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3.三角函数、解三角形


第三章

三角函数、解三角形
两年高考真题演练

考点 10 三角函数的概念

5 1.(2015?福建)若 sin α =- ,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值等于( 13 12 A. 5 5 C. 12 12 B.- 5 5 D.- 12 )

)

2.(2015?四川)下列函数中,最小正周期为π 的奇函数是( π? ? A.y=sin?2x+ ? 2? ? C.y=sin 2x+cos 2x 3. π? ? B.y=cos?2x+ ? 2? ? D.y=sin x+cos x

(2014?新课标全国Ⅰ)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的 距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图象大致为( )

4.(2014?安徽)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时,f(x) =0,则 f? 1 A. 2 C.0

?23π ?=( ? ? 6 ?

) B. 3 2

1 D.- 2

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5. (2015?四川)已知 sin α +2cos α =0, 则 2sin α cos α -cos α 的值是________. 6.(2015?广东)已知 tan α =2. π? ? (1)求 tan?α + ?的值; 4? ? sin 2α (2)求 2 的值. sin α +sin α cos α -cos 2α -1

2

?π ? 7.(2015?浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 tan? +A?= ?4 ?
2. sin 2A (1)求 的值; 2 sin 2A+cos A π (2)若 B= ,a=3,求△ABC 的面积. 4

考点 10 三角函数的概念 一年模拟试题精练 1 a 1.(2015?济南一中高三期中)若点(4,a)在 y=x 的图象上,则 tan π 的值为( 2 6 A.0 B. 3 3 C.1 D. 3 )

2π 2.(2015?贵州调研)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点, 3 则 Q 点的坐标为( 3? ? 1 A.?- , ? ? 2 2? ) B.?-

? ?

3 1? ,- ? 2 2?

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3? ? 1 C.?- ,- ? 2? ? 2

D.?-

? ?

3 1? , ? 2 2?

10π 3.(2015?乐山市调研)若点 P 在- 角的终边上,且 P 的坐标为(-1,y),则 y 等 3 于( ) A.- 3 3 B. 3 3 C.- 3 D. 3 ) 3 2 )

4.(2015?山西省二诊)cos? 1 A. 2 B. 3 2

?2 014π ?的值为( ? ? 3 ?
D.-

1 C.- 2

3 ?π ? 5.(2015?厦门市质检)若 α ∈? ,π ?,sin(π -α )= ,则 tan α =( 5 ?2 ? 4 A.- 3 4 B. 3 3 C.- 4 3 D. 4

1 6.(2015?泗水二调)设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cos α = x, 5 则 tan α =( 4 A. 3 )

3 3 4 B. C.- D.- 4 4 3

7.(2015?湖北八校一联)下列函数中 ,对于任意 x∈R,同时满足条件 f(x)=f(-x) 和 f(x-π )=f(x)的函数是( )

A.f(x)=sin x B.f(x)=sin xcos x C.f(x)=cos x D.f(x)=cos x-sin x 8 . (2015? 南 充 市 第 一 次 适 应 性 考 试 ) 已 知 角 α sin α -cos α =( sin α +cos α 1 A.3 B. 3 ) D.-3 的 终 边 经 过 点 P(2 , - 1) , 则
2 2

1 C.- 3

π? 1 ? 3π 9.(2015?江西省质检三)已知 sin(α -π )=log8 ,且 α ∈?- ,- ?,则 tan(- 2 2? 4 ? α )的值为( 2 5 A.- 5 ) 2 5 B. 5 C.- 5 2 D. 5 2

?π ? 1 ?π ? 10.(2014?郑州预测)若 sin ? -α ?= ,则 cos? +α ?=________. ?3 ? 4 ?6 ?
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?π ? 11.(2015?黄冈中学检测)已知 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan α 的值是 ?2 ?
________. π? ? ?π ? 12.(2015?湛江市调研)已知函数 f(x)=2sin?2x+ ?+m,且 f? ?=6. 6? ? ?6? (1)求 m 的值; π? 28 ? π 5π ? ? (2)若 f(θ )= ,且 θ ∈? , ?,求 sin?4θ + ?的值. 3? 5 ? 6 12 ? ?

x x 1 2x 13.(2015?深圳五校一联)已知函数 f(x)=cos -sin cos - . 2 2 2 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; 3 2 (2)若 f(α )= ,求 sin 2α 的值. 10

考点 11 三角恒等变换 两年高考真题演练 1.(2015?新课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( A.- 3 2 B. 3 2 C.- 1 2 1 D. 2 ) )

1 1 2.(2015?重庆)若 tan α = ,tan(α +β )= ,则 tan β =( 3 2 1 A. 7 1 B. 6 C. 5 7 5 D 6

3π ? ? cos?α - ? 10 ? π ? 3.(2015?重庆)若 tan α =2tan ,则 =( 5 π? ? α - sin? 5? ? ? A.1 B.2 C.3 D.4

)

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4.(2015?浙江)函数 f(x)=sin x+sin xcos x+1 的最小正周期是________,最小值 是________.

2

?π ? 2x 5 .(2015?湖北 ) 函数 f(x) = 4cos cos ? -x? - 2sin x - |ln(x + 1)| 的零点个数为 2 ?2 ?
________. 6. (2014?新课标全国Ⅱ)函数 f(x)=sin(x+φ )-2sin φ cos x 的最大值为________. 7.(2015?安徽)已知函数 f(x)=(sin x+cos x) +cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期;
2

? π? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?

