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14.数学奥林匹克高中训练题(150)


4  2

中 等 数 学 

熬蟹奥 
中圈分类号 : 4 47   G 2 .9

毡寓  

拣篷( 0 1) 5 
S - S - n- 0 1∈ N+ . 川 5   4 4= (, 7 )  

文献 标识码 :   A

文章编

号 :10 6 1 ( 0 2 0 0 4 0 5— 4 6 2 1 )2- 0 2-0  5

第 一 试 


则 口。   的末 四位 数 字为
1 
‘  

.  
— —



填 空题 ( 每小 题 8分 , 6 共 4分 )  

8 已知 .  ≤一 . ÷ 则二元函数 


1 关 于实数 、 . Y的不等式 组 
f, )≥  +20,  

Y  )

‘  

I≥ + 口     2 
有唯 一解 . 则参 数 口的所有 值为  .  




— —

+  
. 

+  

的最小 值 为

2 使得方程  . + +a 0 似 8 = 
只有 整 数解 的实 数 a的个 数 为
. 
— —

二、 解答 题 ( 5 共 6分 )  

① 

9 (6分 ) .1 如图 1 设 P为正方形A C   , BD
所在 平 面 外 _ 点 ,  
点 M、 N分别 在  、  
BD
P  

3设 函数,  Y 满足 : . ( ,)  
( )(    ; 1, ,)=  

k, P 且 M
_

=而   B N
C  

( )( , )   2厂 k =   y

,)  Y;
,2; Y) 


( )(1 x,l Y) fx,1 3fx + 2 + 2 (1 ) Y Y 

詈.明直    证 :线 A
图 I  

( )y ) 4 =, . )  字    
则  , )= Y


M /平面 P C N/ B.  

1. 2 0 (0分 ) n bcd∈ R+证 明 : 设 、、, .  

.  


4由1 . 9条水 平 直线 与 l 竖直 直 线组  9条
成的 1 8×1 8的围棋盘 所形 成 的矩形 中 , 正方 

河 + < 河  
A  +B  +Dx+F =Q  

万 

.  

1. 2 1 (0分) N m ) 若 (   是二次曲线 厂:  
(     ,A +D≠0) 内 部 对 称 轴  A +B ≠0 2 m 的 (  轴 ) 一点 , Ⅳ 的动 直线 与 二 次 曲线 ,  上 过

形 的概率 为 

.  

5 使 得 2 一   6是 完全 平 方 数 的所  . p P +3
有质 数 P为
. 
— —

6 设 、 、 . /  分别为长方体 的体对角线  3
与 共顶 点 的三个侧 面 所成 的角. 则 

交 于点 P、 设   为二 次 曲线 厂 的外 部对称  Q,

轴( )  轴 上一点. 则  P N= Q N的充  M   M

) ∑  =
的取值 范 围 为
和) .  
— —

s n  i 廿 十  1 S n 

分 要 件 点 ( 艿, 必 条 是 肘  o _ ) .  



(∑” ‘ 表示轮换对称 ‘  


试 

7 已知数列 {  的首项 口 = , n . 0} 。 4 前 项 
和为 S ,  且满 足 

( 0 分 ) 图 2 设 肘、 分 别 是  4 如 , Ⅳ
, 、 ,- 、 

△ A C外 接 圆劣 弧B 、 A的中点 , 点 C作  B CC 过

万方数据

21 0 2年第 2期 

4  3 ( 8) ( 0) -4, , 0, .  

P /N 与外接  C/ M
圆交 于点 P, 为  ,
△ A C的 内心 , B   直线 P ,与 外 接 

对应 的 
a=一(' ) r +n  / / ,
=8 5 3 3 1, 0, 6, 2,一4 一1 一4,   9, 8, 0,

圆 交 于 点  , 分  别过 C T 圆 的  、作 图2  

共 8个.  

切线 交 于点 Q 证 明 : 、 Q三点 共线. . J M、 7 v  

3  . 音+  
注意 到 ,  


二、4 分 ) (0 设正实数 口 b 、 满足 a b 1 + =.  
求 函数 

0   0 )= ,  , )+ ,    )=  
0‘ 0 )  


)( 一( 一 =   21 2 d 1 )  ) -    
的最小 值  

号‘ 吣) )   .  
. 

