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高中数学竞赛专题讲座之二:数列


高中数学竞赛专题讲座之二:数列
一、选择题部分 1. (2006 年江苏)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? A. a1 B. a2

2 ,则 ?an ? 的最大项是(B) n ? 4n ? 5 C. a3 D. a4
2

2 3 2. (2006 安徽初赛)正数列满足 a 1 ? 1 , a2 ? 10 , an an ? 2 ? 10an ?t ? n ? 3? ,则 lg (a100 ) ? (



A.98 B.99 C.100 D.101 3. (2006 吉林预赛)对于一个有 n 项的数列 P=(p1,p2,?,pn),P 的“蔡查罗和”定义为 s1、s2、?sn、的算术平均 值,其中 sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n),若数列(p1,p2,?,p2006)的“蔡查罗和”为 2007,那么数列(1,p1,p2,?,p2006) 的“蔡查罗和”为 (A) A.2007 B.2008 C.2006 D.1004 4.(集训试题)已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不等 式|Sn-n-6|< A.5

1 的最小整数 n 是 125
B.6 C.7 D.8





解:由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以 8 为首项,公比为-

1 的等比数列, 3

1 8[1 ? ( ? ) n ] 1 1 1 3 ∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)= =6-6×(- )n,∴|Sn-n-6|=6×( )n< ,得:3n-1>250,∴满足条件的 1 3 3 125 1? 3 最小整数 n=7,故选 C。
5.(集训试题)给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= A.1 B.-1

3xn ? 1 3 ? xn

2005

,则

?x
n ?1

n

= D.-2+ 3





C.2+ 3

解:xn+1=

xn ? 1?

3 xn 3

3 3 ,令 x =tanα ,∴x =tan(α + ? ), ∴x =x , x =1,x =2+ 3 , x =-2- 3 , x =-1, x =-2+ 3 , n n n+1 n n+6 n 1 2 3 4 5

6

2005

x6=2- 3 , x7=1,??,∴有

?x
n ?1

n

? x1 ? 1 。故选 A。

{b 6. (2006 陕西赛区预赛)已知数列 {an }、 n } 的前 n 项和分别为 An , Bn 记 Cn ? an ? Bn ? bn ? An ? an ? bn (n ? 1) 则数列
{ Cn }的前 10 项和为 A. A10 ? B10 B. (C)

A10 ? B10 C. A10 ? B10 D. A10 ? B10 2 2 2 2 7. 2006 年浙江省预赛) f (n) 为正整数 n 十进制) ( 设 ( 的各数位上的数字的平方之和, 比如 f (123) ? 1 ? 2 ? 3 ? 14 。 记 f1 (n) ? f (n) , f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , k ? 1,2,3,?, f 2006 (2006) = 则 (D)
A.20 B.4 C.42 解:将 f (2006 ) ? 40 记做 2006 ? 40 ,于是有 D.145

2006 ? 40 ? 16 ? 37 ? 58 ? 89 ? 145 ? 42 ? 20 ? 4 ? 16 ? ? 从 16 开始, f n 是周期为 8 的周期数列.
故 f 2006 (2006 ) ? f 2004 (16) ? f 4? 250?8 (16) ? f 4 (16) ? 145 . 二、填空题部分 1.数列 ?an ? 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足 S n ? 正确答案为 D。

1 1 (a n ? ) ,则 a n =___ n ? n ? 1 ___. 2 an 2. (200 6 天津)已知 a, b, c, d 都是偶数,且 0 ? a ? b ? c ? d , d ? a ? 90 ,若 a, b, c 成等差数列, b, c, d 成等比数 列,则 a ? b ? c ? d 的值等于 194 .
3. (2006 吉林预赛)如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列 1,3,

6,10,?,记这个数列前 n 项和为 S(n),则 lim

n3 =________. n ? ?? S ( n)

1 1 1 1 1 1 ? 5 ? 4 10 ? 3 6 10 ? 2 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 ?

4. (2006 年江苏)等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? 设 f ? n ? 表示这个数列的前 n 项的积,则当 n ? 12

1 . 2

时, ?

f ? n ? 有最大值.
5.在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列

?A ?, j ? 1,2,? ,以及在第一象限内的抛物线 y
j

2

?

