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高中数学1-3-1函数的单调性与导数(2)课件


一、复习回顾:基本初等函数的导数公式 (1).常函数:(C)/ ? 0, (c为常数); (2).幂函数 : (xn)/ ? nxn?1 (3).三角函数 : (cos x)? ? ? sin x ( 1) (sin x)? ? cos x (2) 1 (log a x)? ? . x ln a (4).对数函数的导数: 1 (1) (ln x )? ? . (2) x (5).指数函数的导数: x ? (1) (e ) ? e . x x x ? (2) (a ) ? a ln a(a ? 0, a ? 1). 1、求可导函数f(x)单调区间的步骤: (1)求定义域,求f’(x) (2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0) (3)确认并指出递增区间(或递减区间) 2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法: (1)求f’(x) (2)确认f’(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论 问题探究 在区间 (a , b) 内,若 f′(x) > 0 ,则 f(x) 在此区间 上单调递增,反之也成立吗? 提示:不一定成立.比如y=x3在R上为增函数, 但其在0处的导数等于零.也就是说“f′(x)>0” 是“y=f(x)在某个区间上递增”的充分不必要 条件. 课堂互动讲练 考点突破 判断函数的单调性 关于函数单调性的证明问题: (1)首先考虑函数的定义域,所有函数性质的 研究必须保证在定义域内这个前提下进行; (2)f′(x)>(或<)0,则f(x)为单调递增(或递减) 函数.但要特别注意,f(x)为单调递增(或递 减)函数,则f′(x)≥(或≤)0. 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y ? f ( x) 在 (0, b) 或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在 (b,??) 或 (??, a) 内的图象平缓. 练习 2.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示, 试画出导函数 f ?( x)图象 的大致形状 练习 3.讨论二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的单调区间. 解: ? f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ? f ?( x) ? 2ax ? b. 2 (1) a ? 0 b 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ? , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 (? ,??); 相应地, 函数的递减区间是 (??,? ) 2a 2a (2) a ? 0 b 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ? , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( ??,? ) ; 相应地, 函数的递减区间是 (? ,??) 2a 2a :4、函数f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c , 其中a , b, c为常数, 3 2 当a ? 3b ? 0时,f ( x )在R上( A ) 2 ( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数 一、求参数的取值范围 例1:求参数的范围 若函数f(x)? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上单调递增, 3 2 求a的取值范围 1 a? 3 注:已知函数单调性求参数范围 由函数的单调性求参数的取值范围,这类问 题一般已知f(

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