?π ? 2 8.(2015?重庆)已知函数 f(x)=sin? -x?sin x- 3cos x. ?2 ?
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;

?π 2π ? (2)讨论 f(x)在? , ?上的单调性. 3 ? ?6

π? ? 9.(2014?四川)已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; π? ?α ? 4 ? (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ?

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考点 11 三角恒等变换 一年模拟试题精练 3 ? π ? 1.(2015?北京东城区高三期末)已知 cos α = ,α ∈?- ,0?,则 sin 2α 的值为 4 ? 2 ? ( ) 3 A. 8 3 B.- 8 3 7 C. 8 3 7 D.- 8 5 2 2 ,则 sin α -cos α 的值为( 2 )

2.(2015?大庆市质检二)已知 sin α = 1 A.- 5 3 B.- 5 1 C. 5 3 D. 5

2 3.(2015?玉溪一中高三检测)已知 sin α = ,则 cos(π -2α )=( 3 A.- 5 3 1 B.- 9 1 C. 9 D. 5 3

)

3 ? 4 ? ?π ? 4.(2015?山东省实验中学二诊)已知 α ∈?π , π ?,cos α =- ,则 tan? -α ?等 2 5 ? ? ?4 ? 于( ) 1 A.7 B. 7 1 C.- 7 D.-7 )

?π ? 1 ?π ? 5.(2014?云南统考)若 sin? -α ?= ,则 cos? +2α ?=( ?3 ? 4 ?3 ?
7 A.- 8 1 B.- 4 1 C. 4 7 D. 8

6.(2015?成都市一诊)已知 cos? 24 12 A. B. 25 25 12 24 C.- D.- 25 25

?5π +α ?=3,-π <α <0,则 sin 2α 的值是( ? 5 2 ? 2 ?

)

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?π ? 3 7.(2015?绵阳市一诊)已知 cos? -x?= ,那么 sin 2x=( ?4 ? 5
18 24 7 A. B.± C.- 25 25 25 7 D. 25

)

8.(2015?山西省二诊)已知 α 为第三象限角,且 sin α +cos α =2m,sin 2α =m , 则 m 的值为( A. 3 3 ) B.- 3 3 1 2 C.- D.- 3 3

2

3π ? 1 ? 9.(2015?泰安市检测)已知 sin?α + ?= ,则 cos 2α =________. 2 ? 3 ? 10.(2015?南京市调研)函数 f(x)=cos x-sin x 的最小正周期为________. 11.(2015?乐山市调研)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0≤φ ≤π )为偶函数, 其图象上相邻的两个最高点间的距离为 2π . (1)求 f(x)的解析式; π? 1 ? ? 3π ? (2)若 α 为锐角,且 f?α + ?= ,求 sin? +α ?的值. 3? 3 ? ? 2 ?
2 2

考点 12 三角函数的图象和性质 两年高考真题演练 π? ? 1.(2015?山东)要得到函数 y=sin?4x- ?的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象 3? ? ( ) π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 12 12 π π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 2.(2015?新课标全国Ⅰ)
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函数 f(x)=cos(ω x+φ )的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( 1 3? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 3? ? 1 C.?k- ,k+ ?,k∈Z 4? ? 4 1 3? ? D.?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4 4? ?

)

3.(2014?安徽)若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图 象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是( π A. 8 π B. 4 3π C. 8 5π D. 4 )

π? ? 4.(2014?新课标全国Ⅰ)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?, 6? ? π? ? ④y=tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有函数为( 4? ? A.②④ B.①③④ C.①②③ D.①③ 5.(2015?陕西) )

?π ? 如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin? x+φ ?+k,据 ?6 ?
此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为________. 6.(2015?天津)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.若函数 f(x)在区间 (-ω ,ω )内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称,则 ω 的值为________. 7.(2015?湖南)已知 ω >0,在函数 y=2sin ω x 与 y=2cos ω x 的图象的交点中,距 离最短的两个交点的距离为 2 3,则 ω =________.

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1 2 8.(2015?重庆)已知函数 f(x)= sin 2x- 3cos x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍, 纵坐标不变, 得到函数 g(x) 的图象,当 x∈?

?π ,π ?时,求 g(x)的值域. ? ?2 ?

考点 12 三角函数的图象和性质 一年模拟试题精练 1.(2015?怀化市监测)函数 f(x)=1-2sin x 的最小正周期是( 1 A. 2 B.2 C.2π D.π )
2

)

2.(2015?泰安市检测)设 a=sin 31°,b=cos 58°,c=tan 32°,则( A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a

3.(2015?宝鸡市质检)设 x 是三角形的最小内角,则函数 y=sin x+cos x 的值域是 ( ) A.(0, 2] C.(1, 2] B.[- 2, 2] D.?1,

? ?

3+1? ? 2 ? )

4.(2015?绵阳市一诊)在(0,2π )内,使|sin x|≥cos x 成立的 x 的取值范围是(

?π 7π ? A.? , ? 4 ? ?4 ? 5π ? C.?0, ? 4 ? ?

?π 5π ? B.? , ? 4 ? ?4 ? π ? ?7π ? D.?0, ?∪? ,2π ? 4? ? 4 ? ?

π? ? 5.(2015?赤峰市统考)已知函数 y=sin(ω x+φ )?ω >0,0<φ ≤ ?,且此函数的图 2? ? 象如图所示,由点 P(ω ,φ )的坐标是( )

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? π? A.?2, ? 2? ? ? π? C.?4, ? 2? ?

? π? B.?2, ? 4? ? ? π? D.?4, ? 4? ?

