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波的折射与反射


波的折射与反射 在电力系统中,我们常常会遇到下列情况:线路末端与另一不同波阻抗的线 路相连,如一架空线与一电缆线相连接;线路末端接有集中参数阻抗(如电阻、 电容、电感或者它们的组合)等。在这些情况下,当线路上有行波传播且到达两 个不同波阻抗的连接点或者到达接有集中参数的接点时, 将会发生什么情况呢? 这就是本节要讨论的主要问题, 下面以两条不同波阻抗线路相连接的情况为例子 来讨论

。 2.2.1 行波的折、反射规律 若具有不同波阻抗的两条线路相连接,如图 2-5,连接点为 A0 。现将线路 z1 合闸于支流电源 U 0 ,合闸之后沿线路 z1 有一与电源电压相同的前行电压波

u1q (u1q ? U 0) 自电源向结点 A 传播,到达结点 A 遇到波阻为 z2 的线路,根据前一
节所述,在结点 A 前后都必须保持单位长度导线的电场能与磁场能都相等的规 律, 但是由于线路 z1 与 z2 的单位长度电感与对地电容都不相同, 因此当 u1q 到达 A 点时必然要发生电压、电流的变化,也就是说,在结点 A 处要发生行波的折射与 反射,反射电压波 u1 f 自结点 A 处要发生行波的折射与反射,反射电压波 u1 f 自结 点 A 沿线路 z1 返回传播,折射电压波则自结点 A 沿线路 z2 继续向前传播。显然, 此折射电压波也就是线路 z2 上的前行电压波,以 u2q 表示。通过下面的分析,可 以求得反射电压波 u1 f 和折射电压波 u2q 。

图 2-5

行波在结点 A 的折射与反射

假设折射电压波 u2q 尚未到达线路 z2 的末端,即线路 z2 上尚未出现反行电压

波,一般的说法是 u2q 虽然已经到达 z2 的末端,线路 z2 上已经出现反行电压波, 但此反行电压尚未到达结点 A 。 对于线路 z1 :

u1 ? u1q ? u1 f ; i1 ? i1q ? i1 f u1q ? z1 ? i1q ; u1 f ? ?z1 ? i1 f
对于线路 z2 ,因 z2 上的反行电压波 u2 f ? 0 ,故

u2 ? u2q i2 ? i2q u2q ? z2i2q (也即 u2 ? z2i2 )
在结点 A 处只能有一个电压和电流值,故

u1 ? u2 ; i1 ? i2
于是得

u1q ? u1 f ? u2q
(2-13)

i1q ? i1 f ? i2q
将(2-14)化为下式

(2-14)

u1q z1


?

u1 f z1

?

u2 q z2
u1q ? u1 f ? z1 u2 q z2

(2-15) 将式(2-13)与(2-15)相加,得
2u1q ? (1 ? z1 )u2 q z2 u2 q ? 2 z2 u 1 ? ? u u q1 q z1 ? z2



(2-16)

i2q ?

u2q z2

?

2z 2 u1q ? 1 ?i1q ? i i1 q ? z1? z2 z1 z2 ?

(2-17)

将 u2q 代入式(2-13)可得
u1 f ? u2 q ? u1q ? 2 z2 z ?z u1q ? u1q ? 2 1 u1q ? ?u u1q z1 ? z2 z1 ? z2

(2-18)

i1 f ? ?
(2-19) 式中 au ?

u1 f z1

??

z2 ? z1 z ?z ? u1q ? 1 2 i1q ? ?i i1q z1 ( z1 ? z2 ) z1 ? z2

2 z2 表示线路 z2 上的折射电压波 u2q 与入射电压波 u1q 的比值,称 z1 ? z2 2 z1 z ?z 称为电流折射系数。 ?u ? 2 1 表示线路 z1 z1 ? z2 z1 ? z2 z1 ? z2 称为电 z1 ? z2

为电压折射系数,同理, ai ?

上的反射电压波 u1 f 与 u1q 的比值,称为电压反射系数,同理, ?i ? 流反射系数。

折射系数的值永远是正确的,这说明折射电压波 u2q 总是和入射电压波 u1q 同 极性的,当 z2 ? 0 时, au ? 0 :当 z2 ? ? 时, au ? 2 ,因此 0 ? au ? 2 。反射系数 可正可负,当 z2 ? 0 时候, ?u ? ?1 时,当 z2 ? ? 时, ?u ? 1 ,因此 ?1 ? ?u ? 1。 同理可知, 0 ? ai ? 2 , ?1 ? ?i ? 1。折射系数 ? 与反射系数 ? 满足下列关系式

