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立体几何知识点总结完整版


立体几何知识点
【考纲解读】 1、平面的概念及平面的表示法,理解三个公理及三个推论的内容及作用,初步掌握性质与推论的简单应用。 2、空间两条直线的三种位置关系,并会判定。 3、平行公理、等角定理及其推论,了解它们的作用,会用它们来证明简单的几何问题,掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。 4、异面直线所成角的定义,异面直线垂直的概念,会用图形来表示两条异面直线,掌握异

面直线所成角的范 围,会求异面直线的所成角。 5. 理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概 念,掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. 6. 了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. 掌握棱柱, 棱锥的性质, 并会灵活应用, 掌握球的表 面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的 直观图. 7. 空间平行与垂直关系的论证. 8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法,掌握三垂线定理及其逆定理,并能熟练解决有关问题, 进一步 掌握异面直线所成角的求解方法,熟练解决有关问题. 9. 理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法(如:直接法、转 化法、向量法). 对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况)和距离公式计算距离。 【知识络构建】

【重点知识整合】 1.空间几何体的三视图
1

(1)正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; (2)侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; (3)俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图. 2.斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤 (1)建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 Ox,Oy,建立直角坐标系; (2)画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 Ox′,Oy′,使∠x′Oy′=45° (或 135° ),它们确定的平面 表示水平平面; (3)画对应图形,在已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中画成平行于 x′轴,且长度保持不变;在已知图形 中平行于 y 轴的线段,在直观图中画成平行于 y′轴,且长度变为原来的一半; (4)擦去辅助线,图画好后,要擦去 x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 3. 体积与表面积公式: (1)柱体的体积公式:V柱 ? Sh ;锥体的体积公式: V锥 ? 台体的体积公式: V棱台 ?

1 Sh ; 3

4 1 h( S ? SS ? ? S ?) ;球的体积公式: V球 ? ? r 3 . 3 3
2

(2)球的表面积公式: S球 ? 4? R . 【高频考点突破】 考点一 空间几何体与三视图 1.一个物体的三视图的排列规则是:俯视图放在正视图的 下面,长度与正视图的长度一样,侧视图放在正视图的右面,高度与正视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度 一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.画直观图时,与坐标轴平行的线段仍平行,与 x 轴、 z 轴 平行的线段长度不变,与 y 轴平行的线段长度减 半. 例 1、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )

2

【方法技巧】该类问题主要有两种类型:一是由几何体确定三视图;二是由三视图还原成几何体.解决该类问 题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系.抓住“正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽”的特点作出判断. 考点二 空间几何体的表面积和体积 常见的一些简单几何体的表面积和体积公式: 圆柱的表面积公式:S=2πr2 +2πrl=2πr(r+l)(其中 r 为底面半径,l 为圆柱的高); 圆锥的表面积公式:S=πr2 +πrl=πr(r+l)(其中 r 为底面半径,l 为母线长); 圆台的表面积公式:S=π(r′2 +r2 +r′l+rl)(其中 r 和 r′分别为圆台的上、下底面半径,l 为母线长); 柱体的体积公式:V =Sh(S 为底面面积,h 为高); 1 锥体的体积公式:V = Sh(S 为底面面积,h 为高); 3 1 台体的体积公式:V = (S′+ S′S+S)h(S′、S 分别为上、下底面面积,h 为高); 3 4 球的表面积和体积公式:S=4πR 2 ,V = πR 3 (R 为球的半径). 3 例 2、如图所示,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 ( )

A.6 3 C.12 3

B.9 3 D.18 3

【方法技巧】 1.求三棱锥体积时,可多角度地选择方法.如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法. 2.与三视图相结合考查面积或体积的计算时,解决时先还原几何体,计算时要结合平面图形,不要弄错相关 数量.
3

3.求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解. 4.对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理. 考点三 球与空间几何体的 “切 ”“接 ”问题 1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径. 2.正方体的内切球其棱长为球的直径. 3.正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线. 4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.

例 3、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的外接球的表面积为________.

【方法技巧】1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间 问题化归为平面问题. 2.若球面上四点 P 、A 、B 、C 构成的线段 PA 、PB 、PC 两两垂直,且 PA =a,PB =b,PC=c,则 4R2 =a2 + b2 +c2 (R 为球半径).可采用“补形”法,构造长方体或正方体的外接球去处理. 考点四 空间线线、线面位置关系 (1)线面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. (3)线面垂直的判定定理: m?α,n? α,m∩n=P ,l⊥m,l⊥n?l⊥α. (4)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α?a∥b. 例 4、如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB ,PA ⊥BC,点 D,E ,F ,G 分别是 棱 AP ,AC,BC,PB 的中点.

4

(1)求证:DE ∥平面 BCP ; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 【方法技巧】 1.证明线线平行常用的两种方法: (1)构造平行四边形; (2)构造三角形的中位线. 2.证明线面平行常用的两种方法: (1)转化为线线平行; (2)转化为面面平行. 3.证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直.而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平 面垂直. 考点五 空间面面位置关系 1.面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?α⊥β. 2.面面垂直的性质定理: α⊥β,α∩β=l,a? α,a⊥l?a⊥β. 3.面面平行的判定定理: a?β,b?β,a∩b=A ,a∥α,b∥α? α∥β. 4.面面平行的性质定理: α∥β,α∩γ =a,β∩γ =b?a∥b. 5.面面平行的证明还有其它方法: a、b? α且a∩b=A ? ? c、d? β且c∩d=B ??α∥β, a∥c,b∥d ? ?