6. (2015?黄冈市质检)已知函数 y=2015cos(ω x+φ )(ω >0, 0<φ <π ), 满足 f(- x)=-f(x), 其图象与直线 y=0 的某两个交点的横坐标分别为 x1, x2, |x1-x2|的最小值为π , 则( ) π A.ω =2,φ = 4 π C.ω =1,φ = 4 π B.ω =2,φ = 2 π D.ω =1,φ = 2

π ? π ? 7. (2015?四川省统考)点 P?- ,2?是函数 f(x)=sin(ω x+φ )+m(ω >0, |φ |< ) 2 ? 6 ? π 的图象的一个对称中心,且点 P 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ,则( 2 A.f(x)的最小正周期是π B.m 的值为 1 π C.f(x)的初相 φ 为 3 )

?4 ? D.f(x)在? π ,2π ?上单调递增 ?3 ? ?π ? 8.(2015?怀化市监测)函数 y=2sin? -2x?单调增区间为________. ?3 ?
π 9. (2015?烟台市检测)将函数 y=f(x)图象向上平移一个单位长度, 再向左平移 个单 4 位长度,则所得图象对应的函数 y=2cos x,则 f(x)=________. 1 10.(2015?武汉市调研)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 2 ?π ? (1)若 sin? +α ?= ,且 0<α <π ,求 f(α )的值; 4 2 ? ? (2)当 f(x)取得最小值时,求自变量 x 的集合.
2

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考点 13 解三角形 两年高考真题演练 1.(2015?广东)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 3,cos A= 3 ,且 b<c,则 b=( 2 A. 3 B.2 2 )

C.2 D. 3 )

1 2.(2014?新课标全国Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( 2 A.5 B. 5 C.2 D.1

2π 3.(2015?北京)在△ABC 中,a=3,b= 6,∠A= ,则∠B=________. 3 1 4.(2015?重庆)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2,cos C=- , 4 3sin A=2sin B,则 c=________. 5.(2015?湖北)

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如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西 偏北 30°的方向上, 行驶 600 m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75°的方向上, 仰角为 30°, 则此山的高度 CD=________m. 6. (2014?福建)在△ABC 中, A=60°, AC=4, BC=2 3, 则△ABC 的面积等于________. 7.(2015?天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积 1 为 3 15,b-c=2,cos A=- . 4 π? ? (1)求 a 和 sin C 的值;(2)求 cos?2A+ ?的值. 6? ?

8.(2015?新课标全国Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90°,且 a= 2,求△ABC 的面积.

2

考点 13 解三角形 一年模拟试题精练 1.(2015?常德市期末统考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 a =9,b=6,A=60°,则 sin B=( )

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1 A.- 3

1 B. 3

C.

3 3 D.- 3 3

2.(2015?北京西城区高三期末)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c.若 a=2b,sin B= π A.A= 3 3 ,则( 4 ) 3 3 2 D.sin A= 3

π B.A= 6

C.sin A=

3.(2015?北京昌平区高三期末)在△ABC 中,∠A=60°,AC= 2,BC= 3,则∠B 等 于( ) A.120° B.90° C.60° D.45°

4.(2015?黄冈中学检测)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a,b,c,若 b=2a sin B,则角 A 等于( A.30° ) D.75°

B.45° C.60°

5.(2015?临川一中检测)已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 △ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b) -c ,则 tan C 等于( 3 A. 4 4 3 4 B. C.- D.- 3 4 3
2 2

)

6. (2015?福州市质检)若△ABC 中 B=60°, 点 D 为 BC 边中点, 且 AD=2, ∠ADC=120°, 则△ABC 的面积等于( A.2 B.3 C. 3 ) D.2 3

7.(2015?北京朝阳区期末)

如图,塔 AB 底部为点 B,若 C,D 两点相距为 100 m 并且与点 B 在同一水平线上,现从 C,D 两点测得塔顶 A 的仰角分别为 45°和 30°,则塔 AB 的高约为(精确到 0.1 m, 3≈1.73, 2≈1.41)( )

A.36.5 B.115.6 C.120.5 D.136.5 3 8.(2015?湛江市调研)在△ABC 中,边 a、b 所对的角分别为 A、B,若 cos A=- ,B 5 π = ,b=1,则 a=( 6 8 A. 5 4 16 B. C. 5 5 ) 5 D. 8

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9.(2015?成都市一诊)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c=2a,b 1 =4,cos B= ,则边 c 的长度为________. 4 10.(2015?潍坊市质检)

某中学举行升旗仪式,如图所示,在坡度为 15°的看台上,从正对旗杆的一列的第一排 到最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离 AB=10 6 m, 则旗杆 CD 的高度为________m. 11.(2015?山西省二诊)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足(a- b)(sin A-sin B)=csin C-asin B. (1)求角 C 的大小; 3 b (2)若 c= 7,a>b,且△ABC 的面积为 3,求 的值. 2 a 12.(2015?衡水中学二调)

1 3 4 3 如图,△ABC 中,sin ∠ABC= ,AB=2,点 D 在线段 AC 上,且 AD=2DC,BD= . 2 3 3 (1)求 BC 的长; (2)求△DBC 的面积.

参考答案 第三章 三角函数、解三角形 考点 10 三角函数的概念 【两年高考真题演练】 5 12 sin α 1.D [∵sin α =- ,且 α 为第四象限角,∴cos α = ,∴tan α = =- 13 13 cos α 5 ,故选 D.] 12
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π? π? ? ? 2.B [y=sin?2x+ ?=cos 2x 为偶函数,y=cos?2x+ ?=-sin 2x 是周期为π 的 2? 2? ? ? 奇函数,故选 B.] 1 ? π? 3.B [由题意知,f(x)=|cos x|?sin x,当 x∈?0, ?时,f(x)=cos x?sin x= 2? 2 ? sin 2x;当 x∈? 4.A [f?

