样的题要多探索,多角度的思考 问题。 7. 已知函数 f ( x) ? x ? ln ?1 ? x ? ,数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1 ,

1 1 an ?1 ? f ? an ? ; 数列 ?bn ? 满足 b1 ? , bn ?1 ? (n ? 1)bn , n ? N * .求证: 2 2 (Ⅰ) 0 ? an ?1 ? an ? 1;

an 2 ; (Ⅱ) an ?1 ? 2 2 (Ⅲ)若 a1 ? , 则当 n≥2 时, bn ? an ? n ! . 2
分析:第(1)问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明;第(2)问可利用函数的单调性;第(3) 问进行放缩。 解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 , n ? N * . (1)当 n=1 时,由已知得结论成立; (2)假设当 n=k 时,结论成立,即 0 ? ak ? 1 .则当 n=k+1 时,

1 x ? ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数. x ?1 x ?1 又 f(x)在 ? 0,1? 上连续,所以 f(0)<f( ak )<f(1),即 0< ak ?1 ? 1 ? ln 2 ? 1 .
因为 0<x<1 时, f ?( x) ? 1 ? 故当 n=k+1 时,结论也成立. 即 0 ? an ? 1 对于一切正整数都成立. 综上可知 0 ? an?1 ? an ? 1. (Ⅱ)构造函数 g(x)=
4

又由 0 ? an ? 1 , 得 an ?1 ? an ? an ? ln ?1 ? an ? ? an ? ? ln(1 ? an ) ? 0 ,从而 an ?1 ? an .

x2 x2 ? ln(1 ? x) ? x , 0<x<1, -f(x)= 2 2

x2 ? 0 ,知 g(x) 在(0,1)上增函数. 1? x 又 g(x)在 ? 0,1? 上连续,所以 g(x)>g(0)=0.
由 g ?( x) ?

an 2 a2 ? f ? an ? >0,从而 an ?1 ? n . 2 2 bn ?1 n ? 1 1 1 (Ⅲ) 因为 b1 ? , bn ?1 ? (n ? 1)bn ,所以 bn ? 0 , , ? bn 2 2 2 b b b 1 所以 bn ? n ? n ?1 ? 2 ? b1 ? n ? n ! ————① , bn ?1 bn ? 2 b1 2
因为 0 ? an ? 1 ,所以 g ? an ? ? 0 ,即

an 2 a a a a a a a a a 由(Ⅱ) an ?1 ? , 知: n ?1 ? n , 所以 n = 2 ? 3 ? n ? 1 2 ? n ?1 , an 2 2 2 a1 a1 a2 an ?1 2 2
2 , n≥2, 0 ? an?1 ? an ? 1. 2 a1n 2 ? a 2 1 a a a 所以 an ? 1 2 ? n ?1 ? a1 < n ?1 < n1 = n ————② . 2 2 2 2 2 2 由①② 两式可知: bn ? an ? n ! .
因为 a1 ?
[来源:Z#xx#k.Com]

点评:本题是数列、超越函数、导 数的学归纳法的知识交汇题,属 于难题,复习时应引起注意。 考点四:数列与函数、向量等的联系 8. 已知函数 f(x)=

5 ? 2x ,设正项数列 ?an ? 满足 a1 =l, an ?1 ? f ? an ? . 16 ? 8 x

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

(1)写出 a2 、 a3 的值;

5 的大小,并说明理由; 4 n 5 1 n (3)设数列 ?bn ? 满足 bn = - an ,记 Sn= ? bi .证明:当 n≥2 时,Sn< (2 -1). 4 4 i ?1
(2)试比较 an 与 分析:比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 5 ? 2an 7 3 解:(1) an ?1 ? ,因为 a1 ? 1, 所以 a2 ? , a3 ? . 16 ? 8an 8 4 (2)因为 an ? 0, an ?1 ? 0, 所以 16 ? 8an ? 0,0 ? an ? 2. 5 5 48(an ? ) an ? 5 5 ? 2an 5 4 ? 3? 4, an ?1 ? ? ? ? 4 16 ? 8an 4 32(2 ? an ) 2 2 ? an 因为 2 ? an ? 0, 所以 an ?1 ?
[来源:学科网 ZXXK]

5 5 与 an ? 同号, 4 4 5 1 5 5 5 5 因为 a1 ? ? ? ? 0 , a2 ? ? 0, a3 ? ? 0, ?, an ? ? 0, 即 an ? . 4 4 4 4 4 4 5 3 1 5 3 1 ? ( ? an ?1 ) ? ? ? bn ?1 (3)当 n ? 2 时, bn ? ? an ? ? 4 2 2 ? an ?1 4 2 2 ? an ?1 3 1 ? ? ? bn ?1 ? 2bn ?1 , 2 2? 5 4 所以 bn ? 2 ? bn ?1 ? 22 ? bn ?2 ? ? ? 2n ?1 b1 ? 2n?3 , 1 3? n (1 ? 2n ) 1 1 1? 1 ? 4 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ? ??? ? ? ? ? ? (2n ? 1) 4 2 1? 2 4 ?2?
点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。
5

9. 在平面直角坐标系中,已知三个点列{An},{Bn},{ Cn },其中 An (n, a n ), Bn (n, bn )

C n (n ? 1,0) ,满足向量 An An?1 与向量 BnCn 共线,且点(B,n)在方向向量为(1,6)的
线上 a1 ? a, b1 ? ?a. (1)试用 a 与 n 表示 a n (n ? 2) ; (2)若 a6 与 a7 两项中至少有一项是 an 的最小值,试求 a 的取值范围。 分析:第(1)问实际上是求数列的通项;第(2)问利用二次函数中求最小值的方式来解决。

? 解: (1) An An ?1 ? (1, a n ?1 ? a n ), Bn C n ? (?1,?bn ),? An An ?1与Bn C n 共线, a n ?1 ? a n ? n,
又∵{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上,?

? bn ? ?a ? 6(n ? 1)

bn ?1 ? bn ? 6,即bn?1 ? bn ? 6 n ?1? n

a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? (a3 ? a 2 ) ? ... ? (a n ? a n ?1 ) ? a ? b1 ? b2 ? ... ? bn ?1 (n ? 1)( n ? 2) ? a ? (?a)( n ? 1) ? ?6 2 ? a ? a(n ? 1) ? 3(n ? 1)( n ? 2) ? 3n 2 ? (9 ? a)n ? 6 ? 2a(n ? 2)
(2)∵二次函数 f ( x) ? 3x ? (a ? 9) x ? 6 ? 2a 是开口向上,对称轴为 x ?
2

a?9 的抛物线 6

又因为在 a6 与 a7 两项中至少有一项是数列{an}的最小项, ∴对称轴 x ?

a?9 11 15 11 a ? 9 15 应该在[ , ]内,即 ? ? ,? 24 ? a ? 36 6 2 2 2 6 2

[来源:学&科&网]

点评:本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题,要解决好这类题是要有一定的数学素养的。

6


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