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高一数学必修四 2.4.1平面向量数量积的物理


学习目标:
1.理解平面向量的数量积及其物理意 义、几何意义;

2.掌握平面向量数量积的重要性质; 3.能够运用定义和运算性质解决相关 问题.

知识回顾
则 ?AOB ? ?

? 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a, OB ? b,

两个向量的夹角 ? ???

? ? ??? ? ?
叫做向量

(0? ? ? ? 180? )
B

? ? 和 b的夹角. a

b
O

? b
?

zxxk

a

? O b B

? a

? a

A

A

? ? a 与 b 同向

? ? 0?

? B b O ? ? 180?

? a

注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的. B ? b ? ? a O A ? ? ? 90 A

? ? a 与 b 反向

? ? 记作 a ? b

? ? a 与 b 垂直,

如图,等边三角形ABC中,求: (1)AB与AC的夹角____; 60 ? (2)AB与BC的夹角________ 120 . C
?

C

'

120
A

?

通过平移 变成共起点!

60

?

1200

B

D

创设情境 导入新课
F

θ
O 位移S
? ?

A

问:一个物体在力F 的作用下产生的位移S ,那 么力 F 所做的功应当怎样计算 ?
? ? ? ?
?

力做的功:W ?| F || S | cos? ,?是 F 与 S 的夹角。

我们将功的运算类比到两个向量
的一种运算,得到向量“数量积”的 概念。

W ? F ? S ? cos?
a ? b ? | a | | b | cos ?

这就是本节课 所要学习的平 面向量的数量 积

自主探究 建构新知
? ? ? ?

| a || b | cos ? (1) 已知两个非零向量 a 与 b ,我们把数量____________
a? b 即 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 _____,
? ?

符号中的“.”在向量 运算中不是乘号, 既不能省略,也不 能用“×”代替. ? ?

a? b ?| a || b | cos ? 其中? 是 a 与 b 的夹角. ___________________,

? ?

?

?

?

?

0? a ? 0 . (2)零向量与任一向量的数 量积为___, 0 即________
实数 .(实数或向量) (3)向量的数量积是一个 _______

? ?

注意:数量积是一种新的运算.

例题剖析
? ? ?? ? ?? ? 例1.已知: a ? 5, b ? 4, a 与 b 的夹角? ? 120 , ? ? 求a ? b.
? ? ? ? 解: a ? b ? a b cos ?
? ?

a? b ?| a || b | cos ?
? ?

?

?

? 5 ? 4 ? cos120

?

1 ? 5 ? 4 ? (? ) ? ?10 2

cos? ?

a? b

| a || b |

?

?

向量的数量积是一个数量,那么它何时 为正,何时为负,何时为零?
? ?
? ?

a? b ?| a || b | cos ?

?

?

0 ? ? ? 90_ 时 a? b 为正; 当 __________
? ?

当 __________ _ 时 a? b 为负; 90 ? ? ? 180
? ?

??

?

? ? 90 时 a? b 为零; 当_______
?

? ?

此时两向量 垂直即a ? b
? ?

当______ ? ? 0 时 a? b =|a||b|;
?
? ? ?

? ?

?

?

? ? 180? 时 a? b ? ? | a || b | . 当______

?

a ? b ? 0, 则 | a || b | co s? ? 0, 向量数量积的性质 ? ? ? ? ? ?1 ?? ? 180?, cos , , cos ? 1, co s? ? 0, ? ? 9 0? ,? a0? b? .? ? 设a、 b是非零向量 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?| a? ? 则 a ? b ? ? || b | ? 2 a ? b ( 1 ) a ? b ? 0 ? ______; ? ? 0 , cos? ? 1, 则 a? b ?| a || a b? |a ?| a || a |?| a |

? ?

?

?

| a || b |; (2)当 a 与 b 同向时, a? b ? ______

?

?

? ?

?

?

| a | 或 | a |? _____ a . 特别地a? a ? a ? ____
? | a || b | . (3)当 a 与 b 反向时, a? b ? _______
? ? ? ?
? ?

? ?

?2

?

2

?

?2

(4)| a? b | ___ ? | a || b |

? ?

?

?

当且仅当两向量 共线时等号成立

跟踪训练
判断正误,并说明理由.

(1) a? b 的结果是一个向量 ×
(2) | a? b |?| a || b |
?

? ?

? ?

?

?

√ ? ? ? ? ? √ (4)若 a ? 0, 则对任意 b ,都有 a? b ? 0
(3)对任意向量 a 都有 a ?| a |2
? ?

?

× 2

?

(5)若 a ? 0, 则对任意一非零向量 b 有 a? b ? 0

?

? ?

(6)若 a? b ? 0, 则 a ? 0 或 b ? 0
(7) a / / b ? a? b ?| a || b |
? ? ? ? ? ?

? ?

?

?

?

?

×

×

×

投影的概念
b
?

B

? ? ? ? a ? b ? a b cos?

? b cos ?

O

B1 A ? ? 叫做向量b 在向量a的方向上的投影,

a

即有向线段OB1的数量

数量积 a ·b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向 上的投影| b |cos ?的乘积.

投影的作图:
B b O B B

θ
a

b
B1

θ
O
a

b

θ
a

A

B1

A

O

A

| b |cos ??0

| b |cos ??0

| b |cos ??0

O

B

A

B O

A
| b |cos ?= ??b?

| b |cos ???b?