?π ,π ?时,f(x)=-cos x?sin x=-1sin 2x,故选 B.] ? 2 ?2 ?

?23π ?=f?17π ?+sin17π =f?11π ?+sin17π +sin11π =f?5π ?+sin17π ? ? ? ? 6 ? ? 6 ? 6 6 6 6 ? 6 ? ? 6 ? ? ? ? ?

11π 5π 5π ? π? 1 +sin +sin =2sin +sin?- ?= .] 6 6 6 ? 6? 2 5.-1 [sin α +2cos α =0, ∴sin α =-2cos α ,∴tan α =-2, 2sin α ?cos α -cos x 2tan α -1 2 又∵2sin α cos α -cos α = = , 2 2 2 sin α +cos α tan α +1 2?(-2)-1 ∴原式= =-1.] 2 (-2) +1 π 4 π? tan α +1 2+1 ? 6.解 (1)tan?α + ?= = = =-3; 4 π 1-tan α 1-2 ? ? 1-tan α tan 4 tan α +tan sin 2α (2) 2 sin α +sin α cos α -cos 2α -1 2sin α cos α = 2 2 sin α +sin α cos α -(2cos α -1)-1 2sin α cos α = 2 2 sin α +sin α cos α -2cos α 2tan α 2?2 = = 2 =1. 2 tan α +tan α -2 2 +2-2 1 ?π ? 7.解 (1)由 tan? +A?=2,得 tan A= . 3 ?4 ? sin 2A 2tan A 2 所以 = . 2 = sin 2A+cos A 2tan A+1 5 1 10 3 10 (2)由 tan A= ,A∈(0,π ),得 sin A= ,cos A= . 3 10 10 π a b 又由 a=3,B= 及正弦定理 = ,得 b=3 5. 4 sin A sin B
2

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2 5 ? π? 由 sin C=sin(A+B)=sin?A+ ?得 sin C= , 4? 5 ? 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= absin C=9. 2 【一年模拟试题精练】 1 a π 1.D [∵a=42=2,∴tan π =tan = 3.] 6 3 2.A [由三角形函数定义可知 Q 点的坐标(x,y)满足 x=cos 3 ,故选 A.] 2 10π 2π 10π 2π 3.D [- =-4π + ,所以- 与 的终边相同, 3 3 3 3 所以 tan 4.C 1 .] 2 3 ?π ? 5.C [∵sin(π -α )=sin α = ,α ∈? ,π ?, 2 5 ? ? 4 sin α 3 ∴cos α =- ,故 tan α = =- .] 5 cos α 4 x x 1 2 6.D [由题意知:x<0,r=|OP|= x +16,故 cos α = = 2 ,又 cos α = x, r 5 x +16 ∴ 1 = x,解之得:x=-3, x +16 5
2

2π 1 2π =- ,y=sin = 3 2 3

2π =- 3=-y,则 y= 3.] 3

[cos ?

?2 014π ? =cos ?670π +4π ?= cos 4π = cos ?π +π ? =- cos π =- ? ? ? ? ? 3 ? 3? 3 3 ? 3 ? ? ?

x

y 4 ∴tan α = =- .] x 3 7. D [由 f(x)=f(-x), f(x-π )=f(x)得 f(x)是 R 上周期为π 的偶函数, f(x)=cos x -sin x=cos 2x 满足要求.] 8.D 1 sin α -cos α [因为角 α 终边经过点 P(2,-1),所以 tan α =- ,则 = 2 sin α +cos α
2 2

1 - -1 2 tan α -1 = =-3,故选 D.] tan α +1 1 - +1 2

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π? 1 2 2 ? 3π 9.B [sin (α -π )=-sin α ,log8 =- ,故 sin α = ,又α ∈?- ,- ?, 2? 4 3 3 ? 2 得 cos α =- 1-sin α =- 1 ?π 10. [? +α 4 ?6
2

5 sin α 2 5 ,tan(-α )=- = .] 3 cos α 5

?+?π -α ? ?3 ? ?

?=π , ? 2 ? ??=sin?π -α ?? ?3 ?? ? ?=1.] ? 4 ?

?π ?π ?π ? 故 cos? +α ?=cos? -? -α ?6 ? ?2 ?3
11.- 3

[-sin α =sin 2α =2sin α cos α ,即 sin α (2cos α +1)=0,

1 3 ?π ? ∵α ∈? ,π ?,∴sin α ≠0,故 cos α =- ,sin α = , 2 2 ?2 ? sin α 故 tan α = =- 3.] cos α

?π ? ?π π ? 12.解 (1)∵f? ?=2sin? + ?+m=2+m=6,∴m=4. 6 ? ? ?3 6?
π? 28 28 ? (2)由 f(θ )= ,得 2sin?2θ + ?+4= , 6? 5 5 ? π? 4 ? 即 sin?2θ + ?= , 6? 5 ? ∵θ ∈?

?π ,5π ?,∴2θ +π ∈?π ,π ?. ? ? ? 6 ?2 ?16 12 ? ?
π? 3 2? 1-sin ?2θ + ?=- . 6? 5 ?

π? ? ∴cos?2θ + ?=- 6? ?