? ? 1? ?
下面举几个简单的例子。

(2-20)

[例 2-1]线路 z1 末端开路, 沿线路 z1 有一无限长直角波 u1q 向前传播, 线路 z1 末 端开路, 相当于末端接有一条 z2 ? ? 的线路, 因此根据式 (2-16) 、 (2-17) 、 (2-18) 和(2-19) ,可得

u1 f ? u1q , u2q ? u2 ? 2u1q

u1 f ? ?i1q , i2q ? i2 ? 0


?u ? 2, ?u ? 1
?i ? 0, ?i ? ?1
这表明当 u1q 到达末端时将发生折反射, 反射电压波等于入射电压波, 折射电 压波即末端电压将上升一倍,末端电流为零,反射电压波将自末端返回传播,所 到之处使电压上升一倍, 电流降为零值。反射电压波到达处的全部磁场能量将转 变为电场能量,从而使电压上升一倍。 2.2.2 几种特殊条件下的折反射波 1.线路末端开路( Z 2 ? ? ) 此时,? =2,? =1。线路末端电压 u2q ? 2u1q ,反射波电压 u1 f ? u1q ;线 路末端电流 i2q=0,反射波电流 i1 f ? ?

u1 f Z1

??

u1q Z1

? ?i1q ,如图 2-6 所示。这一结

果表明, 由于线路末端发生电压波正的全反射和电流波负的全反射,线路末端的 电压上升到入射电压的两倍; 随着反射波的逆向传播, 所到之处线路电压也加倍, 而由于电流波负的全反射,线路的电流下降到零。

u1f=U0 u1q=U0 i1q ? U 0
Z1 U0 Z1 i 1 f ??

Z1 Z1

A

A

图 2-6 线路末端开路时的折反射 线路开路末端处电压加倍、 电流变零的现象也可以从能量关系来理解:因为
2 Z 2 ? ? , P ? u2q Z 2 ? 0 ,全部能量均反射回去,反射波返回后单位长度的总能

量为入射波能量的两倍。 又由于入射波的电场能量与磁场能量相等,因此反射波
1 1 ?1 ? 返回后单位长度线路储存的总能量为 W ? 2 ? ? C0 u12q ? L0 i12q ? ? 2 ? 2 ? C0 u12q 。 2 2 ?2 ?

因为反射波到达后线路电流为零,故磁场能量为零,全部磁场能量转化为电场能 量,因此电场能量增加到原来的 4 倍,即电压增大到原来的 2 倍。 过电压波在开路末端的加倍升高对绝缘是很危险的, 在考虑过电压防护措施 时对此应给予充分的注意。 2.末端短路 此时,? =0,? =-1。线路末端电压 u 2 q ? 0 ,反射波电压 u1 f ? ?u1q ;线路 末端反射波电流 i1 f ? ?

u1 f Z1

?

u1q Z1

? i1q ,如图 2-7 所示。这一结果表明,入射波 u1q

到达末端后,发生了负的全反射,负反射的结果使线路末端电压下降为零,并逐 步向首端发展; 电流波 i1q 发生了正的全反射, 线路末端的电流 i2q ? i1q ? i1 f ? 2i1q , 即电流上升到原来的 2 倍,且逐步向首端发展。

Z1 u1f =U0 i1f ?

u1q=U0

A

U0 Z1 U i 1q ? 0 Z1

Z1

A

图 2-7 线路末端短路时的折反射 线路末端短路时电流的增大也可以从能量的角度加以解释,显然这是电磁能 从末端返回而且全部转化为磁能的结果。 3.末端接有电阻 R ? Z1 此时,?=1,?=0。线路末端电压 u 2q ? u1q ,反射波电压 u1 f ? 0 ;线路末端 反射波电流为零,如图 2-8 所示。这一结果表明,入射波到达与线路波阻抗相同 的负载时,没有发生反射现象,相当于线路末端接于另一波阻抗相同的线路

( Z 2 ? Z1 ) ,也就是均匀线路的延伸。在高压测量中,常在电缆末端接上和电缆 波阻相等的匹配电阻来消除在电缆末端折、反射所引起的测量误差。但从能量的 角度看,两者是不同的。当末端接电阻 R ? Z1 时,传播到末端的电磁能全部消耗 在电阻 R 中;而当末端接相同波阻抗的线路时,该线路上并不消耗能量。

u 1q ? U 0

i 1q ? A
R ? Z1

U0 Z1
R ? Z1

Z1

Z1

A

图 2-8 末端接有电阻 R=Z1 时的折反射 【例 2-2】直流电源合闸于空载线路的波过程。如图 2-9 所示,线路长度为 l,t =0 时合闸于电压为 U0 的直流电源,求线路末端 B 点和线路中点 C 点电压随时 间的变化。 解 合闸后,从 t=0 开始,电源电压 U0 自线路首端 A 点向线路末端 B 点传 播,传播速度为 v ? 1 路波阻抗为 Z。 当 0< t < ? 时 , 线 路 上 只 有 前 行 的 电 压 波 u1q ? U 0 和 前 行 的 电 流 波