取点列 ?Bk ?, k ? 1,2,? ,使 ?Ak ?1Bk Ak ( k ? 1,2,? )都是等边三角形,其中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三 角形的边长是 2005. 【 解 】 设 第 n 个 等 边 三 角 形 的 边 长 为 a n 。 则 第 n 个 等 边 三 角 形 的 在 抛 物 线 上 的 顶 点 Bn 的 坐 标 为 : ( a1 ? a2 ? ? ? an?1 ?

3 x 上从左向右依次 2

an , 2

a ? 3? 。 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? n ? ) 2? 2 ?
2 an

再 从 第 n 个 等 边 三 角 形 上 , 我 们 可 得 Bn 的 纵 坐 标 为

3 ?1 ? ? ? an ? ? an 。 从 而 有 2 ?2 ?

2

3 an ? 2

a 1 2 a ? 3? a n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? n 。 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? n ? ,即有 2? 2 ? 2 2 an 1 2 ? an 2 2
(1)

由此可得 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 以及

a1 ? a2 ? ? ? an?1 ?

(1)-(2)即得 变形可得

an?1 1 2 (2) ? an?1 2 2 1 1 an ? (an ? an?1 ) ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) . 2 2 (an ? an?1 ? 1)(an ? an?1 ) ? 0 . 1 1 a1 ? a12 ,而 a1 ? 0 ,故 a1 ? 1 。 2 2
2005!?1 . 2005!

由于 a n ? a n ?1 ? 0 ,所以 a n ? a n ?1 ? 1 。在(1)式中取 n = 1,可得 因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 ? 2005 。

6.(2005 年浙江)已知数列 xn ,满足 (n ? 1) xn ?1 ? xn ? n , 且 x1 ? 2 , 则 x2005 = 【解】 :由 (n ? 1) xn ?1 ? xn ? n ,推出 xn?1 ? 1 ?

xn ? 1 。因此有 n ?1 x ? 1 xn?1 ? 1 xn?2 ? 1 x1 ? 1 1 . xn?1 ? 1 ? n ? ? ??? ? n ? 1 (n ? 1)n (n ? 1)n(n ? 1) (n ? 1)n(n ? 1) ? 2 (n ? 1)! 2005!?1 1 ? 1 。 从而可得 x 2005 ? 即有 xn?1 ? 。 (n ? 1)! 2005!
7.(2005 全国)记集合 T ? {0,1,2,3,4,5,6}, M ? {

a1 a2 a3 a4 ? ? ? | ai ? T , i ? 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的顺序 7 7 2 73 7 4 排列,则第 2005 个数是 ( ) 5 5 6 3 5 5 6 2 A. ? 2 ? 3 ? 4 B. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 0 4 1 1 0 3 C. ? 2 ? 3 ? 4 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7 4 解:用 [a1 a 2 ? a k ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得

M ? ? {a1 ? 73 ? a2 ? 72 ? a3 ? 7 ? a4 | ai ? T , i ? 1, 2,3, 4} ? {[a1a2 a3a4 ]7 | ai ? T , i ? 1, 2,3, 4}.

M ? 中的最大数为

[6666 ]7 ? [2400 ]10 。在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列的
第 2005 个数是 2400-2004=396。而 [396 ]10 ? [1104 ] 7 将此数除以 7 ,便得 M 中的数
4

1 1 0 4 ? 2 ? 3 ? 4 . 故选 C. 7 7 7 7 8. (2004 全国)已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 ? an ?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 ,


?a
i ?o

n

1
i

的值是_________________________。

1 1 1 , n ? 0,1, 2,..., 则(3 ? )(6 ? ) ? 18, an bn ?1 bn 1 1 1 即 3bn ?1 ? 6bn ? 1 ? 0. ? bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ) 3 3 3
解:设 bn ? 2 的等比数列,

故数列 {bn ? } 是公比为

1 3

1 1 1 1 1 1 bn ? ? 2n (b0 ? ) ? 2n ( ? ) ? ? 2n ?1 ? bn ? (2n ?1 ? 1) 。 3 3 a0 3 3 3
n n ? 1 1 1 1 ? 2(2n ?1 ? 1) ? ? bi ? ? (2i ?1 ? 1) ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 2 n ? 2 ? n ? 3? 。 ? a i ?0 i ?0 3 3 ? 2 ?1 i ?o i ? 3 n

9.2005 四川) r , s, t 为整数, ( 设 集合 {a | a ? 2 ? 2 ? 2 ,0 ? t ? s ? r} 中的数由小到大组成数列 {a n } : ,11,13,14,? , 7
r s t

则 a 36 ?