π? π? ? π? 24 ? ? sin?4θ + ?=2sin?2θ + ?cos?2θ + ?=- . 3? 6? ? 6? 25 ? ? 13.解 x x 1 1 1 1 2x (1)由已知,f(x)=cos -sin cos - 得 f(x)= (1+cos x)- sin x- = 2 2 2 2 2 2 2

1 (cos x-sin x)= 2 2 ? π? cos?x+ ?, 4? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π ,值域为?- (2)由(1)知,f(α )=

? ?

2 2? , ?. 2 2?

π? 3 2 π? 3 2 ? ? cos?α + ?= ,所以 cos?α + ?= .所以 sin 2α =- 4 4? 5 2 10 ? ? ?

π? π? 18 7 1 ?π ? ? 2? cos? +2α ?=-cos 2?α + ?=1-2cos ?α + ?=1- = ,或由 f(α )= (cos α - 4? 4? 25 25 2 ?2 ? ? ?
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3 2 3 2 sin α )= 得:cos α -sin α = , 10 5 18 7 两边平方得:1-sin 2α = ,所以 sin 2α = .考点 11 25 25 【两年高考真题演练】 1.D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10° 1 =sin 30°= .] 2 1 1 - 2 3 tan(α +β )-tan α 1 2.A [tan β =tan[(α +β )-α ]= = = .] 1+tan(α +β )tan α 1 1 7 1+ ? 2 3 3π ? 3π ? π? ? ?π ? cos?α - ? sin? +α - ? sin?α + ? 10 ? 10 ? 5? ? ?2 ? 3.C [ = = π π π ? ? ? ? ? ? sin?α - ? sin?α - ? sin?α - ? 5? 5? 5? ? ? ? tan α +1 π π π tan sin α cos +cos α sin 5 5 5 2+1 = = = =3.] π π tan α 2-1 sin α ?cos -cos α sin -1 5 5 π tan 5 4.π 3- 2 2 [ 函数 f(x) = sin x + sin xcos x+ 1 =
2

三角恒等变换

1-cos 2x 1 2 + sin 2x+ 1 = 2 2 2

π? 3 3- 2 ? sin?2x- ?+ .最小正周期为π .最小值为 .] 4? 2 2 ?
2x ? ? 2x 5.2 [f(x)=4cos sin x-2sin x-|ln(x+1)|=2sin x??2cos -1?-|ln(x+1)| 2 ? 2 ?

=sin 2x-|ln(x+1)|,令 f(x)=0,得 sin 2x=|ln(x+1)|.在同一坐标系中作出两个函数 y=sin 2x 与函数 y=|ln(x+1)|的大致图象如图所示.

观察图象可知,两函数图象有 2 个交点,故函数 f(x)有 2 个零点.] 6.1 [f(x)=sin(x+φ )-2sin φ cos x=sin xcos φ +cos xsin φ -2sin φ cos x =sin xcos φ -cos xsin φ =sin(x-φ ). ∴f(x)max=1.] 7.解 (1)因为 f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= 2
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2 2

π? ? sin?2x+ ?+1, 4? ? 2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π? ? (2)由(1)的计算结果知,f(x)= 2sin?2x+ ?+1. 4? ? π ?π 5π ? ? π? 当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , ?, 2? 4 ? 4 ?4 ?

?π 5π ? 由正弦函数 y=sin x 在? , ?上的图象知, 4 ? ?4
π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取最大值 2+1; 4 2 8 π 5π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取最小值 0. 4 4 2

? π? 综上,f(x)在?0, ?上的最大值为 2+1,最小值为 0. 2? ?
8.解 (1)f(x)=sin? -

?π -x?sin x- 3cos2x=cos xsin x- 3(1+cos 2x)=1sin 2x ? 2 2 ?2 ?

π? 3 3 3 ? cos 2x- =sin?2x- ?- , 3? 2 2 2 ? 2- 3 因此 f(x)的最小正周期为π ,最大值为 . 2 π ?π 2π ? (2)当 x∈? , ?时,0≤2x- ≤π ,从而 3 ? 3 ?6 π π π 5π 当 0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增, 3 2 6 12 π π 5π 2π 当 ≤2x- ≤π ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 3 12 3

? π 5π ? ?5π ,2π ?上单调递减. 综上可知,f(x)在? , ?上单调递增;在? 3 ? ? 6 12 ? ? 12 ?
9.解 (1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为

?-π +2kπ ,π +2kπ ?,k∈Z. ? 2 ? 2 ? ?
π π π 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 2kπ π 2kπ 得- + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3 所以,函数 f(x)的单调递增区间为
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?-π +2kπ ,π +2kπ ?,k∈Z. ? 4 3 12 3 ? ? ?
π? 4 ? π? π ? 2 2 (2)由已知,有 sin?α + ?= cos?α + ?(cos α -sin α ),所以,sin α cos + 4? 5 ? 4? 4 ? cos α sin π 4

π π? 4? 2 2 = ?cos α cos -sin α sin ?(cos α -sin α ), 4 4? 5? 4 2 即 sin α +cos α = (cos α -sin α ) (sin α +cos α ). 5 3π 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角,知 α = +2kπ ,k∈Z. 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 2 当 sin α +cos α ≠0 时,有(cos α -sin α ) = . 4 由 α 是第二象限角,知 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α =- cos α -sin α =- 2或- 【一年模拟试题精练】 3 7 ? π ? 1.D [∵α ∈?- ,0?,cos α = ,∴sin α =- , 4 4 ? 2 ? 3 7 ∴sin 2α =2sin α cos α =- .] 8 3 2 2 2 2.B [sin α -cos α =-cos 2α =2sin α -1=- .] 5 1 2 3.B [cos(π -2α )=-cos 2α =-(1-2sin α )=- .] 9 3π ? 4 3 ? 4.B [∵α ∈?π , ?,cos α =- ,∴sin α =- , 2 ? 5 5 ? sin α 3 ?π ? 1-tan α =1.] 故 tan α = = ,因此 tan? -α ?= 4 cos α 4 ? ? 1+tan α 7 5 . 2 5 .综上所述, 2

?π ? ? ?π ?? ?π ? 5.A [cos? +2α ?=cos?π -2? -α ??=-cos 2? -α ? 3 3 3 ? ? ? ? ?? ? ?
2 7 ? ?1? 2?π =2sin ? -α ?-1=2?? ? -1=- .] 8 ?3 ? ?4?