(2)a⊥α、a⊥β ?α∥β. 例 5、如图,在四棱锥 P -ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB =AD,∠BAD=60° ,E ,F 分别是 AP ,AD
5

的中点.求证:

(1)直线 EF ∥平面 PCD; (2)平面 BEF ⊥平面 PAD.

【方法技巧】 1.垂直问题的转化方向 面面垂直?线面垂直?线线垂直.主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明.具体如下: (1)证明线线垂直:①线线垂直的定义;②线面垂直的定义;③勾股定理等平面几何中的有关定理. (2)证明线面垂直:①线面垂直的判定定理;②线面垂直的性质定理;③面面垂直的性质定理. (3)证明面面垂直:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理. 2.证明面面平行的常用的方法是利用判定定理,其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行 于另一平面.

6

例 6、如图,平面 PAC⊥平面 ABC,△ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E ,F ,O 分别为 PA ,PB ,AC 的 中点,AC=16,PA =PC=10.

(1)设 G 是 OC 的中点,证明:FG∥平面 BOE ; (2)证明:在△ABO 内存在一点 M,使 FM⊥平面 BOE. 【方法技巧】 1.用向量法来证明平行与垂直,避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了.把几何问题代数化.尤其是正方 体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷.但是向量法要求计算必须准确无误. 2.利用向量法的关键是正确求平面的法向量.赋值时注意其灵活性.注意(0,0,0) 不能作为法向量. 考点七 利用空间向量求角 1.向量法求异面直线所成的角: |a· b| 若异面直线 a,b 的方向向量分别为 a,b,异面直线所成的角为 θ,则 cos θ=|cos 〈a,b〉|= . |a||b| 2.向量法求线面所成的角: |n· a| 求出平面的法向量 n,直线的方向向量 a,设线面所成的角为 θ,则 sinθ=|cos 〈n,a〉|= . |n||a| 3.向量法求二面角: 求出二面角 α-l-β 的两个半平面 α 与 β 的法向量 n1 ,n2 ,若二面角 α-l-β 所成的角 θ 为锐角, |n · n| 则 cos θ=|cos 〈n1 ,n2 〉|= 1 2 ; |n1 ||n2 | 若二面角 α-l-β 所成的角 θ 为钝角, |n · n| 则 cos θ=-|cos 〈n1 ,n2 〉|=- 1 2 . |n1 ||n2 | 例 7、如图,在四棱锥 P -ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形, AB =2,∠BAD=60° .

(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA =AB ,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.
7

考点八 利用空间向量解决探索性问题 利用空间向量解决探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只须通过坐标运算进行判断,在解 题过程中,往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解”等,可以使问题的解决更简 单、有效,应善于运用这一方法. 例 8、如图,在三棱锥 P -ABC 中,AB =AC,D 为 BC 的中点, PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上.

已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP ⊥BC; (2)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A -MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说 明理由.

【难点探究】 难点一 空间几何体的表面积和体积 例 1、 (1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80 )

(2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( 9 A. π+12 2 C.9π+42 9 B. π+18 2 D.36π+18

难点二 球与多面体 例 2、已知球的直径 SC=4,A ,B 是该球球面上的两点,AB = 3,∠ASC=∠BSC=30° ,则棱锥 S-ABC 的 体积为( ) B.2 3 C. 3 D.1

A.3 3

8

【解题规律与技巧】 . 【历届高考真题】 【 2012 年高考试题】 一、选择题 1. 【2012 高考真题新课标理 7】如图,格纸上小正方形的边长为1 ,粗线画出的

是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(



( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

2.【2012 高考真题浙江理 10】已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 折,在翻折过程中。 A. 存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B. 存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C. 存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直.

2 。将△沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻

D. 对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”, “AD 与 BC”均不垂直 3. 【2012 高考真题新课标理 11】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长为1 的正 三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )

( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

4. 【2012 高考
9

真题四川理 6】下列命题正确的是(



A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

5. 【2012 高考真题 四川理 10】如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作平面 ? 的垂线交半球面于点 A ,过圆 O 的 直径 CD 作平面 ? 成 45 角的平面与半球面相交, 所得交线上到平面 ? 的距离最大的点为 B , 该交线上的一点 P 满
A B D P

足 ?BOP ? 60 ,则 A 、 P 两点间的球面距离为( A、 R arccos



α

C

O

2 4

B、

?R
4

C、 R arccos

3 3

D、

?R
3

6.【2012 高考真题陕 西理 5】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的 余弦值为( A. ) B.

5 5

5 3

C.

2 5 5

D.

3 5

【答案】A.
10

【解析】设 | CB |? a ,则 | CA |?| CC1 |? 2a , A(2a,0,0), B(0,0, a), C1 (0,2a,0), B1 (0,2a, a) ,

? AB1 ? (?2a,2a, a), BC1 ? (0,2a,?a) ,? cos ? AB1 , BC1 ??

AB1 ? BC1 | AB1 || BC1 |

?