131


2

解:∵ r , s, t 为整数且 0 ? t ? s ? r ,∴ r 最小取 2,此时符合条件的数有 C 2 ? 1

r ? 3 , s, t 可在 0,1,2 中取,符合条件有的数有 C32 ? 3
同理, r ? 4 时,符合条件有的数有 C 4 ? 6
2

r ? 5 时,符合条件有的数有 C 52 ? 10 r ? 6 时,符合条件有的数有 C 62 ? 15 r ? 7 时,符合条件有的数有 C 72 ? 21
因此, a 36 是 r ? 7 中的最小值,即 a36 ? 2 ? 2 ? 2 ? 131
0 1 7

三、解答题部分 1. (200 6 天津)已知数列 {a n } 满足 a1 ? p , a2 ? p ? 1 , a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? n ? 20 ,其中 p 是给定的实数, n 是 正整数,试求 n 的值,使得 a n 的值最小. 【解】令 bn ? a n ?1 ? a n , n ? 1,2,? 由题设 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? n ? 20 , 有 bn ?1 ? bn ? n ? 20 ,且 b1 ? 1 ???5 分 即 bn ? b1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? 2n(n ? 1) . 于是

?
i ?1

n ?1

(bi ?1 ? bi ) ?

? (i ? 20) ,
i ?1

n ?1

(n ? 1)(n ? 40) (※) ???????10 分 ? 1. 2 又 a1 ? p , a2 ? p ? 1 ,则 a3 ? 2a 2 ? a1 ? 1 ? 20 ? p ? 17 ? a1 ? a 2 .
∴ bn ? ∴当 a n 的值最小时,应有 n ? 3 , a n ? a n ?1 ,且 a n ? a n ?1 . 即 bn ? a n ?1 ? a n ? 0 , bn ?1 ? a n ? a n ?1 ? 0 . ???????? 15 分

?n ? 40 ? (n ? 1)(n ? 40) ? 2 * 由(※)式,得 ? 由于 n ? 3 ,且 n ? N ,解得 ? , ?n ? 40 ?(n ? 2)(n ? 41) ? ?2 ∴当 n ? 40 时, a 40 的值最小. ????????????????? 20 分

2. (2006 陕西赛区预赛)(20 分)已知 sin(2? ? ? ) ? 3sin ? ,设 tan ? ? x, tan ? ? y ,记 y ? f ( x) . (1)求 f ( x) 的表达式;

f ( x) ?

x 1 ? 2x 2

(2)定义正数数列 {an }; a1 ?

1 2 2 n?2 . , an?1 ? 2an ? f (an )(n ? N * ) 。试求数列 {an } 的通项公式。 a n ? n ?1 2 ?1 2

3. (2006 安徽初赛)已知数列 ?an ? ? n ? 0 ? 满足 a0 ? 0 ,对于所有 n ? N? ,有 an ?1 ? 2 30an ? an ? 1? ? 11an ? 5 ,求 an 的通项 公式. 4. (2006 吉林预赛) 设{an}为一个实数数列, 1=t, n+1=4an(1-an)。 a a 求有多少个不同的实数 t 使得 a2006=0.
*

( 22004+1)

5. (2006 年南昌市)将等差数列{ a n }: an ? 4n ? 1 (n ? N ) 中所有能被 3 或 5 整除的数删去后,剩下的数自小到大排成 一个数列{ bn },求 b2006 的值. 解:由于 a n ?15 ? a n ? 60 ,故若 a n 是 3 或 5 的倍数,当且仅当 a n ?15 是 3 或 5 的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为 60 的区间段:(0,+?)=(0,60)∪(60,120)∪(120,180)∪?, 注意第一个区间段中含有{ a n }的项 15 个,即 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{ bn }的项 8 个, 为: b1 ? 7 , b2 ? 11 , b3 ? 19 ,

b4 ? 23 , b5 ? 31 , b6 ? 43 , b7 ? 47 , b8 ? 59 , 于是每个区间段中恰有 15 个{ a n }的项,8 个{ bn }的项,
且有 b8k ? r ? br ? 60 k ,k∈N,1≤r≤8. 由于 2006=8×250+6,而 b6 ? 43 所以 b2006 ? 60 ? 250 ? b6 ? 60 ? 250 ? 43 ? 15043 . , 6. (2004 湖南)设数列 {a n } 满足条件: a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n (n ? 1, 2, 3, ? ) 求证:对于任何正整数 n,都有
n

a n ?1 ? 1 ?