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6.D [∵cos?

?5π +α ?=-sin α =3,即 sin α =-3,α ∈?-π ,0? ? ? 2 ? 5 5 ? 2 ? ? ?

4 24 ∴cos α = ,故 sin 2α =2sin α cos α =- .] 5 25 7.C [因为 cos?

?π -x?=3,所以 cos 2?π -x? ? 5 ?4 ? ?4 ? ? ?

7 7 ? ?π ? 2?π =2cos ? -x?-1=- ,即 cos? -2x?=sin 2x=- .] 4 2 25 25 ? ? ? ? 8.B [把 sin α +cos α =2m 两边平方可得 1+sin 2α =4m , 又 sin 2α =m ,∴3m =1,解得 m=± 又α 为第三象限角,∴m=- 7 9.- 9 3 .] 3
2 2 2

3 , 3

3π ? 1 1 ? [∵sin?α + ?= ,∴cos α =- , 2 ? 3 3 ?

7 2 ∴cos 2α =2cos α -1=- .] 9 10.π [∵f(x)=cos x-sin x=cos 2x,
2 2

2π 2π ∴f(x)的最小正周期为 = =π .] |ω | 2 11.解 (1)∵图象上相邻的两个最高点间的距离为 2π , 2π ∴T=2π ,即 ω = =1, T π 又 f(x)为偶函数,则 φ =kπ + (k∈Z). 2 π 又∵φ ∈[0,π ],∴φ = , 2

? π? ∴f(x)=sin?x+ ?=cos x. 2? ?
π? 1 ? π? ? (2)∵α ∈?0, ?,cos?α + ?= , 2 3? 3 ? ? ? π? ? ∴sin?α + ?= 3? ? 故 sin? π? 2 2 2? 1-cos ?α + ?= , 3? 3 ?

π π? ?3π +α ?=-cos α =-cos?? α + ? - ? ? ? ? ? 3? 3? ? 2 ? ??

π? π? π π 1+2 6 ? ? =-cos?α + ?cos -sin?α + ?sin =- .考点 12 三角函数的图象和性 3? 3? 3 3 6 ? ?
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质 【两年高考真题演练】 π? ? ? ? π ?? 1.B [∵y=sin?4x- ?=sin?4?x- ??, 3? ? ? ? 12?? π? π ? ∴要得到函数 y=sin?4x- ?的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象向右平移 个单 3? 12 ? 位.] T 5 1 2.D [由图象知 = - =1,∴T=2.由选项知 D 正确.] 2 4 4 π? ? 3. C [f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?, 将其图象向右平移 φ 个单位得到 g(x) 4? ? = 2sin?2?x+

? ? ? ?

π ? -φ ? ?? 8 ??

π π ? ? ? ? = 2sin?2x+ -2φ ?的图象.∵g(x)= 2sin?2x+ -2φ ?的图象关于 y 轴对称, 4 4 ? ? ? ? π π kπ π 即函数 g(x)为偶函数,∴ -2φ =kπ + ,k∈Z,即 φ =- - ,k∈Z,因为当 k=- 4 2 2 8 3π 1 时,φ 有最小正值 .] 8 4.C [①y=cos|2x|=cos 2x,T=π . ②由图象知,函数的周期 T=π . ③T=π . π ④T= . 2 综上可知,最小正周期为π 的所有函数为①②③.] 5.8 [由题干图易得 ymin=k-3=2,则 k=5,∴ymax=k+3=8.] 6. π 2 π? ? [f(x)=sin ω x+cos ω x= 2sin?ω x+ ?, 4? ?

由-

π π π 3π π +2kπ ≤ω x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得- +2kπ ≤ω x≤ +2kπ ,由题意 2 4 2 4 4 π ,又函数 y=f(x)的图象关于直线 x 2

f(x)在区间(-ω ,ω )内单调递增,可知 k=0,ω ≥

π π π ? 2 π? 2 =ω 对称,所以,sin?ω + ?=1,ω + = ,∴ω = .] 4? 4 2 2 ? π 7. 2
? ?y=2sin ω x, [由? ?y=2cos ω x, ?

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知 sin ω x=cos ω x, 即 sin ω x-cos ω x=0, π? ? ∴ 2sin?ω x- ?=0, 4? ? π 1 ?π ? ∴ω x= +kπ ,x= ? +kπ ?(k∈Z), 4 ω?4 ?