5 ,故选 A. 5
( )

7. 【2012 高考真题湖南理 3】 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示, 则该几何体的俯视图不可能是

9.【2012 高考真 题广东理 6】某几何体的三视图如图所示,它的体积为

A.12π

B.45π

C.57π D.81π

【答案】C 【解析】该 几何体的 上部是一 个圆锥, 下部是 一个圆柱 ,根据三 视图中的 数量关 系,可得

1 V ? V圆锥 ? V圆柱 ? ? ? ? 32 ? 52 - 32 ? ? ? 32 ? 5 ? 57? .故选 C. 3
11

10.【2012 高考真题福建理 4】 一个几何体的三视图形状都相同、 大小均相等, 那么这个几何体不可以是 ( A. 球 B. 三棱柱 C. 正方形 D. 圆柱



11.【2012 高考真题 重庆理 9】设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值 范围是 (A) (0, 2) 【答案】A 【 解 析 】 因 为 BE ? 1 ? ( (B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3)

2 2 1 2 则 BF ? BE , AB ? 2BF ? 2BE ? 2 , 选 A , ) ? 1? ? 2 2 2

12. 【2012 高考真题北京理 7】某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是(



A. 28+6 5

B. 30+6 5

C. 56+ 12 5
12

D. 60+12 5

【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三 视图中读出的长度, 黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和, 利用垂直关系和三角形面积公式,可得: S底 ? 10 , S后 ? 10 , S右 ? 10 , S左 ? 6 5 ,因此该几何体表面积

S ? S底 ? S后 ? S右 ? S左 ? 30 ? 6 5 ,故选 B。
13. 【2012 高考真题全国卷理 4】已知正四棱柱 ABCD- A1 B1 C1 D1 中 ,AB=2, CC1 = 2 2 则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A 2 B ( ) E 为 CC1 的中点,

3

C

2

D 1

二、填空 14. 【2012 高考真题浙江理 11】 已知某三棱锥的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则该三棱锥的体积等于________cm3.

13

【答案】1 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于
1 1 ? 3 ?1? 2 ? ? 1 . 2 3

N 分别是 CD 、 CC1 的中点,则 15.【2012 高考真题四川理 14】如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, M 、
D1 A1 D B1 N C B C1

M

异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是____________。

A

16. 【2012 高考真 题辽宁理 13】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________。

【答案】 38 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即 为 2(3 ? 4 ? 4 ?1 ? 3 ?1) ? 2? ?1?1 ? 2? ? 38

14

17. 【2012 高考真题山东理 14】如图,正方体 ABCD ? A 的棱长为 1, E , F 分别为线段 AA1 , B1C 上的 1B 1C1 D 1

点,则三棱锥 D1 ? EDF 的体积为____________.

18. 【2012 高考真 题辽宁理 16】已知正三棱锥 P ? ABC,点 P ,A ,B ,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA ,PB ,PC 两两互相垂直, 则球心到截面 ABC 的距离为________。 【答案】

3 3

【解析】因为在正三棱锥 P ? ABC 中,PA ,PB ,PC 两两互相垂直,所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体 的一部分, (如图所示) ,此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径,球心为正方体对角线的中点。球心到

截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的 正方体的棱长为 2 ,可求得 正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的高为

高。已知球的半径为 3 ,所以

2 3 ,所以球心到截面 ABC 的距 离为 3

3?

2 3 3 ? 3 3


19. 【2012 高考真题上海理 8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为

15

20. 【 2012 高考真 题 上 海 理 14 】 如 图 , AD 与 BC 是 四 面 体 A B C D 中 互 相 垂 直 的 棱 , BC ? 2 , 若 AD ? 2c , 且

AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最

大值是 【答案】



2 c a2 ? c2 ?1。 3 1 2 S ADE ? BC = S ADE , 3 3

【解析】过点 A 做 AE⊥ BC,垂足为 E,连接 DE,由 AD⊥ BC 可知, BC⊥平面 ADE, 所以 V ? VB ? ADE ? VC ? ADE ?

当 AB=BD=AC=DC=a 时,四面体 ABCD 的体积最大。 过 E 做 EF⊥DA,垂足为点 F,已知 EA=ED ,所以△ ADE 为等腰三角形,所以点 E 为 AD 的中点,又

AE 2 ? AB2 ? BE 2 ? a 2 ? 1 ,∴EF= AE2 ? AF 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,

1 AD ? EF = c a 2 ? c 2 ? 1 , 2 2 2 2 2 ∴四面体 ABCD 体积的最大值 Vmax ? S ADE = c a ? c ? 1 。 3 3
∴ S ADE = 21. 【2012 高考江苏 7】 ( 5 分)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则四棱锥

A ? BB1D1D 的体积为

▲ cm3 .

16

22. 【2012 高考真 题安徽理 12】某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 _____ .

【答案】92 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱, 几何体的表面积是 S ? 2 ?

1 ? (2 ? 5) ? 4 ? (2 ? 5 ? 4 ? 42 ? (5 ? 2) 2 ) ? 4 ? 92 . 2
3

23. 【2012 高考真题天津理 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为_________m .
6
3 2 正视图

3
1

3 2 侧视图

3
俯视图

24. 【2012 高考
17

真题全国卷理 16】三菱柱 ABC-A1 B1 C1 中,底面边长和侧棱长都相等, 所成角的余弦值为____________. 【答案】

BAA1 =CAA1 =60° 则异面直线 AB1 与 BC1

6 3

【 解 析 】 如 图

设 AA 设 棱 长 为 1 ? a, AB ? b, AC ? c,

1 , 则

0 AB1 ? a ? b, BC1 ? a ? BC ? a ? c - b , 因 为 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 , 且 ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60 所 以

a?b ? a?c ? b?c ?