1
n

an

证明:令 a0 ? 1 ,则有 a k ?1 ? a k ? a k ?1 ,且

1?

ak a ? k ?1 (k ? 1, 2, ?) , 于是 n ? a k ?1 a k ?1

?a
k ?1

n

ak
k ?1

?

?a
k ?1

n

a k ?1
k ?1

由算

术-几何平均值不等式,可得 1 ? n

a a a a a1 a 2 ? ? ? ? n + n 0 ? 1 ? ? ? n ?1 a 2 a3 a n ?1 a 2 a3 a n ?1

注意到

a 0 ? a1 ? 1 ,可知 1 ?

1
n

a n ?1

?
n

1 a n a n ?1

,即

n

a n ?1 ? 1 ?

1
n

an

? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? 2 ? 7. (2006 年上海) 数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? an ?1 ?

30 ,求正整数 n. 19 解:由题设易知, an ? 0, n ?1, 2, ? .又由 a1 ? 1 ,可得,当 n 为偶数时, an ? 1 ;当 n (? 1) 是奇数时, 1 an ? ?1. ??????(4 分) an ?1 30 11 30 n 由 an ? ? 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n ? ? 1 ? ? 1 ,所以, 是奇数. 19 19 2 19 2 19 19 8 n n?2 ? 1 , ? 1 是偶数, a n ? 2 ? ? 1 ? ? 1 , 于是依次可得: a n ? 是奇数, ?1 11 11 11 2 4 2 4 11 11 3 n?6 n?6 an?2 ? ? 1 , ?1 ? ? 1 , 是偶数, a n ?6 ? 是奇数, ?1 8 8 8 4 8 4 8
已知 an ?

a n ?6 ?

8 8 5 n ? 14 n ? 14 是偶数, a n ?14 ? ? 1 ? ? 1 , 是偶数, ? 1, ?1 3 3 3 8 16 8 16 5 2 n ? 14 是奇数, ?????(9 分) a n ?14 ? ? 1 ? ? 1 , 3 3 32 32 3 3 1 n ? 46 n ? 46 是偶数, a n ? 46 ? ? 1 ? ? 1 , 是奇数, a n ?14 ? ? 1 , ?1 2 2 2 32 64 32 64 n ? 110 是偶数, an?110 ? 2 ? 1 ? 1 , an?46 ? 2 ? 1 , ?1 64 64 128 n ? 110 所以, ?????? (14 分) ? 1 ,解得,n=238. 128
2 7 a n ? 45 a n ? 36

13.(2005 全国)数列 {a n } 满足: a 0 ? 1, a n ?1 ?

, n ? N. 2 证明: (1)对任意 n ? N , a n 为正整数;(2)对任意 n ? N , a n a n ?1 ? 1 为完全平方数。
证明: (1)由题设得 a1 ? 5, 且 {a n } 严格单调递增.将条件式变形得
2 2 2 2a n ?1 ? 7 a n ? 45 a n ? 36 , 两边平方整理得 a n ?1 ? 7a n a n ?1 ? a n ? 9 ? 0



? a ? 7a n?1 a n ? a
2 n

2 n ?1

?9 ? 0



①-②得 (an ?1 ? an ?1 )(an ?1 ? an ?1 ? 7an ) ? 0,? an ?1 ? an ,? an ?1 ? an ?1 ? 7an ? 0 ?

a n ?1 ? 7a n ? ab ?1 . ③
由③式及 a0 ? 1, a1 ? 5 可知,对任意 n ? N , a n 为正整数.??????????10 分 (2)将①两边配方,得 (a n ?1 ? a n ) 2 ? 9(a n a n ?1 ? 1),? a n a n ?1 ? 1 ? ( 由③ an ?1 ? an ? 9an ? (an ?1 ? an ) ≡ ?(an ? an ?1 ) ? mod 3? ∴ an ?1 ? an ≡ ( ?1)
n

a n ?1 a n 2 ) .④ 3

? a1 ? a0 ? ≡0(mod3)∴

④式成立.? a n a n ?1 ? 1 是完全平方数.??????????????20 分

an ?1 ? an 为正整数 3


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