? 1 ?π ? ? ? 1 ?π ? ? ∴两函数交点坐标为 ? ? +kπ ?, 2? (k =0 , 2, 4,… )或? ? +kπ ?,- 2? (k ? ? ?ω ? 4 ? ?ω ? 4 ?
=…,-3,-1,1,3,…) ∴最短距离为 π π π (2 2) + 2=2 3,∴ 2=4,∴ω = .] ω ω 2
2 2 2

1 1 3 2 8.解 (1)f(x)= sin 2x- 3cos x= sin 2x- (1+cos 2x). 2 2 2 π? 1 3 3 3 ? = sin 2x- cos 2x- =sin?2x- ?- , 3 2 2 2 ? ? 2 2+ 3 因此 f(x)的最小正周期为π ,最小值为- . 2 3 ? π? (2)由条件可知,g(x)=sin?x- ?- . 3? 2 ? π ? π 2π ? ?π ? ? π? ?1 ? 当 x∈ ? ,π ? 时,有 x - ∈ ? , ? ,从而 sin ?x- ? 的值域为 ? ,1? ,那么 3 ? 3? 3 ?6 ?2 ? ? ?2 ? 3 ?1- 3 2- 3? ? π? sin?x- ?- 的值域为? , ?. 3? 2 ? 2 ? ? 2

? 1- 3 2- 3 ? ?π ? 故 g(x)在区间? ,π ?上的值域是? , ?. ?2 ? 2 ? ? 2
【一年模拟试题精练】 1.D [∵f(x)=cos 2x, 2π ∴f(x)的最小正周期为 =π .] |ω | 2.B [∵a=sin 31°=cos 59°<cos 58°,∴a<b, sin 32° cos 58° ∵tan 32°= = >cos 58°, cos 32° cos 32° ∴c>b,故 c>b>a.]

? π? 3.C [∵x 为三角形最小内角,∴x∈?0, ?, 3? ?

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π ? π 7π ? ? π? y=sin x+cos x= 2sin?x+ ?,x+ ∈? , ?, 4? 4 ? 4 12 ? ?

? π? ? 2 ? ∴sin?x+ ?∈? ,1?,故 y∈(1, 2].] 4? ? 2 ? ? ?π ? 4.A [当 x∈(0,π ]时,不等式为 sin x≥cos x,解得 x∈? ,π ?; ?4 ?
7π ? ? 当 x∈(π ,2π )时,不等式为-sin x≥cos x 即 sin x+cos x≤0,解得 x∈?π , ?, 4 ? ? 综上得 x∈? 5. B

?π ,7π ?.] 4 ? ?4 ?
[由图象可得函数的周期 T=2?? 2π ?7π -3π ?=π , ?3π ,0? ∴ =π , 得ω =2, 将? ? 8 ? ω ? 8 ? ? 8 ?

代入 y=sin(2x+φ )可得 sin?

?3π +φ ?=0, ? ? 4 ?

3π ∴ +φ =π +2kπ (注意此点位于函数减区间上), 4 π ∴φ = +2kπ ,k∈Z, 4 π π 由 0<φ ≤ 可得 φ = , 2 4

? π? ∴点(ω ,φ )的坐标是?2, ?.] 4? ?
6.D [∵f(-x)=-f(x), π ∴φ = +kπ (k∈Z), 2 又∵φ ∈(0,π ), π ∴φ = , 2 故 y=-2 015sin ω x 2π ∵ω >0,∴T= , ω 又∵|x1-x2|min=π , 1 π ∴ T= =π ,得 ω =1.] 2 ω 7.D [∵点 P 是函数 y=f(x)的一个对称中心, π ∴m=2,- ω +φ =kπ (k∈Z), 6

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π 又 T=4? =2π ,则 ω =1, 2 π π 由|φ |< 得 φ = , 2 6 作图可知选项 D 正确.] 8.?

?5π +kπ ,11π +kπ ?(k∈Z) [f(x)=2sin?π -2x?=2cos?2x+π ?,π +2kπ ≤ ? ?3 ? ? 12 6? ? 12 ? ? ? ? ?

π 5π 11π 2x+ ≤2π +2kπ ,k∈Z.即 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z.] 6 12 12 π 2 9.sin 2x [y=f(x)是由 y=2cos x=cos 2x+1 向右平移 个单位,再向下平移一个 4

? π? 单位得到 f(x)=cos 2?x- ?+1-1=sin 2x.] 4? ?
10.解 (1)∵0<α <π , π π 5π ∴ < +α < , 4 4 4 又∵sin?

?π +α ?= 2, ? 2 ?4 ?

π 3π π ∴ +α = ,∴α = , 4 4 2 1 ∴f(α )=cos α (sin α +cos α )- 2 =cos π π? 1 π? 1 ?sin 2 +cos 2 ?-2=-2; 2? ?

1 2 (2)f(x)=sin xcos x+cos x- 2 1 1+cos 2x 1 = sin 2x+ - 2 2 2 π? 1 1 2 ? = sin 2x+ cos 2x= sin?2x+ ?, 4? 2 2 2 ? π π ∴当 2x+ =2kπ - ,k∈Z, 4 2 3π 即 x=kπ - ,k∈Z 时,f(x)取得最小值, 8
? ? 3π 此时自变量 x 的集合为?x|x=kπ - ,k∈Z?. 8 ? ?

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考点 13 解三角形 【两年高考真题演练】 1.C [由余弦定理 a =b +c -2bccos A,得 4=b +12-2?b?2 3? +8=0,∴b=4 或 b=2,又 b<c,∴b=2.] 1 1 1 2.B [S△ABC= AB?BCsin B= ?1? 2sin B= , 2 2 2 ∴sin B= 2 ,若 B=45°,则由余弦定理得 AC=1,∴△ABC 为直角三角形,不符合题 2
2 2 2 2 2 2 2

3 2 ,即 b -6b 2

意,因此 B=135°,由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB?BCcos B=1+2-2?1? 2??- =5,∴AC= 5.故选 B.] π 3. 4 π = .] 4 bsin ∠A [由正弦定理得 sin ∠B= = a

? ?