1 2







AB1 ? (a ? b) 2 ? 3



BC1 ? (a ? c - b) 2 ? 2



AB1 ? BC1 ? (a ? b) ? (a ? c - b) ? 2 ,设异面直线的夹角为 ? ,所以 cos? ?
三、解答题 27. 【2012 高考真题湖北理 19】 (本小题满分 12 分)

AB1 ? BC1 AB1 BC1

?

2 2? 3

?

6 . 3

如图 1, ?ACB ? 45 , BC ? 3 ,过动点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B ,连接 AB ,沿 . AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90 (如图 2 所示) (Ⅰ)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大; (Ⅱ)当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC , AC 的中点,试在 棱 CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小. A

A M D B

B

D 图1

C

. · E

C

图2 第 19 题图

18

解法 2:

1 1 1 1 同解法 1,得 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ( x3 ? 6x2 ? 9x) . 3 3 2 6
1 1 令 f ( x) ? ( x3 ? 6 x2 ? 9 x) ,由 f ?( x) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 0 ? x ? 3 ,解得 x ? 1 . 6 2
当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值. 故当 BD ? 1时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大.
[Z,xx , k. Co m]

19

z A M DN B x E 图a C

A M

y B

DN E 图b

F

C M

D

N

F E

C

G

H

N E

B

图c

P

B 图d 第 19 题解答图

故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 . 解法 2:由(Ⅰ)知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1 , AD ? CD ? 2 . 如图 b,取 CD 的中点 F ,连结 MF , BF , EF ,则 MF ∥ AD .
20

由(Ⅰ)知 AD ? 平面 BCD ,所以 MF ? 平面 BCD . 如图 c,延长 FE 至 P 点使得 FP ? DB ,连 BP , DP ,则四边形 DBPF 为正方形, 所以 DP ? BF . 取 DF 的中点 N ,连结 EN ,又 E 为 FP 的中点,则 EN ∥ DP , 所以 EN ? BF . 因为 MF ? 平面 BCD ,又 EN ? 面 BCD ,所以 MF ? EN . 又 MF
BF ? F ,所以 EN ? 面 BMF . 又 BM ? 面 BMF ,所以 EN ? BM .

因为 EN ? BM 当且仅当 EN ? BF ,而点 F 是唯一的,所以点 N 是唯一的.
1 即当 DN ? (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点) , EN ? BM . 2

连接 MN , ME ,由计算得 NB ? NM ? EB ? EM ?

5 , 2

所以△ NMB 与△ EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图 d 所示,取 BM 的中点 G ,连接 EG , NG , 则 BM ? 平面 EGN .在平面 EGN 中,过点 E 作 EH ? GN 于 H , 则 EH ? 平面 BMN .故 ?ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角. 在△ EGN 中,易得 EG ? GN ? NE ?

2 ,所以△ EGN 是正三角形, 2

故 ?ENH ? 60 ,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 . 28. 【2012 高考真题新课标理 19】 (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , 2

D 是棱 AA 1 的中点, DC1 ? BD
(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

21

29. 【2012 高考江苏 16】 ( 14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB , E 分别是棱 BC , CC1 上的点(点 D 不同于点 C ) 1 1 ? AC 1 1 ,D, 且 AD ? DE , F 为 B1C1 的中点. 求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

22

【解析】 (1)要 证平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ,只要证平面 ADE 上的 AD ? 平面 BCC1 B1 即可。它可由已知 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱 和 AD ? DE 证得。 (2)要证直线 A1 F // 平面 ADE ,只要证 A1 F ∥平面 ADE 上的 AD 即可。 32. 【2012 高考真题北京理 16】 (本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ C=90° ,BC=3, AC=6,D, E 分别是 AC, AB 上的点,且 DE∥ BC, DE=2,将 △ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使 A1 C⊥CD, 如图 2. (I)求证:A1 C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1 D 的中点,求 CM 与平面 A1 BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直?说明理由

【答案】解: (1)

CD ? DE , A1 E ? DE

? DE ? 平面 A1CD ,

AC ? 平面 A1CD , 1 ? DE ? AC 1
23

又 A1C ? CD ,
? 平面 BCDE 。 ? AC 1

(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , 0, 0 ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , 3, 0? , E ? ?2 , 2, 0? ∴ A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1E ? ? ?2 , ? 1, 0? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y , z?
z

?

?

?

?



? ? A1 B ? n ? 0 ? ? ? A1 E ? n ? 0

? ?3 y ? 2 3z ? 0 ∴ ? ? ??2 x ? y ? 0

A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

? 3 z? y ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2

∴ n ? ?1 ,2 , 3

?

?

D (-2,0,0)

又∵ M ?1 ,0 , 3

?

?
?

C (0,0,0) x

∴ CM ? ?1 ,0 , 3 ∴ cos ? ?

?

CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2 ,

∴ CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45 ? 。

33. 【2012 高考真题浙江 理 20】(本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P —ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,且∠BAD=120° ,且 PA ⊥平面 ABCD,PA = 2 6 ,M,N 分别为 PB ,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A —MN—Q 的平面角的余弦值.

