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【同步备课】高中数学(北师大版)必修一课件:3.5.3对数函数的图像和性质


5.3

对数函数的图像和性质

1.掌握对数函数的图像与性质.(重点) 2.会应用对数函数的图像与性质解决一些简单问题.(难 点)

3.体会数形结合思想在研究函数问题中的应用。

1.对数函数的概念: 我们把 y = loga x(a > 0且a

1) 叫作对数函数

, 其中

定义域是 ? 0, ??? ,值域是R,
2.指数函数 y = 互为反函数。

a 叫作对数函数的底数.

ax 和对数函数 y ? log a x(a ? 0, a ? 1)

函数y=log2x的图像
y 性质: (1)定义域是 (0, ??)
11 42

2
1
O

(2)值域是 R 1 2

3

4

x

-1 -2

(3)图像过特殊点 (1,0)
(4)在其定义域上是 增函数

对数函数y=log0.5x的图像
y 2 性质:

1
O

(1)定义域是(0, ??)
11 42

1

2

3

4

x

(2)值域是 R (3)图像过特殊点(1, 0) (4)在其定义域上是减 函数

-1 -2

对数函数y=logax (a>0,且a≠1) 的图像与性质

a>1

0<a<1

图 像

定义域 :

( 0,+∞)

值 域 :

R
在(0,+∞)上是 减函数
当x>1时, y<0 当x=1时, y=0 当0<x<1时, y>0

性 质

过定点 (1 ,0), 即当x =1时,y=0

在(0,+∞)上是增函数
当x>1时, y>0 当x=1时, y=0 当0<x<1时, y<0

底数变化对对数函数图像的影响: (1)底数大于 1 时,对数函数在其定义域上是增函数; 底数大于 0 且小于 1 时,对数函数在其定义域上是减函数;
(2)上下比较:在直线 x ? 1 右侧, a ? 1 时, a 越大 图像越靠近 x 轴, 0 ? a ? 1 时, a 越小,图像越靠近 x 轴;
(3)左右比较:作图像与 y ? 1 的交点,交点的横坐标越大, 对应函数的底数越大.

例1.

求下列函数的定义域:
(2)y=㏒a(4-x)
对数式有意义:底 数大于0且不等于1, 真数大于0.

(1)y=㏒ax2

解析:(1)因为x2>0,即x≠0,

所以函数y=㏒ax2的定义域为{x|x≠0 }; (2)因为4-x>0,即x<4, 所以函数y=㏒a(4-x)的定义域为{x| x<4}.

例2.比较下列各题中两个数的大小 (1) log 2 5.3,log 2 4.7 (2) log 0.2 7,log 0.2 9 (3) log3 p ,logp 3

(4) log a 3.1,log a 5.2(a > 0, a

1)

解: (1)因为2>1,函数y=log2x是增函数,5.3>4.7,所以

log 2 5.3 > log 2 4.7
(2)因为0<0.2<1, 函数y=log0.2x是减函数,7<9,
所以log0.27>log0.29

(3)因为函数y=log3x是增函数, p > 3,所以

log3 p > log3 3 = 1,同理1 = log p p > log p 3 ,
所以 log p > log 3 3 p (4)当a>1时,函数y=logax在 (0, + 此时 log 3.1 < log 5.2; a a 当0<a<1时,函数y=logax在 (0, + 此时 log a 3.1 > log a 5.2 .
) 上是减函数,
) 上是增函数,

提升总结:
利用对数函数的性质比较大小: 当底数相同真数不同时,直接利用单调性即得结果;

当底数不同真数相同时,可以根据对数函数图像与底
数反映出来的规律比较大小; 当真数与底数都不同时,常引入第三个数1或0, 间接比较两个对数的大小.

变式练习:
比较下列各组中两个值的大小: (1) log 5 9.4, log 5 8.5 (2) log 0.6 3.8, log 0.6 2.7 (3) log 2 5, log 3 5

(1)函数 y ? log 5 x 在其定义域内是增函数, 且 9.4 ? 8.5 所以 log 5 9.4 ? log 5 8.5

(2)函数 y ? log 0.6 x 在其定义域内是减函数, 且 3.8 ? 2.7 所以

log 0.6 3.8 ? log 0.6 2.7.

(3)根据 y ? log 2 x与y ? log 3 x 的图像的位置关系 可得 log 2 5 ? log 3 5

例3

观察在同一坐标系内函数y=log2x(x∈(0,+∞))与

函数y=2x(x∈R)的图像,分析它们之间的关系.
y Q(b,a) P(a,b) o
(0,1) 0 y

y=x
Q(b,a)

y=2x y=x y=log2x P(a,b) (1,0) x

x

(1 )

(2 )



从图(1)上可以看出,点P(a,b)与点Q(b,a)关于直

线y=x对称.函数y=log2x与函数y=2x互为反函数,对应于函数 y=log2x图像上的任意一点P(a,b),P点关于直线y=x的对称 点Q(b,a)总在函数y=2x图像上,所以,函数y=log2x的图像与

函数y=2x的图像关于直线y=x对称(如图(2)).

例4 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。在考古工作
中,常用14C的含量来确定有机物的年代,已知放射性物质 的衰减服从指数规律: C(t)=C0e–r
t



其中t表示衰减的时间,C0 表示放射性物质的原始质量,

C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量。为计算衰减的年代,
通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰 期,14C的半衰期大约是5 730年,由此可确定系数r。人们又 知道,放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的。

1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi 王朝字样的木炭,当 时测定,其14C分子的衰减速度为4.09个/(g·min), 而新砍伐烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min),请 估算出Hammurbi王朝所在年代。

解:因为14C的半衰期大约是5 730年,所以建立方程 1/2=e-5730r 解得r=0.000 121,由此可知14C的衰减规律服从指数型 函数 C(t)=C0e-0.000 121t 设发现Hammurbi 王朝木炭时(公元1950年),该 木炭已衰减了t0年,因为放射性物质的衰减速度是与

其质量成正比的,所以
C(t0)/C0=4.09/6.68

于是 e?0.000 121t =4.09/6.68
0

两边取自然对数,得 -0.000 121t0 =㏑4.09-㏑6.68, 解得t0≈4 054(年) 即Hammurbi王朝大约存在于公元前2 100年.

1 1 ( ,+ ) 2 1.函数 y = log 3 的定义域为__________. 2x - 1

2.函数 y =

log 1 x 的定义域为_______ (0,1] 。 2

3.比较下列各题中两个数的大小

(1) lg 6, lg 8
答案: lg 6 < lg8

(2)loga 2.5,loga 3.8(a > 0, a
答案: a > 1
0< a< 1

1)

loga 2.5 < loga 3.8
loga 2.5 > loga 3.8

4.(2012·汗中高一检测)若函数 f (x) ? 定义域为

x ? 1 ,则函数 y ? f (log 2 x) 的

(2, ??)

解析:由 log 2 x ? 1 可得 x ? 2 .故定义域为 (2, ?? ) .

1.对数函数的图像和性质. 2.函数y=f(x)与它的反函数的图像关于直线y=x对称.

在学业的峰峦上,有汗水的溪流飞淌;在 智慧的珍珠里,有勤奋的心血闪光。


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