L0 C0 ,自 A 点传播到 B 点的时间设为? , ? ? l v ,设线

i1q ? U 0 Z 。如图 2-9 ( a )所示。
当 t =? 时, 波到达开路的末端 B 点, 电压波和电流波分别发生正全反射和 负全反射, 形成反行的电压波 u1 f ? U 0 和电流波 i1 f ? ? U 0 Z 。 此反射波将于 t = 2? 时到达 A 点。当? ≤ t <2? 时,线路上各点电压由 u1q 和 u1 f 叠加而成,电流 由 i1q 和 i1f 叠加而成。如图 2-9 ( b )所示。 当 t =2? 时, 反行波 u1 f 到达线路的首端 A 点, 迫使 A 点的电压上升为 2U0 。 但由电源边界条件所决定的 A 点电压又必须为 U0 。 因此反行波 u1 f 到达 A 点的 结果是使电源发出另一个幅值为一 U0 的前行波电压来保持 A 点的电压为 U0, 即 在 t =2? 之后, 有一新的前行电压波 u2q ? ?U 0 自 A 点向 B 点行进,同时产生 新的前行电流波 i2q ? ?U 0 Z 。 2?≤ t <3? 时, 在 线路上各点的电压由 u1q、 1 f 和 u

u2q 叠加而成, 线路上各点的电流由 i1q、1f 和 i2q 叠加而成, i 如图 2-9 ( c ) 所 示。
A U0
电压波 电流波

C
l

B

A

u1q ? U 0
x

i1q ?

B
(a)

A 0?t ? l v

U0 Z

x

B

u1 f ? U 0

A

u1q

B
(b)

u1f
A

A U i1 f ? ? 0 Z l 2l ?t ? v v A
i1q

i1q

B

u1q u 2 q ? ?U 0 u1f

B
(c)

i1 f

B

2l 3l ?t ? v v i2 f ?

U i2 q ? ? 0 Z U0 Z i1 f i2 q

A
u 2 f ? ?U 0

u1q u2 q

B
A
(d)

i1q

B

3l 4l ?t? v v

图 2-9 直流电源作用于末端开路的空载线路的波过程 当 t =3? 时,新的前行波到达 B 点,电压波和电流波分别发生正全反射和 负全反射,形成新的反行电压波 u 2 f ? ?U 0 和电流波 i2 f ? U 0 Z 。此反射波将于 t =4? 时到达 A 点。 3? ≤ t <4? 时, 当 线路上各点电压由 u1q 、 1f 、 2q 和 u2f 叠 u u 加而成,电流由 i1q 、i1f 、i2q 和 i2f 叠加而成。如图 2-9 ( d )所示。 当 t =4? 时,反行波 u2f 到达线路的首端 A 点,迫使 A 点的电压下降为 0。 但由电源边界条件所决定的 A 点电压又必须为 U0 。因此反行波 u2f 到达 A 点的 结果是使电源发出另一个幅值为 U0 的前行波电压来保持 A 点的电压为 U0 ,从 而开始重复图 2-9 ( a )所示的新的波过程。

uB

uC

0 ? 2? 3? 4? 5? 6? 7? t

0

?

2?

3?

4?

5?

6?

7? t

图 2-10 空载线路末端和中点电压波形 如此反复往返传播,根据所有前行反行波叠加的结果,可以得到如图 2-10 所示线路末端 B 点电压和中间点 C 点的电压随时间变化的曲线。 【例 2-3】空载带电线路合闸于末端匹配的电阻。如图 2-11 所示,长度为 l、波 阻抗为 Z 的线路预先充电到电压 U0 ,t = 0 时合闸于阻值为 R 的电阻,求电阻 两端电压降随时间的变化。 解 可以用波过程观点进行求解。波在线路上的传播速度为 v ? 1