24

【答案】(Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB ,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)如图建系: A (0,0,0),P (0,0, 2 6 ),M( ? N( 3 ,0,0),C( 3 ,3,0). 设 Q(x,y,z),则 CQ ? ( x ? 3,y ? 3,z), CP ? (? 3, ? 3, 2 6) . ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?, ? 3?, 2 6? ) ,∴ Q( 3 ? 3?, 3 ? 3?, 2 6?) . 由 OQ ? CP 即: Q(
? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ?
1 . 3

3 3 , ,0), 2 2

2 3 2 6 ,2, ). 3 3

25

40. 【2012 高考真题湖南理 18】 (本小题满分 12 分) 如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, AB=4, BC=3, AD=5,∠DAB=∠ ABC=90° ,E 是 CD 的中 点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

26



PA ? 平面ABCD 知, ?PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 由题意,知 ?PBA ? ?BPF ,
因为 sin ?PBA ?

PA BF ,sin ?BPF ? , 所以 PA ? BF . PB PB

由 ?DAB ? ?ABC ? 90 知,AD / / BC, 又BG / /CD, 所以四边形 BCDG 是平行四边形, 故 GD ? BC ? 3. 于 是 AG ? 2. 在 RtΔBAG 中, AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 所以

BG ? AB2 ? AG 2 ? 2 5, BF ?
8 5 . 5

AB2 16 8 5 ? ? . BG 2 5 5

于是 PA ? BF ?

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16, 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

1 1 8 5 128 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? . 3 3 5 15

27

解法 2:如图(2) ,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系. 设

PA ? h, 则相关的各点坐标为: A(4,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,5,0), E(2, 4,0), P(0,0, h).

cos ? CD, PB ? ? cos ? PA, PB ? ,即

CD ? PB CD ? PB

?

PA ? PB PA ? PB

.

由(Ⅰ)知, CD ? (?4, 2,0), AP ? (0,0, ?h), 由 PB ? (4,0, ?h), 故

?16 ? 0 ? 0 2 5 ? 16 ? h
解得 h ?
2

?

0 ? 0 ? h2 h ? 16 ? h2

.

8 5 . 5
1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16 ,所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 1 8 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? 3 3 5
【 2011 年高考试题】 一、选择题 :

128 5 . 15

28

1. (2011 年高考山东卷理科 11)下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题: ①存在三棱柱,其正(主 )视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正 (主 )视图、俯视图如 下图;③存在圆柱,其正(主 )视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0

【答案】A 【解析】对于①, 可以是放倒的三棱柱;容易判断②③可以. 4. (2011 年高考安徽卷理科 6)一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积为

(A) 48 【答案】C

(B)32+8 ??

(C) 48+8 ??

(D) 80

【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱. 底面等腰梯形的上底为 2,下底为 4,高为 4, 。故

S表 ?

??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??
5. (2011 年高考辽宁卷理科 8)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥ 底面 ABCD,则下列结论中不正确 ...

的是(



(A)

AC⊥ SB

(B) AB∥ 平面 SCD (C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

29

8. (2011 年高考江西 卷理科 8)已知 ?1 ,? 2 , 平面 ?1 , 平面 ? 2 , 直 ? 2 之间的距离为 d1 , ?3 是三个相互平行的平面. ?3 之间的距离为 d2 . 线 l 与 ?1 , ? 2 , ?3 分别相交于 P 1 2=P 1, P 2,P 3 ,那么“ PP 2P 3 ”是“ d1 ? d 2 ”的 A. 充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】C 【解析】 过点 P B 两点, 由两个平面平行的性质可知 P ?3 分别于点 A、 2A ∥ P 1 作平面 ? 2 的垂线 g, 交平面? 2 , 3B , 所以 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

PP d 1 2 ? 1 , 故选 C. PP d2 1 2

9. (2011 年高考湖南卷理科 3)设图 1 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.

9? ? 12 2

B.

9? ? 18 2

C. 9? ? 42 D. 36? ? 18

3

2 3 正视图 侧视图

俯视图 图1 答案:B
30

解析:由三视图可以还原为一个底面为边长是 3 的正方形,高为 2 的长方体以及一个直径为 3 的球组成的简单 几何体,其体积等于

4 3 3 9? ? ( ) ?? ? 3? 3? 2 ? ? 18 。故选 B 3 2 2

10.(2011 年高考广东卷理科 7)如图 l—3.某几何体的正视图 (主视图 )是平行四边形,侧视图 (左视图 )和俯视图 都是矩形,则该几何体的体积为( )

A. 6 3

B. 9 3

C.12 3

D.18 3

【解析】B. 由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱, EA ? 平面ABCD.

V ? S 平行四边形 ABCD ? h ? 3 ? 2 2 ? 1 ? 3 ? 9 3 。所以选 B

11. (2011 年高考陕西卷理科 5)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是

H G D E 3 A 1
2? ? (B) 8 ? 3 3 2? (C) 8 ? 2? (D) 3
(A) 8 ? 【答案】A
31

3 2 F

C

B

12. (2011 年高考重

庆卷理科 9)高为

2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同一球面 4

上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 (A)

2 4

(B)

2 2

(C)1

(D) 2

解析:选 C. 设底面中心为 G,球心为 O,则易得 AG ?