两 式相减 得  0  ,):2   x

三、5 分 ) (O 任给质数 P 试证 : . 存在整数 
。,

使得 p ( 一 。 1 的充分必要条件为存  l    +)

同 ,O, 孥. 理f , :   (, )
于 fx ) ÷. 是,(, =   o
故  ,)  ‘

在 Y, o使得 P (o Y + ) I, 一 o 7 . , 2  
四 、5 (0分 ) 12 … ,  1 从 , , 2O 1中最 少 应  选 出多 少个 不 同 的数 , 能 保 证 选 出 的数 中  才 必存 在 三 个 不 同 的 数 构 成 一 个 三 角 形 的 三 
边长 .  

故 ,=%    : + .   Y ,, +o 手       (0 f , ÷  . ) ) (Y 0) 3


4.  

.  

参 考 答 案 
第 一 试 

由于 一个矩 形必 须 由两条水 平直 线和 两 

条竖直直线确定 , 于是 ,9条水平直线和 1  l 9

1  告.
由题设 知 , 抛物 线  Y   + a与  , 2   2 , a  + 相切 , Y= 是其 公切 线. 且    

条竖直直线共形成 c9 = 9 4 个矩形 , 2 c 2  1 2  
其中, 边长为 k 1 ≤1 ) ( ≤k 8 个单位长的正方 
形 有 (9一  个 . 1  )  

从 而 , 有正 方形 的个 数为  所 ×1( 8 ) 2x1 8 1 +1 (  8+1  )

故 口= .    


2 19 个 )  0 ( .  

2.   8.

设 方程① 有 整数解 m、( n m≤ )则  .
m +, = 一a . n =8a  l m .

故所求概率为 
5 2  ..

=3 币 7
.  

于是 , m+8 ( 8 ( ) n+ )=6 . 4 

当 P= 2时 ,  
2 一   3 6   p P + 6= 4

解 得 ( n  m, )


(7 , 9 ,- 0 一l ) (2 , l )  _ 2 一 ) (4 , 0 , 4 一 2 , - -

是 完全 平方 数 , 而 , 2为所求. 从 P=   当 P= 3时 ,  

( 6 一 6 ,- ,6 , 6,4 , _l , 1 ) (75 ) ( 2 )  -

万方数据

中 等 数 学 


P  +3 6=1 9 8 

5 =315 ro 0 )  舢   2 ( d 1  , - o
5“ -56 5 r d1   , 4   - 2 ( o 0 )  - o

不 是 完全平 方数 .  

当P是大于 3 的奇质数时 , 设 
2  P 3 p 一  + 6=k(   k为正 奇数 ) .  
贝 22, 4 (t p  一1 )=(  一6 ( 6   ) 七+ ) P ( 6 或 Plk+ ) I k~ ) ( 6.  

5“ -81 5 m d1  ,     - 2 ( o 0 ) 
5¨ -6 5 r d1  .     - 2 ( o 0 ) o  

故 口 I 5 2l=  锄 ” 一1  2 ( o 0 ) 0- = 14 r d1  . -8 o  
8. —

-   Y A3 +  ̄ q


_

. 

但 P不 能 同 时 整 除 k一6 k+6 、 .因此 ,   k一 6与 k+ 6中有且 只有 一个 被 P 整 除.    
设 a x0 , ( ,)C 1 一 )D( ,) ( ,)n oY , ( , 1 , 2 1 .   贝  戈 ) q ,)=l BI A +l DI , A +ICI B  
≥ I ACl+ I ADl  

若 P lk 6 , k 6 s ( 是正奇数)  ( 一 )设 一 =p s   .  
贝    2   )=( 6 ( 6  4 (p 一1 p k一 ) 后+ )
= p (   2  s  s +l 1 p

≥ 

+ 

s s  2 (p +1 、=2 一1 p  
s  <2 j     s:1   P  =1   3.
:  

_1  
) .  

(  

十  

矛盾.  