L0 C0 。在

带电的空载线路上,可以看成存在两个带有相同电压、波长度为? =l / v、传播 方向相反的波;由于传播方向相反,因此线路上不存在电流。设两个电压波为 u1q 和 u1f ,则 u1q ? u1 f ? U 0 2 ,如图 2-11 ( a )所示。 t =0 时, 1q 到达 B 点, u 由于 R ? Z , B 点处不发生反射, R ? u1q ? U 0 2 。 故 u 同时,u1 f 到达 A 点,由于线路在 A 点开路,故电压波发生正的全反射,形成反 射波 u2 f , 2 f 将在 t =? 时到达 B 点, u 其尾部到达 A 点。 因此, 0≤ t <? 时, 当 电阻上的压降由 u1q 导致,其值为 U 0 2 ;线路上的电压由 u1q 、u1 f 和 u2 f 叠加 而成,如图 2-11( b ) 所示。 当 t =? 时,u1q 的尾部到达 B 点,u1q 对 R 的作用结束;u1f 的尾部到达 A 点 , 线 路 上 不 再 存 在 u1
f

; u2

f

到达 B 点,同样在 B 点不发生反射,

当 u 因此, ? ≤ t <2? 时, 当 u R ? u2 f ? U 0 2 。 t =2? 时, 2 f 的尾部到达 B 点。 电阻上的压降由 u2 f 决定, 仍为 U 0 2 ; 线路上的电压由 u2 f 形成, 如图 2-11 c ) ( 所示。 当 t =2? 时,u2 f 的尾部到达 B 点,u2 f 对 R 的作用结束。uR 随时间的变 化如图 2-12 所示,为一幅值为 U 0 2 ,宽度为 2? 的矩形波。 根据这一原理,可以用电缆做成星形线产生设定脉宽的方波,在脉冲功率系 统中有广泛的应用。

l
A

B A

Z

U1 f U 1q

U0 R?Z

B

R (a)

U2 f
A

U1 f U 1q vt vt

B

A

U2f

B

R
(b) 0 ? t ? ?

v(t ? ? )

R
(c) ? ? t ? 2?

图 2-11 带电线路合闸于末端接匹配电阻的波过程

UR U0 2
0

?

2?

t

图 2-12 空载带电线路合闸于电阻时的电阻电压波形 2.2.3 等值集中参数定理(彼得逊法则) 前面的内容从分布参数线路上波传播的角度, 分析了波的折射和反射的计算 问题。 将 i2 q ?

u 2q Z2

代入式(2-15) ,得

u1q Z1

?

u1 f Z1

? i2 q
(2-21)

联立求解方程式(2-13)和(2-21) ,消去 u1 f ,得到另一个表示入射电压和 电流间的关系式

2u1q ? u2q ? i2q Z1

(2-22)

不难看出,上式正好是图 2-13( b ) 所示集中参数电路的电路方程。由此

可以得到一条重要的法则, 要计算分布参数线路上节点的电压, 可以应用图 2-13 所示的等值电路:①线路波阻抗 Z1 用数值相等的集中参数电阻代替;②把线路 入射电压波的两倍 2 u1q 作为等值电压源。这就是计算折射波 u2q 的等值电路法 则,称之为彼得逊法则。
u1q

Z1

i2q ? Z2 (a)
?

A

? u2q
?

Z1

i2q
2u1q

A ?

Z2
?

u2q

(b)

图 2-13 电压源的集中参数等值电路(戴维南等值电路) 利用这一法则, 可以把分布参数电路中的波过程的许多问题,简化成我们所 熟悉的集中参数电路的计算。 必须注意的是,彼得逊法则的使用是有一定的条件 的。首先它要求波沿分布参数的线路射入;其次,和节点相连的线路必须是无穷 长的。如果节点 A 两端的线路为有限长的话,则以上等值电路只适用于线路端 部的反射波尚未到达节点 A 的时间内。 在实际计算中,常常遇到电流源的情况(如雷电流) 。此时采用电流源形式 的等值电路较为方便,如图 2-14 所示。

i1q

Z1

i2q ? u2 q Z2 (a)
?

A

.
2i1q

i2q

A ? Z2 u2 q

Z1
.

?

(b)
图 2-14 电流源的集中参数等值电路(诺顿等值电路)

【例 2-4】如图 2-15 (a ) 所示,变电所母线上接有 n 条线路,每条线路的波 阻抗均为 Z。当一条线路上落雷,电压 u( t )入侵变电所,求母线上的电压。 解 根据彼得逊法则,可得图 2-15( a )的等值计算电路,如图 2-15( b ) 所示。母线上的电压 u2( t ) 计算如下:

Z 2u (t ) u 2 (t ) ? 2u (t ) n ? 1 ? Z n Z? n ?1

u (t )
Z

Z

Z

u2 (t ) Z Z
Z

Z
Z

? n-1条出线

2u (t )

(a)

(b)
图 2-15 有多条出线时母线过电压的计算

可见,连接在母线上的线路越多,母线上的过电压越低,对变电所降低雷电 过电压有利。

?

n-1个


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