2 2 ,于是 OG ? ,用一个与 ABCD 所在平面距 2 2

离等于

2 2 2 2 的平面去截球,S 便为其中一个交点,此平面的中心设为 H,则 OH ? ,故 ? ? 4 2 4 4
2

? 2? 7 7 ? 2? ,故 SG ? SH 2 ? HG 2 ? SH ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? 4 ? 8 ? ?1 8 ? ? ? ? 4 ?
2 2

2

15. (2011 年高考全国卷理科 11)已知平面? 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 60 ,二面角的平面 ? 截该
0

球面得圆 N,若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为 (A) 7? 【答案】D 【解析】由圆 M 的面积为 4? 得 MA ? 2 , OM ? 4 ? 2 ? 12
2 2 2

(B) 9?

(c)11?

(D)13?

O N 60° M

? OM ? 2 3 ,在 Rt ONM中,?OMN ? 300
2 1 ? ON ? OM ? 3, r= 42 ? 3 ? 13 ? S圆N ? 13? 故选 D 2

B

A

二、填空题 : 1. (2011 年高考辽宁卷理科 15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯视图如

右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是____________.
32

2. (2011 年 高 考 全 国 新 课 标 卷 理 科 15) 已 知 矩形 ABCD 的 顶 点 都 在 半 径 为 4 的 球 O 的 球 面 上 , 且

AB ? 6, BC? 2 3, 则棱锥 O ? ABCD 的体积为
答案:


o j

8 3
D C

解析:如图,连接矩形对角线的交点 O1 和球心 O , 则,

1 AC ? 4 3 , O1 A ? AC ? 2 3 , 四棱锥的高为 2

o1
A B

O1O ? 4 2 ? (2 3 ) 2 ? 2 ,
所以,体积为 V ?

1 ? 6? 2 3 ? 2 ? 8 3 3

3.(2011 年高考天津卷理科 10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ) ,则这个几何体的体积为 __________

m3

4. (2011 年高考 四川卷理科 15)如图, 半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时, 求球的表面积与该圆柱的侧面积之 差是 .

33

答案: 2? R 2 解析: S侧 ? 2? r ? 2 R ? r ? 4? r ( R ? r ) ? S侧 max 时, r 2 ? R 2 ? r 2 ? r 2 ?
2 2 2 2 2

R2 2 ?r ? R ,则 2 2

4? R2 ? 2? R2 ? 2? R2
三、解答题 : 1. (2011 年高考山东卷理科 19)(本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ∠ ACB= 90 ? ,EA⊥平面ABCD, EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB =2EF.

(Ⅰ )若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE ; (Ⅱ)若AC=BC =2AE,求二面角A-BF -C的大小. 【解析】 (Ⅰ)连结 AF, 因为 EF∥AB,FG∥BC, EF∩ F G =F, 所以 平面 EFG∥ 平 面 ABCD, 又 易 证

?EFG ∽ ?ABC ,
所以 AD 的中点, 所以 AM ?

FG EF 1 1 1 ? ? , 即 FG ? BC , 即 FG ? AD , 又 BC AB 2 2 2 1 AD, 又因为FG∥BC∥AD ,所 2

M



以FG 因为G ABF

∥AM, 所以四边形 AMGF 是平行四边形, 故 GM∥FA, 又 M ? 平面ABFE,FA ? 平面ABFE, 所以GM∥平面 E. (Ⅱ)取 AB 的中点 O, 连结 CO, 因为AC=BC, 所以 CO⊥AB,
34

又因为EA⊥平面ABCD,CO ? 平面ABCD, 所以EA⊥CO, 又EA∩AB=A, 所以 CO⊥平面ABFE, 在平面 ABEF 内, 过点 O 作 OH⊥ BF 于 H, 连结 CH, 由三垂线定理知: CH⊥ BF, 所以 ?CHO 为二面角A-BF-C的平面角. 设AB=2EF= 2 a , 因为∠ ACB= 90 ? ,AC=BC= 2a ,CO= a , AE ?

2 a , 连结 FO, 容易证得 FO∥EA 且 2

FO ?

CO 2 6 3 2 2 = ? a , 所以 BF ? a , 所 以 OH= a , 所 以 在 R t? C O H中 ,tan∠ CHO= a? OH 2 2 3 2 6

3 ,故

∠ CHO= 60 , 所以二面角A-BF-C的大小为 60 . 2. (2011 年高考浙江卷理科 20)(本题满分 15 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? AC ,D 为 BC 的中点, PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4, AO=3,OD=2(Ⅰ)证明: AP⊥ BC; (Ⅱ)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-β 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由。

平面 APC 的法向量
35

n2 ? ( x2 , y2 , z2 )
由?

? BM ? n1 ? 0 ? ? ? BC ? n2 ? 0

得?