当  = 一1  


Y= 时 ,   上式 等号 成立 .  

若 P Ik+ )设 k+ =p( 是正奇数 )  ( 6 , 6 s s .   同理 , 不存 在大 于 3的质 数 P 也 .   6 [ , o) . 2 +o .  
由题设 有  s2 i  +s 2 n i 卢+s 2 n i y=1 n .  
=  +  .  


二 、. 9 注意 到 ,  
—— MN =MP +PB +BN  —   —— — —+ — —   — —  

丢 商++ +   ( ) B5  )  一 一   P  

财∑ 
4  

+  -
因为 删  平 面 P C, 以 , B 所  


 ̄ i s 一 [  +  n   \ s …2 s i “ i n   n y   J )


o  sn  t i2 + l f


i n

M /平面 P C N/ B.  
1 . 意到 , x y z∈ R+ 互 不 相 等  O注 当 ,、 且 时, 有 
3— —   / + V + 

y 

. . 一

   

s 2t i2   i a+s f n nl
sn i  + sn i 

≥ 3.  

x z <—   y

一 ?  

从 而 , a, y t2    , ) . >  
7.   2   8 1 4.

令  =  

,   y=

,: z 

. 则 

由 S - S - n- 0 及    5   4 4= ,
S  一5s l一4n=0, |  +  

√— — — 一     厂—  丽 —
<    【
1,   口  

两式相 减得 
o l一5  + n 一4 =0  

+  +  了  
,   y=

b+C  

b 、  

=  l  口 + +1= (  +1  5a )
口  =5  一1  .

又 令  =  
则 

,= z 

.  

注意 到 , k∈ N+ , 当 时  

万方数据

21 0 2年第 2期 

4  5

<I 了 

+  + J  了   ‘  
.  

上述 两个 不等 式相 加整 理 即得 

河 + 河 <  
M( 00 , q = y+   x , ) l : k m. e

1 . P( 1Y ) Q x ,2 ( l m < 2 , 1设 x ,1 , ( 2Y)   <   ) 

由  +-Dx -F =0,。      { m f +By  ’4 【  , 4  A 捎 消 得 去 x 。
(. +   + 2m+   + m + m+ 0 A   ) (A D) A 2 D F= . i }  
y  =   ,  
睡=   I   3

因为 P ∥N 所 以,C上 c ,   C M, P ,即
PCI= 9 . 0o  

Y+2 一 l  =一 Y   ■ 
由 P   MN= Q   MN 
P  PN  

‘ .  

①  

则  CP= 0 一 C I I 9 。   P 


9 。   c  = 0   C Q 0一 P 9 。一 r 
1  



÷ C T Q.  

§  

设 D是 以 Q为 圆 心且 过 点 C、 的 圆上   
甘  二 : 一    
。一  2 ,  


点.   由  C DT:   C T: CP, c、、 Q   I 知 , 



‰ :  
。  

y l+,   , 2


D 四点共 圆 , 圆心 为点 Q  其 . 从 而 ,1 c 即知点 Q位 于  的 中垂  Q =Q ,

(y + y +( ,+m) l kl m)2 幻2 y  
yt+y   2
, , ’


线 MN上 .  
2   一 +m   y I+  
. 

,  , l

故 J、 Q三点共线. 7 M、 v  
+m 

2} m  .A 2 i   +D   m   +F


二 a堋  ( 】 、6 0 o . 令 = E ,  ÷
由 n+ b=1 知  ,
口  +6  =a 4一口 b+口 6 一口  +6      2 6 4


Dm +2 F  2 m +D ’ A  

( 一  


,  o ) .
加 试 

(  +   + 2 一 b a+ ) 口 b ) a b a ( b 



( —2)   t 1 t  +t 一  

=5  一5t+1  t .

):  


?  

如 图 3 由题 设 知 、、 , ,Ⅳ分别  , ,   、、
一  

三 点共线 . 联结 C C 、N  M、IC . 由内心性 质知 
NI=NC. MI=Mc.  

= = ±      
£  5



 

= 二 :  :   
t  5

从而 , 四边形 NM I C为筝形 , M 即 N为 
的 中垂线 .  

