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【师说】2015高考雄关漫道新课标数学(文)全程复习构想练习:选修4-5-3 几个重要不等式 Word版含解析


一、选择题 1.a、b 为非零实数,a+b=1,x1,x2∈R+,M=(ax1+bx2)(bx1+ax2),N =x1x2,则 M 和 N 的关系( ) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M<N 答案:A 2.已知 a、b∈R+,且 a+b=1,则 4a+1+ 4b+1的最大值是( ) A.2 6 B.2 3 C. 6 D.12 答案:B 3.已知 x,y 为实数,且满足

3x2+2y2≤6,则 2x+y 的最大值为( ) A.6 B. 6 C.11 D. 11 答案:D 4.已知 x+y+z=1,则 μ=2x2+3y2+z2 的最小值为( ) 6 A.1 B.6 C.11 D.11 答案:D 5.设 a1、a2、?、an 都是正数,b1、b2、?、bn 是 a1、a2、?、an 的任一排 -1 -1 1 列,则 a1b1 +a2b- ) 2 +?+anbn 的最小值是( 2 A.1 B.n C.n D.无法确定 答案:B 6. 设 a、 b、 c 为正数, 且 a+2b+3c=13, 则 3a+ 2b+ c的最大值为( ) 169 13 13 3 A. 3 B. 3 C. 3 D. 13 答案:C 二、填空题 7.若 a 1-b2+b 1-a2=1,则 a2+b2=________. 答案:1 8.若不等式|a-1|≥x+2y+2z,对满足 x2+y2+z2=1 的一切实数 x、y、z 恒成立,则实数 a 的取值范围是__________. 答案:a≥4 或 a≤-2 a2 a2 1 2 9.设 a1,a2,?,a2011 都为正数,且 a1+a2+?+a2011=1,则 + 2+a1 2+a2 a2 2011 +?+ 的最小值是__________. 2+a2011 1 答案:4023 三、解答题 10.求函数 y= 1-x+ 4+2x的最大值. 解析:因为 y2=( 1-x+ 2· 2+x)2≤[12+( 2)2][1-x+2+x]=3×3,∴ 1 2 y≤3,当且仅当 = 时取“=”号,即当 x=0 时,ymax=3. 1-x 2+x
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11. 已知实数 x、 y、 z 满足 x2+4y2+9z2=a(a>0), 且 x+y+z 的最大值是 1, 求 a 的值. 解析:由柯西不等式知: 1 ? ?1? ?1? ? ? 1 ? [x2+(2y)2+(3z)2]?12+?2?2+?3?2?≥?x+2×2y+3×3z?2(当且仅当 x=4y=9z ? ? ? ? ?? ? ? 时取等号). 因为 x2+4y2+9z2=a(a>0), 49 所以36a≥(x+y+z) 2, 7 a 7 a 即- 6 ≤x+y+z≤ 6 . 因为 x+y+z 的最大值是 1, 7 a 36 所以 6 =1,a=49, 36 9 4 所以当 x=49,y=49,z=49时,x+y+z 取最大值 1, 36 所以 a 的值为49. 1 1 12.已知 a,b,c 为实数,且 a+b+c=2m-2,a2+4b2+9c2=1-m. ?a+b+c?2 1 1 (1)求证:a2+4b2+9c2≥ ; 14 (2)求实数 m 的取值范围. 解析: ?1 ? ?1 ? (1)证明:由柯西不等式得:[a2+?2b?2+?3c?2](12+22+32)≥(a+b+c)2, ? ? ? ? 1 1 ? ? 即?a2+4b2+9c2?· 14≥(a+b+c)2, ? ? 2 1 2 ?a+b+c? 2 1 2 所以 a +4b +9c ≥ , 14 1 1 当且仅当|a|=4|b|=9|c|时,取等号. (2)由已知得(a+b+c)2=(2m-2)2,结合(1)的结论可得: 14(1-m)≥(2m-2)2,即 2m2+3m-5≤0, 5 所以-2≤m≤1, 1 1 5 又 a2+4b2+9c2=1-m≥0,所以 m≤1,故 m 的取值范围为-2≤m≤1.

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