??4 x1 ? (2 ? 3? ) y1 ? (4 ? 4? ) z1 ? 0 ??8 x1 ? 0
5 ? x 2? y 2 ? ? 3 y ? 4 z ? 0 AP ? n ? 0 ? 2 ? ? 2 4 2 由? 即? 得? ?4 x 2 ?5 y 2 ? 0 ? 3 ? ? AC ? n2 ? 0 ? z 2? ? y 2 ? ? 4

? x1 ? 0 2 ? 3? ? 即? ,可取 n1 ? (0,1, ) 2 ? 3? 4 ? 4? z1 ? y1 ? 4 ? 4? ?
可取 n2 ? (5, 4, ?3) ,由 n1 ? n2 ? 0 得 4 ? 3 ? 综上所述,存在点 M 符合题意, AM ? 3

2 ? 3? 4 ,故 AM ? 3 ? 0 解得 ? ? 4 ? 4? 5





P

?M c

o P? s B ,所以 ?AM B? 2PA P ? PMA? 3 综上所述,存在点 M 符合题意, AM ? 3 .

5. (2011 年高考全国新课标卷理科 18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥ 底面 ABCD.

36

p

D a

C

A

2a

B

(Ⅰ )证明:PA⊥ BD; (Ⅱ )若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

8.(2011 年高考湖南卷理科 19)(本小题满分 12 分) 如图 5,在圆锥 PO 中,已知 PO = 2 ,⊙ O 的直径 AB ? 2 , C 是 AB 的中点, D 为 AC 的中点.
37

(Ⅰ )证明:平面 POD ? 平面 PAC ; (Ⅱ )求二面角 B ? PA ? C 的余弦值.

解法 1:连结 OC,因为 OA ? OC, D是AC的中点,所以AC ? OD. 又 PO ? 底面⊙ O,AC ? 底面⊙ O,所以 AC ? PO , 因为 OD,PO 是平面 POD 内的两条相交直线,所以 AC ? 平面 POD, 而 AC ? 平面 PAC,所以平面 POD ? 平面 PAC。 (II)在平面 POD 中,过 O 作 OH ? PD 于 H,由(I)知, 平面 POD ? 平面PAC, 所以 OH ? 平面 PAC,又 PA ? 面 PAC,所以 PA ? OH . 在平面 PAO 中,过 O 作

OG ? PA 于 G,连接 HG,

则有 PA ? 平面 OGH,从而 PA ? HG ,故 ?OGH 为二面角 B—PA—C 的平面角。 在 Rt ?ODA中, OD ? OA ? sin 45? ?

2 . 2

在 Rt ?POD中, OH ?

PO ? OD PO 2 ? OD 2

?

2?

2 2 ? 10 . 5 1 2? 2

在 Rt ?POA中, OG ?

PO ? OA PO2 ? OA2

?

2 ?1 6 ? . 2 ?1 3

10 OH 15 ? 5 ? . 在 Rt ?OHG中,sin ?OGH ? OG 5 6 3
所以 cos ?OGH ? 1 ? sin ?OGH ? 1 ?
2

15 10 10 ? . 故二面角 B—PA—C 的余弦值为 . 25 5 5

38

所以 z1 ? 0, x1 ? y1 , 取y1 ? 1, 得n1 ? (1,1,0). 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 PAC 的一个法向量, 则由 n2 ? PA ? 0, n2 ? PC ? 0 ,得 ?

? ?? x2 ? 2 z2 ? 0, ? ? y2 ? 2 z2 ? 0.

所以 x2 ? ? 2z2 , y2 ? 2z2 .取z2 ? 1, 得 n2 ? (? 2, 2,1) 。 因为 n1 ? n2 ? (1,1,0) ? (? 2, 2,1) ? 0,

9. (2011 年高考 广 东 卷 理 科 18) 如 图 5 , 在 椎 体 P ? ABCD 中 , ABCD 是 边 长 为
39

1

的 棱 形 , 且

?DAB ? 600 , PA ? PD ? 2 , PB ? 2, E , F 分别是 BC, PC 的中点,

( 1) 证明: AD ? 平面DEF ( 2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。 【解析】法一: (1)证明:取 AD 中点 G,连接 PG,BG, BD。 因 PA=PD , 有 P G ? A D,在 ?ABD 中, AB ? AD ? 1, ? DAB ? 60 ?,有 ?ABD 为等边三 角形, 因此

BG ? AD, BG ? PG ? G ,所以 AD ? 平面 PBG ? AD ? PB, AD ? GB.
又 PB//EF,得 AD ? EF ,而 DE//GB 得 AD ? DE,又 FE ? DE ? E ,所以 AD ? 平面 DEF。

(2)

PG ? AD, BG ? AD ,

? ?PGB 为二面角 P—AD—B 的平面角,
在 Rt ?PAG中, PG ? PA ? AG ?
2 2 2

7 4

在 Rt ?ABG中,BG=AB ? sin60?=

3 2
2

7 3 ? ?4 PG ? BG ? PB 21 4 4 ? cos ?PGB ? ? ?? 2PG ? BG 7 7 3 2? ? 2 2
2 2

40

| GB |?| AB | sin 60? ?

3 2

? B(n ?

3 3 3 1 n 3 1 m ,0,0), C (n ? ,1,0), E (n ? , ,0), F ( ? , , ). 2 2 2 2 2 4 2 2 3 n 3 m , 0, 0), FE ? ( ? , 0, ? ) 2 2 4 2

由于 AD ? (0,1, 0), DE ? (

得 AD ? DE ? 0, AD ? FE ? 0, AD ? DE, AD ? FE, DE ? FE ? E

? AD ? 平面 DEF。

41

10. (2011 年高考湖北卷理科 18)(本小题满分 12 分) 如图,已知,本棱柱 ABC-A1 B1 C1 的各棱长都是 4,E 是 BC 的中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (Ⅰ ) 当 CF=1 时,求证:EF⊥ A1 E (Ⅱ )设二面角 C-AF-E 的大小为 ? ,求 tan? 的最小值.