=  



\ 5  ( 一.   ) “÷ /  

万方数据

中 等 数 学 

设(=+ 一t(÷) g)3 5∈ , . tt÷ ( 0 ]  
由  ) 3一 o   g f=t 丢<, (   知

P [ 2 0 1 +   3    (y — ) 3 X ]
P [ 2 l — 1 ( 6) 3  I( b o b) 3 1 Y  +  × ]
Pl2 Io 1 + . ( 6) ~b ) 3 ,  

g) ()5 = ) c≥ ÷=击 (  tg     .   故 a)g÷=     ≥  ) r 4(  . 6
当且仅当a b ÷时, == 上式等号成立.  
三、 易知 , 一    0+l和 y 一Y 2 0 o+7都 是  奇数 . 妨设 P为奇 质数 . 不 则 
P( 一0 ) l  戈 +1 

故  :   一 。 6 ,  ,

满足式①.  

四、 设所 求 最小 正整数 为 F I , .   从 反 面人手 . 虑无 三 个 不 同 的数 构 成  考 三角形 的三 边长 时 , 最多 要有 多少个 数.   当 0<a<b<c , 、 、 不 能 构 成 三 角  时 a bc
形 的三边 长 的充分必 要 条件 是 a+ ≤c b .  

特别地 , 口+b=c时 , 样 的数 组  当 这
( , ,) 口 b c 最多 .  

P4 x 一 0 1 1(:   + )  
铸 P (x — ) 3  l20 1 + ,
P ( 一 o 7  I  Y + )

① 

考虑 
1, 3, 8, 3, 2, 5, 1 2l, 4, 3 55, 9, 44, 8 1  

甘 P4 y 一 0 7  1( ̄ Y + )
pI2o 1 + 。 3 (y 一 ) 3 × .   ② 

2 3, 7 6 0, 8 l5 7 3 3 7, 1 9 7, 9    

这 l 6个数. 由于其 中任 意三个 不 同的数 均 不  能构 成一个 三 角形 的三边 长 , 于是 , ≥1. n 7  
另一 方面 , 设 
1≤ 口l< 口2< … < al 2 O1   7≤   l

于是 , 只需证明 : 存在  满足式① 的充  。
分必要条件是存在 y 满足式②. 0  

() 1 存在  满足式①. 。  
由 P1 (x —1 +3 3 即  3 2 0 )  x ,  


是任取的 1 个不同的正整数. 7 若其中任意三 
个 数 都不 构成 三角 形 的三边 长 , 则 
aJ 1, 2> 口1  ≥ a .  

P [ (x — ) 1 +   3  I2 3 0 1 一 ] 3 x ,

则 Y = x 一 满足式②. o 3。 1   () 2 存在 Y 满足式②. o  

故 a ≥2,3 l 2 2 0 ≥口 +a ≥l+ 3  2= ,
a 4≥ 口2+ 血 ≥ 2 + 3 =5, …   3 …

当P= 3时 , = 满足式①.   2 。  
当 P>3时 , 为 ( 3 因 p, )=I所 以 , 在  , 存

继续 下 去 , 到  得
0l nI   li 61 +9 7 =15 6≥ 4+ 5 > 0 8   97,  

整数 a b使得  ,,
a +3 p b=1  .

口7 1 l≥口 5+口6 9 7+l5 7=2 5 4>20 1  lt 8 >  9  8  1 ,

由此 , 对任 意整 数 k 有 
( 3 ) 3 b p )=1 0— k p+ ( +   .  

这 与 a7  1 矛盾 . l≤2O 1   所 以 ,。a , ?口, 0 , 一 , 中必有 三 个数 构成 三  角形 的三 边长 .   综上 , 最少要 取 1 不 同的数. 知 7个   ( 沈文选 湖 南 师 范 大 学数 学奥林 匹 克 

因此 , 存在 a 和奇数 b 使得    ,
al +3 p bl=1,  



3 。 ( dp . b ;1 mo )  

由式② 得 

研 究所 ,10 1  40 8 )

万方数据

数学奥林匹克高中训练题(150)
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2012(2)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201202014.aspx


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