2? ? 2?

2π 6sin 3 2 = ,因为∠A 为钝角,所以∠B 3 2

3 3 4.4 [由 3sin A=2sin B,得 3a=2b,∴b= a= ?2=3,在△ABC 中,由余弦定理, 2 2

? 1? 2 2 2 2 2 得 c =a +b -2abcos C=2 +3 -2?2?3??- ?=16,解得 c=4.] ? 4?
5.100 6 得 [依题意,在△ABC 中,AB=600,∠BAC=30°,∠ACB=45°,由正弦定理

600 BC = ,得 BC=300 2,在 Rt△BCD 中,CD=BC?tan 30°=100 6(m).] sin 45° sin 30° 6.2 3 [在△ABC 中,根据正弦定理,得 AC BC 4 2 3 = ,所以 = ,解得 sin B sin A sin B sin 60°

sin B=1,因为 0°<B<120°,所以 B=90°,所以 C=30°,所以△ABC 的面积 S△ABC= 1 ?AC?BC?sin C=2 3.] 2 1 15 7.解 (1)在△ABC 中,由 cos A=- ,可得 sin A= . 4 4 1 由 S△ABC= bcsin A=3 15, 2 得 bc=24,又由 b-c=2,解得 b=6,c=4. 由 a =b +c -2bccos A,可得 a=8.
2 2 2

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a c 15 由 = ,得 sin C= . sin A sin C 8 π? π π ? (2)cos?2A+ ?=cos 2A?cos -sin 2A?sin = 6? 6 6 ? 3 1 15-7 3 2 (2cos A-1)- ?2sin A?cos A= . 2 2 16 8.解 (1)由题设及正弦定理可得 b =2ac. 又 a=b,可得 b=2c,a=2c. a +c -b 1 由余弦定理可得 cos B= = . 2ac 4 (2)由(1)知 b =2ac. 因为 B=90°,由勾股定理得 a +c =b . 故 a +c =2ac,得 c=a= 2. 所以△ABC 的面积为 1. 【一年模拟试题精练】 1.C [由正弦定理: 2.A [由正弦定理: a b 3 = 得:sin B= .] sin A sin B 3 a b 3 = 得 sin A= , sin A sin B 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∵△ABC 为锐角三角形, π ∴A= .] 3 3.D [由正弦定理: ∴B<A,∴B=45°.] 4.A [由正弦定理: a b 2asin B 1 = = ,得:sin A= , sin A sin B sin B 2 BC AC 2 = ,得 sin B= ,∵AC<BC, sin A sin B 2

∵△ABC 为锐角三角形,∴A=30°.] 1 2 2 2 2 2 2 2 2 5.D [2S=(a+b) -c =a +2ab+b -c =2? absin C 即:c =a +b +2ab-abcsin 2 C, 由余弦定理 c =a +b -2abcos C 得:sin C-2cos C= 2,又∵sin C+cos C=1,得: 3 4 sin C 4 cos C=- 或 cos C=-1(舍),∴sin C= ,故 tan C= =- .] 5 5 cos C 3 6.D [∵∠B=60°,∠ADC=120°,∴∠ADB=60°,故△ABD 为等边三角形,故 BD
2 2 2 2 2

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=DC=AB=2, 1 1 3 因此 S△ABC= AB?BC?sin B= ?2?4? =2 3.] 2 2 2 AB AB 100 7.D [∵∠ACB=45°,∴AB=BC,tan∠ADB=tan 30°= = ,故 AB= BD AB+100 3-1 ≈136.5.] 8.A [由题意得,0<A<π ,sin A>0. 4 2 故 sin A= 1-cos A= , 5 a b b 4 1 8 由正弦定理知, = ? a=sin A? = ? = .] sin A sin B sin B 5 π 5 sin 6 9.4 [由余弦定理:b =a +c -2accos B 得:a=2,故 c=4.] 10.30 [∵∠DBA=45°,∠DAC=60°, ∴∠DAB=105°,故∠BDA=30°, AD AB 由正弦定理: = 得 AD=20 3, sin∠DBA sin∠BDA CD=AD?sin 60°=30.] 11.解 (1)△ABC 中,由(a-b)(sin A-sin B)=csin C-asin B, 利用正弦定理可得(a-b)(a-b)=c -ab, 即 a +b -c =ab. a +b -c 1 π 再利用余弦定理可得,cos C= = ,∴C= . 2ab 2 3 (2)由(1)可得即 a +b -ab=7①, 1 3 又△ABC 的面积为 ab?sin C= 3, 2 2 ∴ab=6②. b 2 ①②可得 = . a 3 1 3 12.解 (1)因为 sin ∠ABC= , 2 3 1 1 所以 cos∠ABC=1-2? = . 3 3 △ABC 中,设 BC=a,AC=3b, 4a 2 2 则由余弦定理可得 9b =a +4- ① 3
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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

在△ABD 和△DBC 中, 16 2 4b + -4 3 16 3 b 3

由余弦定理可得 cos∠ADB=



16 2 2 b + -a 3 cos∠BDC= . 8 3 b 3 因为 cos∠ADB=-cos∠BDC, 16 16 2 2 2 4b + -4 b + -a 3 3 所以有 =- , 16 3 8 3 b b 3 3 所以 3b -a =-6,② 由①②可得 a=3,b=1,即 BC=3. 1 2 2 (2)由(1)得△ABC 的面积为 ?2?3? =2 2, 2 3 2 2 所以△DBC 的面积为 . 3
2 2

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