解析: 过 E 点作 EN⊥ AC 于 N,连结 EF. (Ⅰ ) 如图 1, 连结 NF、 AC1 , 由直线柱的性质知, 底面 ABC⊥ 侧面 A1 C, 又底面 ABC∩侧面 A1 C=AC, 且 EN ? 底面 ABC,所以 EN⊥ 侧面 A1 C,NF 为 EF 在侧面内的射影. 在 Rt△ CEN 中,CN=cos60 =1. 则由
0

CF CN 1 ? ? ,得 NF // AC1 ,又 AC1 ? AC , 1 CC1 CA 4

故作 NF ? A1C ,由三垂线定理知 EF ? A1C . (Ⅱ ) 如图 2。 连结 AF, 过 N 作 NM⊥AF 于 M, 连结 ME, 由 (Ⅰ ) 知 EN⊥ 侧面 A1 C。 根据三垂线定理得 EM⊥AF, 所以 EM⊥AF,所以 ?EMN 是二面角 C ? AF ? E 的平面角,即 ?EMN ? ? . 设 ?FAC ? ? 则 00 ? ? ? 450 . 在 Rt?CNE 中
42

NE ? EC sin 600 ? 3 . 在

Rt?AMN 中, MN ? AN sin? ? 3sin? ,故 tan ? ?

NE 3 2 .故 ? . ,又 00 ? ? ? 450 ,?0 ? sin ? ? MN 3sin ? 2

当 sin ? ?

2 3 6 ,即当 ? ? 450 时, tan? 达到最小值, tan ? ? . 此时 F 与 C1 重合. ? 2? 2 3 3

11. (2011 年高考陕西卷理科 16)(本小题满分 12 分) 如图:在 ABC中,?ABC=600 , ?BAC=900 ,

AD是BC上的高 ,沿 AD 把 ABD 折起,
使 ?BDC=900

(Ⅰ )证明:平面 ADB ? 平面BDC ; (Ⅱ )设 E为BC的中点,求AE与DB夹角的余弦值 。

14. (2011 年 高 考 全 国 卷 理 科 19) 如 图 , 四 棱 锥 S ? A B C D 中, AB
43

C D, BC ? CD , 侧 面 SAB 为 等 边 三 角 形 ,

AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.
(Ⅰ )证明: SD ? SAB ; (Ⅱ )求 AB 与平面 SBC 所成角的大小. 【解析】 (Ⅰ ) :连结 BD 过 D 作 DE ? AB于E, 则BEDC为正方形

? BE ? DE ? 2, 又AE ? AB ? BE,? AE ? 1 ,在 Rt?AED中,AD= AE2 ? DE2 ? 1 ? 22 ? 5
?SAB为等边三角形, ? SA ? SB ? AB ? 2 ,在 ?SAD中,AD2 ? 5, SA2 ? SD2 ? 22 ? 12 ? 5

? AD2 ? SA2 ? SD2

即SD ? SA ,同理可证 即SD ? SB, 又SA SB ? S

? SD ? 平面SAB 即SD ? SB, 又SA SB ? S ? SD ? 平面SAB
( Ⅱ ) 过

D 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz , D 做 Dz ? 平 面 A B C ,

1 3 ) A(2, ?1,0), B(2,1,0), C (0,1, 0), S ( , 0, 2 2
z

可计算平面 SBC 的一个法向量是 n ? (0, 3, 2) , AB = (0, 2, 0)

| cos ? AB, n ?|?

| AB n | 2 3 21 ? ? . 7 | AB || n | 2 7
x

y

21 所以 AB 与平面 SBC 所成角为 arccos . 7
15. (2011 年高考安徽卷江苏 16)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° , E、F 分别是 AP、AD 的中点. 求证: (1)直线 EF∥ 平面 PCD; (2)平面 BEF⊥ 平面 PAD

18. (2011 年高考上海卷理科 21)(14 分)已知 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 是底面边长为 1 的正四棱柱, O 1 是 AC 1 1 和 B1 D 1 的交点。
44

(1)设 AB1 与底面 A1 B1C1D1 所成的角的大小为 ? ,二面角 A ? B1D1 ? A 的大小为 ? 。 1 求证: tan ? ? 2 tan ? ; (2)若点 C 到平面 AB1D1 的距离为 解:设正四棱柱的高为 h 。 ⑴ 连 AO1 , AA1 ? 底面 A1 B1C1D1 于 A 1, ∴ AB1 与底面 A1 B1C1D1 所成的角为 ?AB1 A 1 ,即 ?AB 1A 1 ?? ∵ AB1 ? AD1 , O1 为 B1D1 中点,∴ AO1 ? B1D1 ,又 AO 1 1 ?B 1D 1, ∴ ?AO1 A 1 是二面角 A ? B 1D 1?A 1 的平面角,即 ?AO 1A 1 ?? ∴

4 ,求正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 的高。 3

tan ? ?

AA1 AA1 ? h , tan ? ? ? 2h ? 2 tan ? 。 A1O1 A1B1

45


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