数量积的运算律:

已知向量 a、 b、 c 和实数? , 则
⑴交换律: a ? b ? b ? a

⑵对数乘的结合律:(?a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b)
⑶分配律:(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c 下面我们证明运算律(3):

⑶分配律: (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

如图, 任取一点 O, 作 OA ? a , AB ? b, OC ? c .
A

?a ? b ( 即 OB ) 在 c 方向上的投影等于
? a、 b 在 c 方向上的投影的和 , 即 a
?1

? ?2 ? ?b a?b
A1

B

| a ? b | cos? ?| a | cos?1 ? | b | cos?2
O

.

?

? | c || a ? b | cos? ?| c || a | cos?1 ? | c || b | cos?2 ? c ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b

? c

B1

C

? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c .

想一想: 向量的数量积满足结合律吗?

即: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 成立吗? ? ? ? ? 说明: ? (a ? b) ? c 表示一个与 c 共线的向量, ? ? ? ? 而 a ? (b ? c ) 表示一个与 a 共线的向量

而 c 与 a 不一定共线 , ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
∴ 向量数量积不满足结合律 .

例2.我们知道,对任意 a, b ? R ,恒有

(a ? b) ? a ? 2ab ? b ,(a ? b)(a ? b) ? a ? b .
2 2 2 2 2

? ? 对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论?
? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ; ? ? ? ? ? 2 ?2 (2)(a ? b)(a ? b) ? a ? b .

例3.已知a ? 6, b ? 4, a与b的夹角为60?,求(a ? 2b) ? (a ? 3b)

? ? ? ? 变式:已知 a ? 3, b ? 4, 且a与b不共线,k为何值时, ? ? ? ? 向量a ? kb与a ? kb互相垂直?

小结
向量的数量积计算时, 一要找准向量的模; 二要找准两个向量的夹角。

练一练:

| a | cos?
0

?

若 | a |? 4 , | b |? 8 , a与b夹角为 ? (1)当 ? ? 30 时a在b上的投影为 2 3 (2)当 ? ? 90 时a在b上的投影为
0 0

0

(3)当 ? ? 120 时a在b上的投影为 ? 2 (4)当 ? ? 120 时b在a上的投影为 ? 4
0

| b | cos?

?

课堂练习 巩固提高
B

练习 1、已知在?ABC中,BC=5,CA=8,?C=60? , ??? ? ??? ? 求 BC ? CA.
zxxk

C

A

练习2、已知| a |? 4,| b |? 5, 当() 1 a / / b;(2) a ? b 时, 分别求 a 与 b 的数量积.
? ?

?

?

?

?

?

?

课堂练习 巩固提高
练习 1、已知在?ABC中,BC=5,CA=8,?C=60 , B ??? ? ??? ? 求 BC ? CA.
?


解: ∵∠C=60 0 ∴向量BC与CA所成的角为120 ∴ BC . CA= BC CA COS1200 =5×8 x (-1/2) = - 20
D

C

A

评注:求向量夹角,必须保证两 向量同起点.

练习2、已知| a |? 4,| b |? 5, 当() 1 a/ / b; (2) a ? b 时, 分别求 a 与 b 的数量积.
? ?

?

?

?

?

?

?

解: (1) a / / b , 若 a 与 b 同向,则? ? 0? ,
? a ? b ?| a || b | cos 0 ? 4 ? 5 ? 20;
? ? ? ? ?
? ?

?

?

?

?

若 a 与 b 反向,则? ? 180?, ? a? b ?| a || b | cos180? ? 4 ? 5 ? (?1) ? ?20.
? ? ? ?

(2)当 a ? b 时,? =90 , ? a? b ?| a || b | cos90? ? 0.
?

?

?

? ?

?

?

思考
1、判断下列说法的正误,并说明理由
(1)在?ABC中,若AB ? BC <0,则?ABC是锐角?。

错误
(2)在?ABC中,若AB ? BC ? 0,则?ABC是钝角?。

正确 正确
?

(3)在?ABC中,若AB ? BC ? 0,则?ABC是直角?。

2、已知向量 a 、 b 满足: a ? 9, a? b ? ?12, 求| b | 的 取值范围.

? ?

?2

? ?

思考2、已知向量 a 、 b 满足: a ? 9, a? b ? ?12, 求| b | 的 取值范围.
? 2

? ?

?2

? ?

?

解: ?| a | ? a ? 9,
?| a |? 3.
又 ? a? b ? ?12,
? ?

?2

?

zxxk

?| a? b |? 12.
?| a? b |?| a || b |,
? ? ? ?

? ?

?12 ? 3 | b |,?| b |? 4.
故 | b | 的取值范围是[4,+?).
?

?

?

归纳小结 发展深化
知识 方法 体验
通过本节课的学习你学到了哪些知识?
你又掌握了哪些学习方法? 你能将数量积的学习与实际问题结 合起来吗?

重点知识归纳:
向量夹角的范围 数量积
0 ?? ??

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?

数量积性质

? ? ? 或 | a |? a ? a
? ? ? ?

a· a=|a|2 (简写 a2 = |a|2)

投影的概念

| a? b |?| a || b | ? ? ? ? a ?b ? 0 ? a ? b


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