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1.1.3导数的几何意义(高中数学人教版选修2-2)


复习 1.平均变化率的定义:
f ( x ) ? f ( x ) 2 1 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2 x2 ? x1 的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ f = f (x2) – f (x1) ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? x2 ? x1 ?x
2.求函数的平均变化率的步

骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率

复习:导数的概念
定义:设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δ x)- f(x0).如果当Δ x?0 时,Δ y/Δ x的极限 存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化 , : 率)记作 f ?( x0 )或y? | x ? x 即 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
0

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 ?f ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ; 2. 求平均变化率 ?x ?x ?f 3. 求值 f ?( x0 ) ? lim .
?x ?0

?x

一差、二化、三极限

1.1.3导数的几何意义

1.一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,

?s 物体的位移为 ?s ,那么 lim 为 ( ) ?t ? 0 ? t A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度 B.时间 t 时该物体的瞬时速度 C.当时间为 ?t 时该物体的速度 D.从时间 t 到 t ? ?t 时位移的平均变化率

3.在导数定义中,自变量 x 的增量△x A.大于 0 C.等于 0 B.小于 0 D.不等于 0

(

)

例1:求函数y ? x在x ? 1处的导数。
解法一:?y ? 1 ? ?x ? 1 ?y 1 ? ?x ? 1 1 ? ? ?x ?x 1 ? ?x ? 1 1 1 1 lim ? ? y ' ? x ? 1 ?x?0 1 ? ?x ? 1 2 2

例1:求函数y ? x在x ? 1处的导数。
解法二:?y ? x ? ?x ? x ?y ? ?x x ? ?x ? x ? ?x 1 x ? ?x ? x

?y 1 1 lim ? lim ? ?x?0 ?x ?x?0 x ? ?x ? x 2 x ? y' ? 1 2 x

1 ? y ' x?1 ? 2

例2:设f ( x) ? x , 求f ' ( x), f ' (?1), f ' (2)
2

思路:先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解:由导数的定义有

f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x)2 ? x 2 f ' ( x)= lim ? lim ?x?0 ?x?0 ?x ?x ?x(2 x ? ?x) ? lim ? 2x ?x?0 ?x

? f ' (?1)=f ' ( x) x??1 ? 2 ? (?1) ? ?2 f ' (2) ? f ' ( x) x?2 ? 2 ? 2 ? 4

什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
函数y ? f ( x)在点x0处的导数f ?( x0 ) 等于函数f ( x)的导(函)数f ?( x)在点x0处的 函数值.

瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.
?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 是函数f(x)在以x 与x +Δ x ? 0 0 ?x ?x

为端点的区间[x0,x0+Δ x](或[x0+Δx,x0])上的平均变化 率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函 数随自变量变化而变化的快慢程度.
思考一下,导数可以用下式表示吗? f ( x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0

如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x) 在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处 不可导.

下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.则 : MP ? ?x , MQ ? ?y , ?y ? tan ? . ?x
?y 请问: 是割线PQ的什么? ?x
y y=f(x) Q

Δy P O
β

Δx

M x

斜 率!

请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况 . y
y=f(x) Q

割 线 T 切线

P

?
x

o

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线 PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切 线.
初中平面几何中圆的切线的定义:直线和圆有唯一公共点时, 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点 叫做切点。

割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切,并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
'

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

[通一类]

1.一条水管中流过的水量y(单位:m3)是时间t(单位:s)
的函数,且y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数 f′(2),并解释它的实际意义.
解:根据导数的定义, Δy f?2+Δt?-f?2? 得 = Δt Δt 3?2+Δt?-3×2 = =3. Δt

Δy ∴f′(2)=lim =3. Δt→0 Δt f′(2)的意义是:水流在 2 s 时的瞬时流量为 3 m3/s,即此时刻, 每经过 1 s,水管中流过的水量为 3 m3.

例题讲解
例1:求抛物线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线的斜率.
解 : 过点(1,1)切线的斜率是 f (1 ? ?x) ? f (1) f(1) ? lim ?x ? 0 ?x (1 ? ?x) 2 ? 1 ? lim ?x ? 0 ?x 2 ?x ? ( ? x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x
'

y

y ? x2

P ?1,1?
o

x

因此,抛物线y=f ? x ? =x2 在点P ?11 , ? 处的切线斜率为2.

例2.求双曲线 y ?

1 1? 过点 ? ? 2, ? 的切线方程。 x ? 2?
y

y

1 1 ? f ? 2 ? ?x ? ? f ? 2 ? 解因为 . lim ? lim 2 ? ?x 2 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x



1? ? P ? 2, ? 2? ?

1 1 ? lim ? ?? ?x ? 0 2 ? 2 ? ?x ? 4

o o

x

1 ? 1? 所以,这条双曲线过点? 2, ?的切线的斜率为- . 4 ? 2?
1 1 由直线方程的点斜式,得切线方程为 y- ? ? ? x ? 2 ? , 2 4

1 即 y=- x ? 1. 4

1 3 8 y ? x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.

1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 y 3 ?x 1 y? x 3 4 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? lim 3 3 ?x ? 0 ?x 2 1 2 2 2 ? lim[3 x ? 3 x?x ? ( ?x ) ] ? x . 1 3 ?x ? 0

3

P
x

? y? | x ? 2 ? 2 2 ? 4.

-2 -1

即点P处的切线的斜率等于4.

O -1 -2

1

2

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

小结:
d.求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。

?5 ? 例3.求抛物线 y=x 过点 ? , 6 ?的切线方程. ?2 ?
2
2 解:设此切线过抛物线上的点 ? x0 , x0 ?.

由例1及导数的意义知此切线的斜率为2x0 .
?5 ? 2 又因为此切线过点 ? , 6 ? 和点 ? x 0 , x0 ?, ?2 ?

y

y ? x2

? 3, 9 ?

其斜率满足
2 0

x ?6 ? 2 x0 , 5 x0 ? 2
2 0

x ? 5 x0 ? 6 ? 0, 解得x0 ? 2,3.

?5 ? P? ,6? ?2 ?

即切线过抛物线y ? x 上的点 ? 2, 4 ?, 9?. ? 3,
2

? 2, 4 ?

?x

0

2 , x0 ?

所以切线方程分别为:

y ? 4 ? 4 ? x ? 2? , y ? 9 ? 6 ? x ? 3? .

o

x

化简得

y=4x-4, y=6x-9.

1 2 已知物体自由落体的运动方程为 s= gt ,求: 2 (1)物体在 t=10 s 到 t=10.1 s 这段时间内的平均速度; (2)物体在 t=10 s 时的瞬时速度.(g=10 m/s2).

?

解答本题,根据瞬时速度和平均速度的意义, 准确应用公式来求.

1 gt0Δt+ g?Δt?2 2 Δs 1 (1) v = = =g· (t0+ Δt).① Δt Δt 2 当 t=10 s,Δt=0.1 s 时,由①式得平均速度为: 1 v =g· (10+2×0.1)=10.05g=100.5 m/s. (2)当 t=10 s 时,由②式可得瞬时速度为: v|t=10=g×10=100 m/s.

[题后感悟] 要计算物体的瞬时速度, 只要给时间一个改变量 Δt, Δs 求出相应的位移的改变量,再求出平均速度 v = ,最后计算当 Δt Δt Δs 趋近于 0 时, 趋近于的常数就是物体在该时刻的瞬时速度. Δt


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